Дуализм (теория категорий)
В теории категорий (абстрактном направлении математики) дуальной категорией или противоположной категорией категории называется категория, полученная при помощи обращения направления всех морфизмов категории . Другими словами, объектами категории являются объекты категории , однако морфизмы из в соответствуют морфизмам из в категории . Таким образом дуальная категория дуальной категории тождественна само́й категории.
Примеры[править | править код]
- Простейший пример можно увидеть при обращении направления отношения неравенства в частичном порядке. Другими словами, если — множество, а ≤ — отношение частичного порядка, можно определить новое отношение частичного порядка ≤new следующим образом:
- x ≤new y тогда и только тогда, когда y ≤ x.
- В этом примере родительские и дочерние элементы поменялись местами.
- Категория булевых алгебр и булевы гомоморфизмы являются дуальными к категории каменных пространств (?) и непрерывным функциям.
Формальное определение[править | править код]
Пусть — произвольное утверждение элементарной теории абстрактной категории. Дуальное утверждение к формируется следующим образом:
- Заменить каждое вхождение «домена» в «кодоменом» и наоборот.
- Заменить каждое вхождение на .
Неформально эти условия обозначают, что дуализм утверждения создатся при помощи обращений стрелок и композиции функций. Например, можно рассмотреть следующие утверждения о категории :
- .
- является моническим, т. е. для всех морфизмов , для которых имеет смысл операция композиции, из следует .
Соответствующие дуальные утверждения:
- .
- является эпическим, т. е. для всех морфизмов , для которых имеет смысл операция композиции, из следует .
Принцип дуальности гласит, что если утверждение является теоремой, то дуальное утверждение также является теоремой. Под теоремой здесь подразумевается утверждени, которое можно доказать при помощи аксиом и правил вывода элементарной теории абстрактной категории. Практически это значит, что для непротиворечивого утверждения о конкретной категории дуальное утверждение непротиворечиво в дуальной категории .
Дуальность[править | править код]
Пример с частичным порядком относится к специальному случаю, поскольку частичный порядок соответствует особому виду категорий, в которых Hom (A, B) всегда имеет по крайней мере один элемент. В приложении к логике это выглядит как очень обобщённое описани отрицания (поскольку доказательства направлены в противоположном направлении). Например, если рассматривать решётки, можно увидеть, что операции <<встречи>> и <<слияния>> меняют свои роли. Это — абстрактная форма закона Де Моргана.
Обобщая это наблюдение, пределы и копределы меняются местами, когда происходит переход из категории в её дуальную категорию. Это несомненно полезно, когда можно определить дуальную категорию в конкретных терминах. Например, категория афинных схем является эквивалентной дуальной категории коммутативных колец. Дуальность Понтрягина ограничивает эквивалентность между категорией компактных хаусдорфовских абелевых топологических групп и её дуальной категории (дискретных) абелевых групп.
Дуальности[править | править код]
Дуальность между категориями и определяется как эквивалентность между и дуальной категорией к . Самодуальная категория — категория, эквивалентная своей дуальной категории. Примером самодуальой категории является категория конечных абелевых групп.
Ковариантность и контравариантность функторов[править | править код]
Другая область, где используется понятие дуализма, заключается в снятии различий между ковариантными и контравариантными функторами: контравариантный функтор в эквивалентен функтору в дуальную категорию к .