Распространённые математические заблуждения

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Среди людей, мало или поверхностно знакомых с математикой, распространены некоторые суждения, которые по сути своей являются ложными. Приведём некоторые из них.

Великая теорема Ферма[править]

Распространено мнение, что великая теорема Ферма (ещё её называют «последней теоремой Ферма») до сих пор не доказана.

Великая теорема Ферма утверждает, что невозможно решить уравнение \(a^n + b^n = c^n\) в положительных целых числах при положительном \(n>2\). (При \(n=2\) одним из решений, например, является знаменитый египетский треугольник — прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4 ед. измерения, и гипотенузой, равной 5. При \(n = 1\) решения очевидны.)

Это заблуждение очень распространено не только среди неспециалистов, но и среди школьных учителей. Иногда встречаются и преподаватели высшей школы, не знакомые с фактом доказательства.

На самом деле, эта теорема доказана в 1994 году британским математиком Эндрю Уайлсом (при участии Ричарда Тейлора). Доказательство теоремы заняло 109 печатных страниц и было опубликовано в следующем году в журнале «Annals of Mathematics», 141 (1995), сс. 443—551. Уайлз на самом деле доказал частный случай теоремы Таниямы — Шимуры, из которого следовала верность Великой теоремы Ферма.

Таким образом, Великая теорема Ферма была доказана ещё в далёком 1994 году.

Параллельные прямые в геометрии Лобачевского[править]

Часто на вопрос «Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?» многие отвечают, что в геометрии Лобачевского, в отличие от евклидовой, параллельные прямые пересекаются. Многие также заблуждаются относительно утверждения евклидовой аксиомы о параллельных, считая, что она утверждает: «Параллельные прямые не пересекаются.»

На самом деле это неверно. Параллельными прямыми и в той, и в другой геометрии называются прямые, которые не пересекаются друг с другом. То есть сама формулировка «в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются» бессмысленна.

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Пятый постулат Евклида в формулировке Прокла утверждает, что «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной». В геометрии Лобачевского эта аксиома выглядит так: «через точку, не лежащую на данной прямой, проходят хотя бы две прямые, параллельные данной». (В обоих случаях прямые принадлежат одной плоскости.) Таким образом, эту аксиому часто путают с определением параллельных прямых.

Лобачевский доказал, что такая формулировка аксиомы не противоречит ни одной аксиоме из предыдущих четырёх групп, значит, в таком виде стандартные 4 группы аксиом плюс 5-я аксиома в формулировке Лобачевского имеют право на существование и образуют так называемую гиперболическую геометрию (которую часто и называют геометрией Лобачевского).

Также в рекламе бытовой техники Zanussi было: «Параллельные прямые не пересекаются. Доказано Евклидом». Это тоже нонсенс — определение не требует доказательства.

Невозможные построения с помощью циркуля и линейки[править]

Многие считают, что задачи трисекции угла и удвоения куба циркулем и линейкой «одинаково невозможны», так как каждая из них требует решения кубического уравнения, и что с помощью циркуля, линейки и трисектора (прибора, позволяющего делить произвольный угол на три равные части) можно решить задачу удвоения куба. В действительности трисектор позволяет решать не все, а лишь часть кубических уравнений (те, у которых все три корня действительны), и удвоить куб циркулем, линейкой и трисектором нельзя (так как у получающегося уравнения лишь один действительный корень).

См. также[править]