Вектор Хевисайда

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вектор Хевисайда — вектор плотности потока энергии гравитационного поля, входящий в тензор энергии-импульса гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Вектор Хевисайда   H ~ \mathbf {H} можно определить через векторное произведение двух векторов: [1] H = − c g 2 4 π G [ Γ × Ω ] , \mathbf {H} = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}],

где   Γ ~\mathbf \Gamma – вектор напряжённости гравитационного поля или гравитационное ускорение,   G ~ G – гравитационная постоянная,   Ω ~ \mathbf{\Omega} есть напряжённость поля кручения или кручение поля,   c g ~ c_{g} – скорость распространения гравитационного воздействия.

Модуль вектора Хевисайда равен количеству гравитационной энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к потоку энергии, в единицу времени. Знак минус в определении   H ~ \mathbf {H} означает, что энергия переносится в направлении, противоположном направлению вектора.

Плотность импульса гравитационного поля[править | править код]

Для определения вектора плотности импульса   P g ~ \mathbf { P_g} гравитационного поля необходимо разделить вектор Хевисайда на квадрат скорости распространения гравитации:   P g = 1 c g 2 H = − 1 4 π G [ Γ × Ω ] . ~ \mathbf {P_g}= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}= - \frac{1}{4\pi G} [ \mathbf \Gamma \times \mathbf {\Omega}].

Вектор   P g c g = 1 c g H = U 0 k ~ \mathbf { P_g } c_{g} = \frac {1}{ c_{g}}\mathbf {H} =U^{0k} входит в тензор энергии-импульса гравитационного поля   U i k ~ U^{ik} в виде трёх времяподобных компонент, при этом индексы тензора i = 0, k = 1,2,3. Для определения импульса гравитационного поля необходимо проинтегрировать вектор   P g ~ \mathbf { P_g } по движущемуся объёму пространства, занимаемого полем, с учётом лоренцевского сокращения этого объёма.

Теорема Хевисайда[править | править код]

Из закона сохранения энергии-импульса вещества в гравитационном поле в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации следует теорема Хевисайда: ∇ ⋅ H = − ∂ U 00 ∂ t − J ⋅ Γ , \nabla \cdot \mathbf {H} = - \frac{\partial {U^{00}}}{\partial {t}} - \mathbf {J} \cdot \mathbf {\Gamma } ,

где   J ~ \mathbf {J} есть плотность тока массы.

Согласно данной теореме, втекающая в некоторый объём гравитационная энергия в виде плотности потока энергии   H ~ \mathbf {H} расходуется на увеличение энергии поля   U 00 ~ U^{00} в данном объёме, и на совершение гравитационной работы с ускорением   Γ ~ \mathbf {\Gamma } плотности массового тока   J ~ \mathbf {J} .

Плоские волны[править | править код]

Максвеллоподобные гравитационные уравнения, в форме которых представляются уравнения Лоренц-инвариантной теории гравитации, позволяют определить свойства плоских гравитационных волн от любых точечных источников поля. В плоской волне вектора   Γ ~\mathbf \Gamma и   Ω ~ \mathbf{\Omega} взаимно перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, а для амплитуд выполняется соотношение   Γ 0 = c g Ω 0 ~ \Gamma_0=c_g \Omega_0 .

Если считать, что волна бежит в одном направлении, для напряжённостей полей можно записать:   Γ ( r , t ) = Γ 0 cos  Косинус  ( ω t − k ⋅ r ) , ~ \Gamma ( \mathbf{r}, t ) = \Gamma_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ),   Ω ( r , t ) = Ω 0 cos  Косинус  ( ω t − k ⋅ r ) , ~ \Omega ( \mathbf{r}, t ) = \Omega_0 \cos ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}),

где   ω ~ \omega и   k ~ \mathbf{k} есть угловая частота и волновой вектор волны.

Тогда для потока гравитационной энергии будет: H ( r , t ) = − c g 2 4 π G Γ 0 Ω 0 cos  Косинус  2 ( ω t − k ⋅ r ) = − c g 4 π G Γ 0 2 cos  Косинус  2 ( ω t − k ⋅ r ) . H( \mathbf{r}, t ) = - \frac{c^2_{g}}{4\pi G} \Gamma_0 \Omega_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) =- \frac{c_{g}}{4\pi G} \Gamma^2_0 \cos^2 ( \omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} ) .

Среднее по времени и пространству от квадрата косинуса равно ½, поэтому: ⟨ H ( r , t ) ⟩ = − c g 8 π G Γ 0 2 . \left\langle H( \mathbf{r}, t ) \right\rangle = - \frac{c_{g}}{8\pi G} \Gamma^2_0.

На практике следует учитывать, что картина волн в гравитационно связанной системе тел скорее носит квадрупольный, чем дипольный характер, поскольку при излучении следует учитывать вклады всех источников поля. По принципу суперпозиции вначале нужно просуммировать в каждой точке пространства все имеющиеся там поля   Γ ~\mathbf \Gamma и   Ω ~ \mathbf{\Omega} , найти их как функции координат и времени, и только затем вычислять через полученные суммарные величины поток энергии в виде вектора Хевисайда.

Гравитационное давление[править | править код]

Пусть имеется поток гравитационной энергии, падающий на некоторую единичную материальную площадку, поглощающую всю энергию. Поток энергии распространяется со скоростью   c g ~ c_{g} и несёт плотность импульса поля   P g = 1 c g 2 H . ~ \mathbf { P_g }= \frac {1}{ c^2_{g}}\mathbf {H}.

Тогда максимально возможное гравитационное давление равно: p =∣ ⟨ H ⟩ c g ∣= Γ 0 2 8 π G , p= \mid \frac{\langle H \rangle}{ c_{g}} \mid =\frac {\Gamma^2_0}{8\pi G } , где ⟨ H ⟩ \langle H\rangle есть среднее значение вектора Хевисайда,   Γ 0 ~ \Gamma_0 – амплитуда вектора напряжённости гравитационного поля падающей плоской гравитационной волны. Формулу для максимального давления можно понять из определения давления как силы   F ~ F , приложенной к площади   S ~ S , определения силы как изменения импульса поля   Δ Q ~ \Delta Q за время   Δ t ~ \Delta t , при условии, что   Δ Q = Q ~ \Delta Q = Q ;   c g Δ t = Δ x ~ c_g \Delta t=\Delta x ; объём, поглощающий импульс поля   Δ V = Δ x S ~ \Delta V = \Delta x S ; среднее значение плотности гравитационного импульса   ⟨ P g ⟩ = Q Δ V ~ \langle P_g \rangle = \frac {Q}{\Delta V } : p = F S = Δ Q Δ t S = Q c g Δ x S = ⟨ P g ⟩ c g . p=\frac {F}{S}= \frac {\Delta Q }{\Delta t S}= \frac {Q c_g }{\Delta x S}= \langle P_g \rangle c_g .

Поскольку поток гравитационной энергии проходит через тела с малым поглощением в них, для вычисления давления следует брать разность между падающим и исходящим потоками энергии.

История[править | править код]

Представление о потоке гравитационной энергии впервые появилось в работах Оливера Хевисайда. [2] Ранее были определены вектор Умова для потока энергии в веществе (1874 г.) и вектор Пойнтинга (1884 г.) для потока электромагнитной энергии.

Вектор Хевисайда имеет тот же вид, что был использован в работах Krumm and Bedford, [3] Fedosin, [4] H. Behera and P. C. Naik. [5]

Ссылки[править | править код]

  1. ↑ Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. ↑ Oliver Heaviside. A Gravitational and Electromagnetic Analogy, Part I, The Electrician, 31, 281-282 (1893).
  3. ↑ P. Krumm and D. Bedford, Am. J. Phys. 55 (4), 362 (1987).
  4. ↑ Fedosin S.G. (1999), written at Perm, pages 544, Fizika i filosofiia podobiia ot preonov do metagalaktik, ISBN 5-8131-0012-1.
  5. ↑ Harihar Behera and P. C. Naik. Gravitomagnetic Moments and Dynamics of Dirac (Spin 1/2 ) Fermions in Flat Space-Time Maxwellian Gravity. International Journal of Modern Physics A, Vol. 19, No. 25 (2004), P. 4207-4229.

См. также[править | править код]

Внешние ссылки[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Вектор_Хевисайда&oldid=845429