Дуализм (теория категорий)

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «Дуализм (математика)»)
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий (абстрактном направлении математики) дуальной категорией или противоположной категорией \(C^{op}\) категории \(C\) называется категория, полученная при помощи обращения направления всех морфизмов категории \(C\). Другими словами, объектами категории \(C^{op}\) являются объекты категории \(C\), однако морфизмы из \(X\) в \(Y\) соответствуют морфизмам из \(Y\) в \(X\) категории \(C\). Таким образом дуальная категория дуальной категории тождественна само́й категории.

Примеры[править]

  • Простейший пример можно увидеть при обращении направления отношения неравенства в частичном порядке. Другими словами, если \(X\) — множество, а ≤ — отношение частичного порядка, можно определить новое отношение частичного порядка ≤new следующим образом:
xnew y тогда и только тогда, когда yx.
В этом примере родительские и дочерние элементы поменялись местами.

Формальное определение[править]

Пусть \(\Sigma\) — произвольное утверждение элементарной теории абстрактной категории. Дуальное утверждение к \(\Sigma\) формируется следующим образом:

  1. Заменить каждое вхождение «домена» в \(\Sigma\) «кодоменом» и наоборот.
  2. Заменить каждое вхождение \(g \circ f = h\) на \(f \circ g = h\).

Неформально эти условия обозначают, что дуализм утверждения создатся при помощи обращений стрелок и композиции функций. Например, можно рассмотреть следующие утверждения о категории \(C\):

  • \(f \colon A \to B\).
  • \(f\) является моническим, т. е. для всех морфизмов \(g, h\), для которых имеет смысл операция композиции, из \(f \circ g = f \circ h\) следует \(g = h\).

Соответствующие дуальные утверждения:

  • \(f \colon B \to A\).
  • \(f\) является эпическим, т. е. для всех морфизмов \(g, h\), для которых имеет смысл операция композиции, из \(g \circ f = h \circ f\) следует \(g = h\).

Принцип дуальности гласит, что если утверждение является теоремой, то дуальное утверждение также является теоремой. Под теоремой здесь подразумевается утверждени, которое можно доказать при помощи аксиом и правил вывода элементарной теории абстрактной категории. Практически это значит, что для непротиворечивого утверждения о конкретной категории \(C\) дуальное утверждение непротиворечиво в дуальной категории \(C^{op}\).

Дуальность[править]

Пример с частичным порядком относится к специальному случаю, поскольку частичный порядок соответствует особому виду категорий, в которых Hom (A, B) всегда имеет по крайней мере один элемент. В приложении к логике это выглядит как очень обобщённое описани отрицания (поскольку доказательства направлены в противоположном направлении). Например, если рассматривать решётки, можно увидеть, что операции <<встречи>> и <<слияния>> меняют свои роли. Это — абстрактная форма закона Де Моргана.

Обобщая это наблюдение, пределы и копределы меняются местами, когда происходит переход из категории в её дуальную категорию. Это несомненно полезно, когда можно определить дуальную категорию в конкретных терминах. Например, категория афинных схем является эквивалентной дуальной категории коммутативных колец. Дуальность Понтрягина ограничивает эквивалентность между категорией компактных хаусдорфовских абелевых топологических групп и её дуальной категории (дискретных) абелевых групп.

Дуальности[править]

Дуальность между категориями \(C\) и \(D\) определяется как эквивалентность между \(C\) и дуальной категорией к \(D\). Самодуальная категория — категория, эквивалентная своей дуальной категории. Примером самодуальой категории является категория конечных абелевых групп.

Ковариантность и контравариантность функторов[править]

Другая область, где используется понятие дуализма, заключается в снятии различий между ковариантными и контравариантными функторами: контравариантный функтор в \(C\) эквивалентен функтору в дуальную категорию к \(C\).

См. также[править]