Постоянная Больцмана

Для постоянной, связанной с энергией излучения чёрного тела, смотри Постоянная Стефана-Больцмана

Значение постоянной k	Размерность
1,380 6504(24) • 10−23	Дж•К−1
8,617 343(15) • 10−5	эВ•К−1
1,3807• 10−16	эрг•К−1
Смотри также Значения в различных единицах ниже.

Постоянная Больцмана ($k$ или $k_{\rm B}$) — физическая постоянная, определяющая связь между температурой вещества и энергией теплового движения частиц этого вещества. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в системе СИ равно $$k=1{,}380\,650\,4(24)\times 10^{-23}$$Дж/К.

В таблице последние цифры в круглых скобках указывают стандартную погрешность значения постоянной. В принципе, постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако точное вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний.

Экспериментально постоянную Больцмана можно определить с помощью закона теплового излучения Планка, описывающего распределение энергии в спектре равновесного излучения при определённой температуре излучающего тела, а также другими методами.

Существует связь между универсальной газовой постоянной $~R$ и числом Авогадро $~ N_{\rm A}$, из которой следует значение постоянной Больцмана: $$~k = \frac{R}{N_{\rm A}}.$$

Размерность постоянной Больцмана такая же, как и у энтропии.

История

В 1877 г. Больцман впервые связал между собой энтропию и вероятность, однако достаточно точное значение постоянной k как коэффициента связи в формуле для энтропии появилось лишь в трудах М. Планка. При выводе закона излучения чёрного тела Планк в 1900–1901 гг. для постоянной Больцмана нашёл значение 1,346 • 10⁻²³ Дж/K, почти на 2,5% меньше принятого в настоящее время.

До 1900 г. соотношения, которые сейчас записываются с постоянной Больцмана, писались с помощью газовой постоянной R, а вместо средней энергии на одну молекулу использовалась общая энергия вещества. Лаконичная формула вида S = k log W на бюсте Больцмана стала таковой благодаря Планку. В своей нобелевской лекции в 1920 г. Планк писал:

Эта константа часто называется постоянной Больцмана, хотя, насколько я знаю, сам Больцман никогда не вводил её — странное состояние дел, при том, что в высказываниях Больцмана не было речи о точном измерении этой константы.

Такая ситуация может быть объяснена проведением в то время научных дебатов по выяснению сущности атомного строения вещества. Во второй половине 19 века существовали значительные разногласия в отношении того, являются ли атомы и молекулы реальными, либо они лишь удобный способ описания явлений. Не было единства и в том, являются ли "химические молекулы", различаемые по их атомной массе, теми же самыми молекулами, что и в кинетической теории. Далее в нобелевской лекции Планка можно найти следующее:

Ничто не может лучше продемонстрировать положительную и ускоряющуюся скорость прогресса, чем искусство эксперимента за последние двадцать лет, когда было открыто сразу множество методов измерения массы молекул практически с той же точностью, что и измерение массы какой-нибудь планеты.

Уравнение состояния идеального газа

Для идеального газа справедлив объединённый газовый закон, связывающий давление P, объём V, количество вещества n в молях, газовую постоянную R и абсолютную температуру T: $$~\ PV = nRT.$$

В данном равенстве можно сделать замену $~R = k N_{\rm A}$. Тогда газовый закон будет выражаться через постоянную Больцмана и количество молекул N в объёме газа V: $$~P V = N k T .$$

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе, находящемся при абсолютной температуре $T$, энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы, равна, как следует из распределения Максвелла, $kT/2$. При комнатной температуре (≈ 300 K) эта энергия составляет $2{,}07\times 10^{-21}$ Дж, или 0,013 эВ.

Соотношения газовой термодинамики

В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия $3 kT /2$. Это хорошо согласуется с экспериментальными данными. Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню из атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона.

Кинетическая теория даёт формулу для среднего давления P идеального газа: $$~P = \frac{1}{3}\frac{N}{V} m {\overline{v^2}}.$$ Учитывая, что средняя кинетическая энергия прямолинейного движения равна: $$~ \frac{1}{2}m \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T,$$ находим уравнение состояния идеального газа: $$~ P = \frac{N k T}{V}.$$

Это соотношение неплохо выполняется и для молекулярных газов; однако зависимость теплоёмкости изменяется, так как молекулы могут иметь дополнительные внутренние степени свободы по отношению к тем степеням свободы, которые связаны с движением молекул в пространстве. Например, двухатомный газ имеет уже приблизительно пять степеней свободы.

Множитель Больцмана

В общем случае система в равновесии с тепловым резервуаром при температуре T имеет вероятность p занять состояние с энергией E, что может быть записано с помощью соответствующего экспоненциального множителя Больцмана: $$~p \propto \exp\left(-\frac{E}{kT}\right).$$ В данном выражении фигурирует величина kT с размерностью энергии.

Вычисление вероятности используется не только для расчётов в кинетической теории идеальных газов, но и в других областях, например в химической кинетике в уравнении Аррениуса.

Роль в статистическом определении энтропии

Вена, Zentralfriedhof, изображение Больцмана и формулы для энтропии на бюсте.

Энтропия S изолированной термодинамической системы в термодинамическом равновесии определяется через натуральный логарифм от числа различных микросостояний $W$, соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией E): $$~S=k \ln W.$$ Коэффициент пропорциональности $k$ является постоянной Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими и макроскопическими состояниями (через $W$ и энтропию $S$ соответственно), выражает центральную идею статистической механики и является главным открытием Больцмана.

В классической термодинамике используется выражение Клаузиуса для энтропии: $$~\Delta S = \int \frac{{\rm d}Q}{T}.$$

Таким образом, появление постоянной Больцмана k можно рассматривать как следствие связи между термодинамическим и статистическим определениями энтропии.

Энтропию можно выразить в единицах k , что даёт следующее: $$~{S^{\,'} = \frac {S}{k}= \ln W} \; ; \; \; \; \Delta S^{\,'} = \int \frac{\mathrm{d}Q}{kT}.$$

В таких единицах энтропия точно соответствует информационной энтропии.

Характерная энергия kT равна количеству теплоты, необходимому для увеличения энтропии $S^{'}$ на один нат.

Роль в физике полупроводников: тепловое напряжение

В отличие от других веществ, в полупроводниках существует сильная зависимость электропроводности от температуры: $$~ \sigma= \sigma_0 \exp (-E_A /kT),$$

где множитель $\sigma_0$ достаточно слабо зависит от температуры по сравнению с экспонентой, $E_A$ – энергия активации проводимости. Плотность электронов проводимости также экспоненциально зависит от температуры. Для тока через полупроводниковый p — n-переход вместо энергии активации рассматривают характерную энергию данного p-n перехода при температуре T как характерную энергию электрона в электрическом поле: $$~ q V_T = kT,$$

где $q$ – элементарный электрический заряд, а $V_T$ есть тепловое напряжение, зависящее от температуры.

Данное соотношение является основой для выражения постоянной Больцмана в единицах эВ•К⁻¹. При комнатной температуре (≈ 300 K) значение теплового напряжения порядка 25,85 милливольт ≈ 26 мВ.

В классической теории часто используют формулу, согласно которой эффективная скорость носителей заряда в веществе равна произведению подвижности носителей $\mu$ на напряженность электрического поля. В другой формуле плотность потока носителей связывается с коэффициентом диффузии $D$ и с градиентом концентрации носителей $n$: $$~ j_D =-D \nabla n.$$

Согласно соотношению Эйнштейна-Смолуховского, коэффициент диффузии связан с подвижностью: $$~ D =kT \mu /q.$$

Постоянная Больцмана k входит также в закон Видемана-Франца, по которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности в металлах пропорционально температуре и квадрату отношения постоянной Больцмана к электрическому заряду.

Применения в других областях

Для разграничения температурных областей, в которых поведение вещества описывается квантовыми или классическими методами, служит температура Дебая: $$~ Q_D = \hbar \omega_D /k,$$ где $\hbar$ – постоянная Дирака, $\omega_D =u \sqrt[3]{6\pi^2 n }$ есть предельная частота упругих колебаний кристаллической решётки, $u$ – скорость звука в твёрдом теле, $n$ – концентрация атомов.

При температурах ниже $Q_D$ требуется использовать квантовую статистику. Если же температуры выше $Q_D$, то тепловая энергия (порядка kT) превышает характерную энергию колебаний решётки и система может быть описана формулами классической статистической механики.

Постоянная Больцмана входит в формулу Найквиста, определяющую средний квадрат шумового напряжения в электрической цепи с сопротивлением R в полосе частот $\Delta \nu$ при температуре T. В классическом приближении формула для теплового шума имеет вид: $$~ \bar {V^2} = 4 R k T \Delta \nu .$$

Постоянная Больцмана в планковских единицах

В планковской системе естественных единиц постоянная Больцмана равна 1. Это даёт $$~E = \frac{T}{2}$$ как среднюю кинетическую энергию газовой молекулы на одну степень свободы; при этом определение термодинамической энтропии совпадает с определением информационной энтропии: $$~ S = - \sum p_i \ln p_i.$$

Планковская единица температуры равна 1,416 785(71) • 10³² К, соответствуя энергии покоя планковской массы.

Постоянная Больцмана в теории бесконечной вложенности материи

С точки зрения теории бесконечной вложенности материи, постоянная Больцмана является характеристикой лишь одного, а именно атомного уровня материи. Как показывает анализ естественных единиц измерения физических величин, при использовании вместо температурной шкалы шкалы тепловой энергии, содержащейся в единице количества вещества, постоянная Больцмана становится излишней. Отсюда следует, что при использовании температуры как физической величины на некотором масштабном уровне материи необходимо пересчитывать значение постоянной Больцмана для этого уровня материи с помощью соответствующих коэффициентов подобия. Теоретической основой для этой процедуры является SPФ-симметрия.

Для уровня звёзд аналогично звёздной постоянной Планка, задающей характерный момент импульса типичных звёздных объектов, появляется звёздная постоянная Больцмана. Eё значение равно K_ps = k ∙ Ф = 9,187∙10³² Дж/К, где Ф – коэффициент подобия по массе. Звёздная постоянная Больцмана определяет связь между эффективной температурой совокупности типичных звёздных объектов как меры тепловой энергии, и средней кинетической энергией движения в расчёте на один звёздный объект. Кроме этого, она связывает внутреннюю температуру звёздных объектов с внутренней энергий вещества этих объектов. Аналогичные постоянные могут быть вычислены для каждого масштабного уровня материи. Следовательно, обычная постоянная Больцмана не только позволяет оценить кинетическую температуру частиц вещества по известной энергии этого вещества, но и даёт возможность найти температуру вещества внутри самих частиц, например, внутри нуклона.

Значения в различных единицах

Значение k	Размерность	Примечание
1,380 6504(24) • 10−23	Дж / К	единицы СИ, значение CODATA 2006
8,617 343(15) • 10−5	эВ/K	1  эВ= 1,602 176 53(14) • 10−19 Дж 1/k = 11 604,51(2)  K/эВ
2,303 6644(36) • 1010	Гц/K	1 Гц = 6,626 068 96(33) • 10−34 Дж
3,166 815(36) • 10−6	EH/K	EH = 2R∞hc = 4,359 743 94(22) • 10−18 Дж
1,380 6504(24) • 10−16	эрг/K	1 эрг = 1• 10−7 Дж
3,297 6268(56) • 10−24	кал/K	1 калория = 4,1868 Дж
1,832 0149(31) • 10−24	кал/R	1 градус Ранкина = 4/9 K
1,039 9503(18) • 10−23	Фут фунт/R	1 Фут-фунт сила = 1,355 817 948 331 4004 Дж
0,695 0356(12)	см−1/K	1 см−1 = 1,986 445 501(99) • 10−23 Дж

Поскольку k есть константа пропорциональности между температурой и энергией, численное значение k зависит от выбора единиц изменения температуры и энергии. Шкала температур Кельвина выбиралась из того условия, чтобы интервал температур, в котором существует жидкая вода, равнялся 100 градусов. Малое численное значение k является отражением малости энергии в джоулях, необходимой для увеличения энергии частицы на 1 К. Как правило, в физических выражениях используется произведение kT как характерная энергия при температуре T. Если измерять температуру в энергетических единицах, подобно планковским единицам, тогда постоянная Больцмана будет не нужна вообще, равняясь точно 1.

См. также

• Число Авогадро
• Универсальная газовая постоянная
• Уравнение состояния идеального газа
• Планковские единицы
• Бесконечная вложенность материи
• Звёздные постоянные
• Звёздная постоянная Больцмана