Вектор Хевисайда

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Вектор Хевисайда — вектор плотности потока энергии гравитационного поля, входящий в тензор энергии-импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Вектор Хевисайда \(~ \mathbf {H} \) можно определить через векторное произведение двух векторов: [1] $$ \mathbf {H} = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}], $$

где \( ~\mathbf \Gamma \) – вектор напряжённости гравитационного поля или гравитационное ускорение, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ \mathbf{\Omega}\) есть напряжённость поля кручения или кручение поля, \(~ c_{g}\) – скорость распространения гравитационного воздействия.

Модуль вектора Хевисайда равен количеству гравитационной энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к потоку энергии, в единицу времени. Знак минус в определении \(~ \mathbf {H} \) означает, что энергия переносится в направлении, противоположном направлению вектора.

Плотность импульса гравитационного поля[править]

Для определения вектора плотности импульса \(~ \mathbf { P_g} \) гравитационного поля необходимо разделить вектор Хевисайда на квадрат скорости распространения гравитации: $$~ \mathbf {P_g}= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}= - \frac{1}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}].$$

Вектор \(~ \mathbf { P_g } c_{g} = \frac {1}{ c_{g}}\mathbf {H} =U^{0k} \) входит в тензор энергии-импульса гравитационного поля \(~ U^{ik} \) в виде трёх времяподобных компонент, при этом индексы тензора i = 0, k = 1,2,3. Для определения импульса гравитационного поля необходимо проинтегрировать вектор \(~ \mathbf { P_g } \) по движущемуся объёму пространства, занимаемого полем, с учётом лоренцевского сокращения этого объёма.

Теорема Хевисайда[править]

Из закона сохранения энергии-импульса вещества в гравитационном поле в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации следует теорема Хевисайда: $$\nabla \cdot \mathbf {H} = - \frac{\partial {U^{00}}}{\partial {t}} - \mathbf {J} \cdot \mathbf {\Gamma } , $$

где \(~ \mathbf {J}\) есть плотность тока массы.

Согласно данной теореме, втекающая в некоторый объём гравитационная энергия в виде плотности потока энергии \(~ \mathbf {H} \) расходуется на увеличение энергии поля \(~ U^{00}\) в данном объёме, и на совершение гравитационной работы с ускорением \(~ \mathbf {\Gamma } \) плотности массового тока \(~ \mathbf {J}\).

Плоские волны[править]

Максвеллоподобные гравитационные уравнения, в форме которых представляются уравнения Лоренц-инвариантной теории гравитации, позволяют определить свойства плоских гравитационных волн от любых точечных источников поля. В плоской волне вектора \( ~\mathbf \Gamma \) и \(~ \mathbf{\Omega}\) взаимно перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, а для амплитуд выполняется соотношение \(~ \Gamma_0=c_g \Omega_0 \).

Если считать, что волна бежит в одном направлении, для напряжённостей полей можно записать: $$~ \Gamma ( \mathbf{r}, t ) = \Gamma_0{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ), $$ $$~ \Omega ( \mathbf{r}, t ) = \Omega_0{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}), $$

где \(~ \omega\) и \(~ \mathbf{k} \) есть угловая частота и волновой вектор волны.

Тогда для потока гравитационной энергии будет: $$ H( \mathbf{r}, t ) = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} \Gamma_0 \Omega_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) =- \frac{c_{g}}{4\pi G} \Gamma^2_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) .$$

Среднее по времени и пространству от квадрата косинуса равно ½, поэтому: $$ \left\langle H( \mathbf{r}, t ) \right\rangle = - \frac{c_{g}}{8\pi G} \Gamma^2_0.$$

На практике следует учитывать, что картина волн в гравитационно связанной системе тел скорее носит квадрупольный, чем дипольный характер, поскольку при излучении следует учитывать вклады всех источников поля. По принципу суперпозиции вначале нужно просуммировать в каждой точке пространства все имеющиеся там поля \( ~\mathbf \Gamma \) и \(~ \mathbf{\Omega}\), найти их как функции координат и времени, и только затем вычислять через полученные суммарные величины поток энергии в виде вектора Хевисайда.

Гравитационное давление[править]

Пусть имеется поток гравитационной энергии, падающий на некоторую единичную материальную площадку, поглощающую всю энергию. Поток энергии распространяется со скоростью \(~ c_{g}\) и несёт плотность импульса поля $$~ \mathbf { P_g }= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}.$$

Тогда максимально возможное гравитационное давление равно: $$p= \mid \frac{\langle H \rangle}{ c_{g}} \mid =\frac {\Gamma^2_0}{8\pi G } ,$$ где \( \langle H\rangle\) есть среднее значение вектора Хевисайда, \(~ \Gamma_0\) – амплитуда вектора напряжённости гравитационного поля падающей плоской гравитационной волны. Формулу для максимального давления можно понять из определения давления как силы \(~ F\), приложенной к площади \(~ S\), определения силы как изменения импульса поля \(~ \Delta Q \) за время \(~ \Delta t\), при условии, что \(~ \Delta Q = Q \); \(~ c_g \Delta t=\Delta x\); объём, поглощающий импульс поля \(~ \Delta V = \Delta x S \); среднее значение плотности гравитационного импульса \(~ \langle P_g \rangle = \frac {Q}{\Delta V } \): $$p=\frac {F}{S}= \frac {\Delta Q }{\Delta t S}= \frac {Q c_g }{\Delta x S}= \langle P_g \rangle c_g .$$

Поскольку поток гравитационной энергии проходит через тела с малым поглощением в них, для вычисления давления следует брать разность между падающим и исходящим потоками энергии.

История[править]

Представление о потоке гравитационной энергии впервые появилось в работах Оливера Хевисайда. [2] Ранее были определены вектор Умова для потока энергии в веществе (1874 г.) и вектор Пойнтинга (1884 г.) для потока электромагнитной энергии.

Вектор Хевисайда имеет тот же вид, что был использован в работах Krumm and Bedford, [3] Fedosin, [4] H. Behera and P. C. Naik. [5]

Ссылки[править]

  1. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. Oliver Heaviside. A Gravitational and Electromagnetic Analogy, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).
  3. P. Krumm and D. Bedford, Am. J. Phys. 55 (4), 362 (1987).
  4. Fedosin S.G. (1999), written at Perm, pages 544, Fizika i filosofiia podobiia ot preonov do metagalaktik, ISBN 5-8131-0012-1.
  5. Harihar Behera and P. C. Naik. Gravitomagnetic Moments and Dynamics of Dirac (Spin 1/2 ) Fermions in Flat Space-Time Maxwellian Gravity. International Journal of Modern Physics A, Vol. 19, No. 25 (2004), P. 4207-4229.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]