Простое число

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

1 не является ни простым числом, ни составным числом.

Последовательность простых чисел начинается с

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, … (Шаблон:OEIS, см. также список простых чисел)

Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом (с точностью до порядка следования сомножителей). Таким образом, простые числа — «элементарные строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестно полиномиальных алгоритмов факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. (Здесь и далее речь идёт о полиномиальной зависимости времени работы алгоритма от логарифма проверяемого числа, то есть от количества его цифр). На алгоритмической сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA.

Тесты простоты

Эратосфен Киренский

Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина дают простые способы нахождения списка простых чисел до некоторого значения.

Однако на практике обычно возникает необходимость проверить, является ли число простым, а не получать список простых чисел. Алгоритмы такого рода называются тестами простоты. Существует множество полиномиальных тестов простоты. Большинство таких алгоритмов являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. Только в 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный алгоритм имеет довольно большую сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. Например, для проверки на простоту чисел Мерсенна используется тест Люка — Лемера.

Сколько существует простых чисел?

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

Известная теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших $n$, обозначаемое $\pi(n)$, растёт как $n/\ln(n)$.

Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на сентябрь 2006 года является $2^{32582657} - 1$. Оно содержит 9 808 358 десятичных цифр и является 44-м известным простым числом Мерсенна (M_32582657). Его нашли 4 сентября 2006 года Кертис Купер и Стивен Бун из Университета штата Миссури (Central Missouri State University), участники проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Предыдущее наибольшее известное простое число $2^{30402457}-1$ содержит 9 152 052 десятичных цифры и является 43-м известным простым числом Мерсенна (M_30402457). Его нашли 15 декабря 2005 года также Кертис Купер и Стивен Бун в рамках проекта GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. За нахождение простого числа из более чем 10⁷ десятичных цифр EFF назначила награду в 100000 долларов США.

Некоторые свойства

• Если $p$ — простое, и $p$ делит $a b$, то $p$ делит $a$ или $b$. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
• Кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ является полем тогда и только тогда, когда $n$ — простое.
• Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
• Если $p$ — простое, а $a$ — натуральное, то $a^p - a$ делится на $p$ (малая теорема Ферма).
• Если $G$ — конечная группа с $p^n$ элементов, то $G$ содержит элемент порядка $p$.
• Если $G$ — конечная группа, и $p^n$ — максимальная степень $p$, которая делит $|G|$, то $G$ имеет подгруппу порядка $p^n$, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно $pk+1$ для некоторого целого $k$ (теоремы Силова).
• Натуральное $p > 1$ является простым тогда и только тогда, когда $(p - 1)! + 1$ делится на $p$ (теорема Вильсона).
• Если $n > 1$ — натуральное, то существует простое $p$, такое, что $n < p < 2 n$ (постулат Бертрана).
• Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при $x\to\infty$

$$\sum_{p$$

• Любая арифметическая прогрессия вида $a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ...$, где $a, q > 1$ — целые взаимно-простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Ландау (Landau) на пятом математическом конгрессе:

• Проблема Гольдбаха (первая проблема Ландау) о том, что каждое чётное число большее двух может быть представлено в виде суммы двух простых чисел, а каждое нечётное число большее 5 может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел.
• Вторая проблема Ландау о бесконечности множества простых близнецов — простых чисел, разность между которыми равна 2.
• Гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау) о том, что между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число.
• Четвёртая проблема Ландау о бесконечности количества простых вида $n^2 + 1$.

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, число Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка $10^{300}$) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ Вихрь Мерсенна).

Вариации и обобщения

• В теории колец, разделе абстрактной алгебры, определено понятие простого элемента и простого идеала.
• В теории узлов существует понятие простого узла, который, в определённом смысле, не может быть разбит на более простые узлы.

См. также

• Список простых чисел
• Примориал

Литература

• Г. Гальперин, «Просто о простых числах», «Квант», № 4, 1987
• «Алгоритмические проблемы теории чисел», глава из книги «Введение в криптографию» под редакцией В. В. Ященко
• О. Н. Василенко, «Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии»
• А. В. Черемушкин, «Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии»
• К.Кноп «В погоне за простотой»
• А. Б. Кордемский Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958.^{о книге}
• Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker's Delight ‭. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 288. — ISBN 0-201-91465-4^{о книге}

Ссылки

• PrimeGrid prime lists — все простые числа, найденные в рамках проекта PrimeGrid
• Геометрия простых и совершенных чисел(исп.)
• Онлайн Утилита для Проверки и Поиска Простых Чисел