Парадокс Ричарда
Данный парадокс впервые сформулирован французским математиком Юлием Ричардом в 1905 г.
Описание парадокса[править | править код]
Рассмотрим язык (например, русский), в котором определены арифметические свойства натуральных чисел. Например, выражение "первое натуральное число" определяет свойство быть первым натуральным числом, а выражение "не делимое ни на одно натуральное число, кроме единицы и самого себя" - свойство быть простым числом. (Ясно, что некоторые свойства не могут быть определены явно, поскольку каждая дедуктивная система должна начинаться с некоторых аксиом. Но для простоты допустим, что такое выражение, как "любое натуральное число можно представить в виде суммы двух других натуральных чисел" понятно само по себе). Пока список составленных таким образом определений является конечным, видно, что каждое определение состоит из конечного количества слов, и, следовательно, конечного количества букв. Установив этот факт, мы можем упорядочить определения в буквенном порядке.
Отобразим каждое определение в множество натуральных чисел таким образом, чтобы определение с минимальным количеством букв и алфавитным порядком соответствовало числу 1, следующее определение (с большим количеством букв или большим алфавитным порядком) - числу 2 и т.д. При этом возможны две ситуации. Если выражение "не делимое ни на одно натуральное число, кроме единицы и самого себя" отображается в число, скажем, 37, то тогда получается, что номер определения обладает тем же свойством, которое это выражение определяет. Если же это выражение будет отображаться в число, скажем, 56, то номер этого определения уже не будет обладать свойством, которое данное выражение определяет. Этот последний случай назовем свойством Ричардиана. Таким образом, если число - Ричардиан, то оно не обладает свойством, которое соответствующее ему выражение определяет.
Теперь, когда свойство Ричардиана является свойством самих натуральных чисел, оно принадлежит к списку указанных ранее свойств. Следовательно, свойству Ричардиана назначено некоторое число n, в которое отображается выражение, определяющее это свойство. Зададимся вопросом: является ли n Ричардианом? Предположим, что n - Ричардиан. Это возможно только в том случае, если n не имеет свойства, назначаемого определением, с которым n согласовано. Это означает, что n - не Ричардиан (поскольку определение, с которым оно согласовано, назначает свойство не обладать свойством, которое данное определение назначает), что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить, что n - не Ричардиан, то тогда оно имеет свойство, назначаемое определением, с которым оно (n) согласовано. Это означает, что n - Ричардиан (по той же причине, что и выше), снова вопреки нашему предположению. Получился парадокс.
Решение парадокса[править | править код]
Считается, что парадокс Ричарда основан на логической ошибке. Некорректное, но неявное предположение относительно упорядочения определений было допущено при формулировке парадокса. Сначала согласились рассматривать арифметические свойства натуральных чисел (т.е. свойства, которые оговариваются при сложении, умножении и др. действиях над этими числами), но потом к списку определений было добавлено определение, ссылающееся на обозначение, используемое в определении этих свойств. Определение свойства Ричардиана не принадлежит списку превоначальных определений, поскольку включает метаматематические понятия, такие как количество букв в выражениях.
Иначе говоря, требуется различение между утверждениями в пределах арифметики (которые не ссылаются на какую-либо систему обозначений) и утверждениями о системе обозначений, в которых арифметика закодирована.