Гравитационная постоянная

Гравитационная постоянная G лежит в основе закона всемирного тяготения.

Гравитацио́нная постоя́нная $~\;\;G$ — фундаментальная физическая постоянная, константа гравитационного взаимодействия.

Введение

Согласно Ньютоновскому закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с гравитационными массами m₁ и m₂, находящимися на расстоянии R, равна: $$F=G\frac{m_1 m_2}{R^2}.$$ Коэффициент пропорциональности G в этом уравнении называется гравитационной постоянной. Численно она равна модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела, находящегося от него на единичном расстоянии.

В единицах СИ рекомендованное на 2014 год значение: $G=6{,}67408(31) \cdot 10^{-11}$ м³•с^-²•кг⁻¹, или Н•м²•кг^-².

Гравитационная постоянная присутствует в большинстве формул, связанных с гравитационным взаимодействием. В частности, она входит в уравнения общей теории относительности и ковариантной теории гравитации, а также используется в формулах при определении поля гравитационного кручения. Значение гравитационной постоянной и её константа взаимодействия таковы, что гравитационное взаимодействие между элементарными частицами на много порядков меньше, чем слабое, электромагнитное или сильное взаимодействия.

В теории бесконечной вложенности материи на основании SPФ-симметрии предполагается существование сильной гравитации, действующей на уровне элементарных частиц. Постоянная сильной гравитации получается из обычной гравитационной постоянной путём умножения на коэффициенты подобия, находимые с помощью подобия уровней материи.

История измерения

Гравитационная постоянная фигурирует в современном законе всемирного тяготения, однако отсутствовала у Ньютона и в работах других ученых вплоть до начала XIX века. Гравитационная постоянная впервые была введена в закон всемирного тяготения, по-видимому, только после перехода к единой метрической системе мер. Возможно впервые это было сделано французским физиком Пуассоном в «Трактате по механике» (1809), по крайней мере никаких более ранних работ, в которых фигурировала бы гравитационная постоянная, историками не выявлено. В 1798 году Генри Кавендиш подготовил и провёл эксперимент Кавендиша с целью определения средней плотности Земли с помощью крутильных весов, изобретённых Джоном Мичеллом (Philosophical Transactions 1798). Кавендиш сравнивал маятниковые колебания пробного тела под действием тяготения шаров известной массы и под действием тяготения Земли. Численное значение гравитационной постоянной было вычислено позже на основе значения средней плотности Земли и привело к значению $G= 6{,}754 \cdot 10^{-11}$ м³•с^-²•кг⁻¹. Точность измеренного значения G со времён Кавендиша увеличилась незначительно.

Теоретическое определение

Maurizio Michelini для вычисления гравитационной постоянной использовал идею микро-квантов, заполняющих всё пространство, взаимодействующих с частицами тел и в результате подталкивающих тела друг к другу. Для вещества, состоящего в основном из нуклонов, получается следующее: $$~G = \frac { p_0 c^{4/3}}{ \pi M^2_n \phi^{4/3}_0} ,$$

где $~ \ p_0 = 4,33 \cdot 10^{61}$ Дж/м³ – плотность энергии потоков микро-квантов; $~ M_n$ – масса нуклона; $~ c$ – скорость света; $~ \phi_0 =1,35 \cdot 10^{102}$ м^-2•с^-1 – мощность флюенса потоков микро-квантов в одном направлении.

Сергей Федосин выразил гравитационную постоянную в рамках теории гравитации Лесажа через параметры, описывающие вакуумное поле гравитонов. В модели кубического распределения потоков гравитонов: $$~G = \frac {3 p_g D_0 \sigma^2}{2 \pi M^2_n}=\frac { \varepsilon_c \sigma^2}{4 \pi M^2_n } .$$

Здесь $~ p_g$ есть импульс гравитонов, взаимодействующих с нуклонным веществом; мощность флюенса $~ D_0$ обозначает количество гравитонов dN, попавших за время dt на перпендикулярную потоку площадь dA одного из граней некоторого куба, ограничивающего рассматриваемый объём; $~ \sigma = 5,6 \cdot 10^{-50}$ м² представляет собой сечение взаимодействия гравитонов с нуклонами; $~ M_n$ – масса нуклона; $~ \varepsilon_c = 7,4 \cdot 10^{35}$ Дж/м³ – плотность энергии потоков гравитонов для кубического распределения.

В модели сферического распределения потоков гравитонов: $$~G = \frac {4 p_g B_0 \sigma^2}{M^2_n} = \frac { \varepsilon_s \sigma^2}{6 \pi M^2_n },$$

где мощность флюенса $~ B_0$ обозначает количество гравитонов dN, попавших за время dt из единичного телесного угла $d{\alpha}$ внутрь сферической поверхности dA; $~ \varepsilon_s = 1,1 \cdot 10^{36}$ Дж/м³ – плотность энергии потоков гравитонов для сферического распределения.

Поскольку гравитационная постоянная выражается через другие переменные, она становится динамической переменной, являясь постоянной лишь в среднем.

Сечение взаимодействия $~ \sigma$ может быть выражено через сечение взаимодействия $~ \vartheta = 2,67 \cdot 10^{-30}$ м² заряженных частиц вакуумного поля (праонов) с нуклонами: $$~ \sigma = \vartheta \sqrt {\frac { G }{ \Gamma}} ,$$

где $\Gamma$ – постоянная сильной гравитации. Сечение взаимодействия $~ \vartheta$ очень близко по величине к геометрическому сечению нуклона и используется для вычисления электрической постоянной. Если подставить выражение $~ \sigma$ через $~ \vartheta$ в формулу для гравитационной постоянной в модели кубического распределения, получится связь между постоянной сильной гравитации, параметрами нуклона и плотностью энергии потоков гравитонов на нуклонном уровне материи: $$~ \Gamma = \frac { \varepsilon_c \vartheta^2}{4 \pi M^2_n } .$$

Точно также для гравитационной постоянной звёздного уровня материи возникает связь между соответствующей плотностью энергии потоков гравитонов и параметрами нейтронной звезды, являющейся аналогом нуклона: $$~ G = \frac { \varepsilon_{cs} \vartheta^2_s}{4 \pi M^2_s } ,$$

где $\varepsilon_{cs} = \varepsilon_c \frac {\Phi' S'^2}{ P'^3} = 2,3 \cdot 10^{34}$ Дж/м³ – плотность энергии потоков гравитонов на уровне звёзд для кубического распределения; $~ \vartheta_s = \vartheta P'^2 = 5,2 \cdot 10^{8}$ м² – сечение взаимодействия гравитонов с нейтронной звездой; $~ M_s = M_n \Phi' = 2,7 \cdot 10^{30}$ кг – масса нейтронной звезды. В расчёте использованы коэффициенты подобия согласно подобию уровней материи: $~ \Phi' = 1,62 \cdot 10^{57}$ по массе, $~ P' = 1,4 \cdot 10^{19}$ по размерам, $~S' = 0,23$ по скоростям протекания однотипных процессов.

Таким образом, на каждом уровне материи предполагается своя собственная постоянная гравитации, причём плотность энергии соответствующих потоков гравитонов увеличивается по мере перехода к низшим уровням материи.

Величину $\varepsilon_{cs}$ можно сравнить с плотностью энергии гравитационной волны в событии GW150914. Предполагается, что это событие было вызвано слиянием двух чёрных дыр массой 30 и 35 солнечных масс, вращающихся друг возле друга под действием гравитации, при уменьшении расстояния между ними до 350 км, при этом максимальная мощность гравитационного излучения достигла $3,6 \cdot 10^{49}$ Вт. Если разделить эту мощность на поверхность сферы радиусом 175 км, получается оценка плотности потока энергии через поверхность сферы. Эту величину можно затем разделить на скорость света и оценить плотность энергии в волне: $\approx 10^{30}$ Дж/м³. Плотность энергии волны получается существенно ниже, чем плотность энергии вакуумного поля гравитонов. Тем самым гравитационная волна от большинства мощных источников излучения лишь незначительно модулирует потоки гравитонов в космическом пространстве.

Квантово-релятивистская формулировка гравитационной постоянной

Естественно-единая квантовая теории взаимодействий показала, что константы всех фундаментальных взаимодействий выражаются через постоянную тонкой структуры (ПТС). В этом случае значение $G$ будет иметь следующий вид $$G=\sqrt{3}\alpha^{18}\frac{\hbar c}{m_{pa}^{2}},$$ где $\alpha$ — ПТС, $\hbar$ — приведённая постоянная Планка, $c$ — скорость света в вакууме, $m_{pa}$ — присоединённая масса протона.

Полученная формула раскрывает скрытый квантово-релятивистский статус самого закона тяготения Ньютона. Дело в том, что произведение $\hbar\times c$, входящее в $\alpha$ и $G$, сохраняется только при одновременном преобразовании $c \rightarrow\infty$ и $\hbar\rightarrow0$ согласно принципу соответствия. Таким образом, говорить об одностороннем (не квантово-релятивистском) уточнении закона тяготения Ньютона оказывается в принципе неправильно.

На основе данных, приведённых в нижеследующей таблице (взяты из Википедии 07.03.2018), получаем: $$m_{pa}=1.68082*10^{-27}.$$ Таким образом, значение $m_{pa}$ всего на 9 электронных масс превышает массу протона $m_{p}$ и может считаться достоверным.

Параметр	Значение
$\hbar$	1.054 571 800(13) $\times 10^{-34}$ Дж c
с	299 792 458 м/с
$\alpha$	7.297 352 566 4(17) $\times 10^{-3}$
G	6.674 08(31) $\times10^{-11}$ $м^{3}$ $с^{-2}$ $кг^{-1}$

В качестве примера оценки $m_{pa}$ можно считать, что эта величина включает массу протона $m_{p}$ и массу электрона $m_е$. Кроме того необходимо включить массу нейтрона $m_n$ с коэффициентом $\delta$ — долей нейтронов на один протон, которая составляет десятые для звёзд и единицы для планет. Также надо вычесть энергию связи связанных нуклонов, которая различна для звёзд и планет. Наконец, надо добавить кинетическую энергию на нуклон и другие возможные вклады. В результате константа $G$ превратится в константу $G_{ik}$, где, например, i и k — индексы Солнца и планет. Таким образом, вместо $G$ вводится физически осмысленная космологическая константа $m_{pa}$. Простейшая интерпретация такова: присоединённая масса протона $m_{pa}$ равна массе протона $m_{p}$ и массе электрона $m_{e}$ (т.е. массе атома водорода), причём их суммарная кинетическая энергия равна 4 Mev (масса восьми электронов). В такой формулировке закон Ньютона говорит нам, что в первом приближении Вселенная в основном состоит из горячего водорода.

Таким образом, закон Ньютона не чувствует тёмную материю и не может быть использован для её обоснования. Такое же заключение можно сделать и относительно тёмной энергии.

См. также

• Постоянная сильной гравитации
• Константы вакуума
• Самосогласованные гравитационные константы
• Константа взаимодействия

Внешние ссылки

• Гравитационная постоянная — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Иванов И. «Гравитационная постоянная измерена новыми методами» // Элементы.ру. — 22.01.2007.
• Gravitational constant

Литература

• Милюков В. К. Гравитационная постоянная // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 523.
• Speake C., Quinn T. «The search for Newton’s constant» // Physics Today. — 2014. — № 7.