Распространённые математические заблуждения

Среди людей, мало или поверхностно знакомых с математикой, распространены некоторые суждения, которые по сути своей являются ложными. Приведём некоторые из них.

Великая теорема Ферма

Распространено мнение, что великая теорема Ферма (ещё её называют «последней теоремой Ферма») до сих пор не доказана.

Великая теорема Ферма утверждает, что невозможно решить уравнение $a^n + b^n = c^n$ в положительных целых числах при положительном $n>2$. (При $n=2$ одним из решений, например, является знаменитый египетский треугольник — прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4 ед. измерения, и гипотенузой, равной 5. При $n = 1$ решения очевидны.)

Это заблуждение очень распространено не только среди неспециалистов, но и среди школьных учителей. Иногда встречаются и преподаватели высшей школы, не знакомые с фактом доказательства.

На самом деле, эта теорема доказана в 1994 году британским математиком Эндрю Уайлсом (при участии Ричарда Тейлора). Доказательство теоремы заняло 109 печатных страниц и было опубликовано в следующем году в журнале «Annals of Mathematics», 141 (1995), сс. 443—551. Уайлз на самом деле доказал частный случай теоремы Таниямы — Шимуры, из которого следовала верность Великой теоремы Ферма.

Таким образом, Великая теорема Ферма была доказана ещё в далёком 1994 году.

Параллельные прямые в геометрии Лобачевского

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?» многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, параллельные прямые пересекаются. Многие также заблуждаются относительно утверждения евклидовой аксиомы о параллельных, считая, что она утверждает: «Параллельные прямые не пересекаются.»

На самом деле это неверно. Параллельными прямыми и в той, и в другой геометрии называются прямые, которые не пересекаются друг с другом. То есть сама формулировка «в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются» бессмысленна.

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Пятый постулат Евклида в формулировке Прокла утверждает, что «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной». В геометрии Лобачевского эта аксиома выглядит так: «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, параллельные данной». (В обоих случаях прямые принадлежат одной плоскости.) Таким образом, эту аксиому часто путают с определением параллельных прямых.

Лобачевский доказал, что такая формулировка аксиомы не противоречит ни одной аксиоме из предыдущих четырёх групп, значит, в таком виде стандартные 4 группы аксиом плюс 5-я аксиома в формулировке Лобачевского имеют право на существование и образуют так называемую гиперболическую геометрию (которую часто и называют геометрией Лобачевского).

Также в рекламе бытовой техники Zanussi было: «Параллельные прямые не пересекаются. Доказано Евклидом». Это тоже нонсенс — определение не требует доказательства.

Невозможные построения с помощью циркуля и линейки

Многие считают, что задачи трисекции угла и удвоения куба циркулем и линейкой «одинаково невозможны», так как каждая из них требует решения кубического уравнения, и что с помощью циркуля, линейки и трисектора (прибора, позволяющего делить произвольный угол на три равные части) можно решить задачу удвоения куба. В действительности трисектор позволяет решать не все, а лишь часть кубических уравнений (те, у которых все три корня действительны), и удвоить куб циркулем, линейкой и трисектором нельзя (так как у получающегося уравнения лишь один действительный корень).

См. также

• Категория:Математические парадоксы