Поле кручения

Поле кручения — силовое поле, действующее на массы и тела, находящиеся в поступательном или вращательном движении, является второй компонентой гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации и в ковариантной теории гравитации. По своему действию поле кручения аналогично магнитному полю в электромагнетизме (смотри максвеллоподобные гравитационные уравнения). Термин поле кручения в таком значении введён Сергеем Федосиным в 1999 г. Размерность поля кручения в системе физических единиц СИ такая же, как у частоты, то есть c^-1.

Поле кручения играет важную роль в гравитационной модели сильного взаимодействия.

Поле кручения в лоренц-инвариантной теории гравитации

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) сила гравитации рассматривается как двухкомпонентная сила, зависящая от напряжённости гравитационного поля (гравитационного ускорения) $~ \mathbf{\Gamma }$ и от гравитационного кручения $~ \mathbf{\Omega}$: $$~ \mathbf{F} = M \mathbf{\Gamma }+ M \left[\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega} \right],$$

где $~ M$ и $~\mathbf{v}$ есть масса и скорость тела, движущегося в гравитационном поле.

Кручение $~\mathbf{\Omega}$ в ЛИТГ с точностью до постоянного множителя соответствует напряжённости так называемого гравитомагнитного поля $~\mathbf{H_g}$ в общей теории относительности (ОТО). Причиной возникновения кручения в ЛИТГ является необходимость соответствия принципу лоренц-инвариантности для потенциалов поля гравитации в инерциальных системах отсчёта.

Как и напряжённость гравитационного поля, поле кручения делает свой вклад в тензор гравитационного поля, в тензор энергии-импульса гравитационного поля, а также в плотность энергии гравитационного поля: $$~u=-\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma ^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right),$$ где $~ c_{g}$ – скорость распространения гравитационного воздействия, $~ G$ – гравитационная постоянная,

в вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда: $$~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }],$$

и в функцию Лагранжа для частицы в гравитационном поле.

Уравнения Хевисайда

Поле кручения входит в три из четырёх дифференциальных уравнений Хевисайда: $$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega}= 0,$$ $$~ \nabla \times \mathbf{\Omega}= \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right) = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \rho \mathbf{ v_{\rho}} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),$$ $$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t},$$

где:

• $~ \mathbf{J}$ – плотность тока массы,
• $~ \rho$ – плотность движущейся массы,
• $~ \mathbf{ v_{\rho}}$ – скорость движения потока массы, создающего гравитационное поле и кручение.

Из первого уравнения следует, что поле кручение не имеет источников, и значит, линии поля кручения всегда замкнуты, как у магнитного поля. Согласно второму уравнению, кручение создаётся движением вещества и изменением во времени напряжённости гравитационного поля. Из третьего уравнения вытекает эффект гравитационной индукции.

Согласно ЛИТГ, напряжённость гравитационного поля (гравитационное ускорение) $~ \mathbf{\Gamma }$ и кручение $~ \mathbf{\Omega}$ определяют компоненты реальной физической гравитационной силы, которая может быть обоснована на квантовом уровне подобно электромагнитной силе. Кручение возникает всегда, когда имеет место какое-либо движение массы. Поскольку любое движение можно разбить на две части — вращательное и поступательное, то соответственно можно говорить о двух видах кручения. Кручение за пределами вращающейся сферы с моментом импульса $~ \mathbf{L}$ имеет дипольный вид: $$~ \mathbf{\Omega}= \frac{ G }{2 c^2_{g}} \frac{ \mathbf{L}- 3 (\mathbf{L} \cdot \mathbf{r} /r) \mathbf{r} /r}{r^3}.$$

Наличие 1/2 в формуле для $~ \mathbf{\Omega}$ отражает тот факт, что гравитационный момент осесимметричного тела равен половине его момента импульса. При прямолинейном движении тела кручение гравитационного поля равно: $$~ \mathbf{\Omega}= \frac{ \mathbf{V}}{c^2_{g}} \times \mathbf{\Gamma },$$

где $~\mathbf{V}$ – скорость движения тела, $~ \mathbf{\Gamma }$ – напряжённость гравитационного поля от тела в той точке, где определяется кручение $~ \mathbf{\Omega}$, причём напряжённость $~ \mathbf{\Gamma }$ берётся с учётом запаздывания распространения гравитационного возмущения.

В общем случае кручение от точечной произвольно движущейся массы можно выразить через создаваемую ею напряжённость гравитационного поля $~ \mathbf{\Gamma }$: $$~ \mathbf{\Omega}= \frac{ 1 }{c_{g}} \mathbf{ e}_{r} \times \mathbf{\Gamma },$$

где $\mathbf{ e}_{r}$ есть единичный вектор, направленный от точечной массы в ту точку, где определяется кручение, взятый в раннее время с учётом запаздывания.

Частица со спином в поле кручения

Формула для момента силы, действующего на вращающуюся частицу со спином $~\mathbf{L}$ в поле кручения $~ \mathbf{\Omega}$, записывается так: $$~ \mathbf{K} = \frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{\Omega}.$$

Поскольку частица представляет собой волчок со спином $~\mathbf{L}$, то при наличии момента сил $~ \mathbf{K}$ частица начнёт прецессировать вдоль направления поля $~ \mathbf{\Omega}$. Это следует из уравнения вращательного движения: $$~ \mathbf{K} = \frac{d \mathbf{L} } {dt}.$$

Так как момент сил $~ \mathbf{K}$ перпендикулярен спину $~ \mathbf{L}$ и кручению $~ \mathbf{\Omega}$, то это же справедливо и для приращения спина $~d \mathbf{L}$ за время $~ dt$. Перпендикулярность $~ \mathbf{L}$ и $~d \mathbf{L}$ приводит к прецессии спина частицы с угловой скоростью $~ \mathbf{w} = -\frac{ \mathbf{\Omega}}{2}$ вокруг направления $~ \mathbf{\Omega}$. Последнее равенство следует из того, что $~ \mathbf{K}= \frac{d \mathbf{L}} {dt}=\frac{1}{2} \mathbf{L} \times \mathbf{\Omega}$, а величина $~w= \frac{dL} {L \sin Q dt} = \frac{d\varphi} {dt}$, где $~Q$ есть угол между $~ \mathbf{\Omega}$ и $~ \mathbf{L}$, причём приращение угла $d\varphi$ отсчитывается от проекции вектора $\mathbf{L}$ на плоскость, перпендикулярную вектору $~ \mathbf{\Omega}$, до проекции вектора $\mathbf{L}+ d \mathbf{L}$ на эту плоскость.

При наличии неоднородного поля кручения частица со спином $~ \mathbf{L}$ будет увлекаться в область более сильного поля. Из уравнений ЛИТГ следует выражение для такой силы: $$~ \mathbf{F} = \frac{1}{2}\nabla \left(\mathbf{L}\cdot \mathbf{\Omega} \right).$$

Механическая энергия частицы со спином в поле кручения будет равна: $$~U= -\frac{1}{2} \mathbf{L} \cdot \mathbf{\Omega}.$$

Гравитационный векторный потенциал

Поле кручения и напряжённость гравитационного поля тесно связаны с потенциалами поля и выражаются через последние по формулам: $$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},$$ $$~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},$$ где $~\psi$ есть скалярный потенциал, $~ \mathbf{D}$ – векторный потенциал гравитационного поля.

Значение потенциалов определяется тем, что если пробную частицу единичной массы поместить во внешнее гравитационное поле, то $~\psi$ будет задавать дополнительную энергию такой частицы за счёт действия поля, при этом $~ \mathbf{D}$ оказывается частью обобщённого импульса частицы. Векторный потенциал поля делает вклад в поле кручения и в напряжённость гравитационного поля, но поле кручения прямо не зависит от скалярного потенциала. При записи уравнений в четырёхмерной форме потенциалы поля образуют гравитационный 4-потенциал $~ D_\mu$, причём тензор гравитационного поля, состоящий из $~\mathbf{\Omega }$ и $~\mathbf{\Gamma },$ получается как 4-ротор от $~ D_\mu$.

Поле кручения (гравитомагнитное поле) в общей теории относительности

В отличие от ньютоновской механики, в общей теории относительности (ОТО) движение пробной частицы (и ход часов) в гравитационном поле зависит от того, вращается или нет тело — источник поля. Влияние вращения сказывается даже в том случае, когда распределение масс в источнике в его системе отсчёта не меняется со временем (например, имеется цилиндрическая симметрия относительно оси вращения). Гравитомагнитные эффекты в слабых полях чрезвычайно малы. В слабом гравитационном поле и при малых скоростях движения частиц можно отдельно рассматривать гравитационную и гравитомагнитную силы, действующие на пробное тело, причём напряжённость гравитомагнитного поля и гравитомагнитная сила описываются уравнениями, близкими по форме к соответствующим уравнениям электромагнетизма.

Рассмотрим движение пробной частицы в окрестностях вращающегося сферически симметричного тела с массой $~M$ и моментом импульса $~ \mathbf{L}$. Если частица массой $~m$ движется со скоростью $~v\ll c$ ($~c$ — скорость света), то на частицу, помимо гравитационной силы, будет действовать гравитомагнитная сила, направленная (подобно силе Лоренца) перпендикулярно как скорости, так и напряжённости гравитомагнитного поля $~ \mathbf{H_g}$. В системе единиц СГС будет: $$~ \mathbf{F}= \frac{m}{c} \left[\mathbf{v} \times 2 \mathbf{H_g} \right].$$

При этом, если вращающаяся масса находится в начале координат и $~ \mathbf{r}$ — радиус-вектор до точки наблюдения, напряжённость гравитомагнитного поля в этой точке равна: $$~ \mathbf{ H_g }= \frac{G}{c} \frac{ \mathbf{L} - 3(\mathbf{L} \cdot \mathbf{r}/r) \mathbf{r}/r}{r^3},$$

где $~ G$ — гравитационная постоянная.

Последняя формула совпадает (за исключением коэффициента) с аналогичной формулой для поля магнитного диполя с магнитным дипольным моментом, равным $~ \mathbf{L}$. В ОТО гравитация не есть самостоятельная физическая сила. Скорее, гравитация ОТО сводится к искривлению пространства-времени и трактуется как геометрический эффект, приравнивается к метрическому полю. Такой же геометрический смысл получает и гравитомагнитное поле $~\mathbf{ H_g }$.

В противоположность этому, в ЛИТГ предполагается, что сила от кручения возникает уже в пространстве Минковского, как и магнитная сила. В ОТО эквивалентная гравитомагнитная сила рассматривается в римановом пространстве, в котором гравитации носит тензорный, а не векторный характер. Поэтому спин гравитонов в ОТО полагается в два раза большим, чем в векторной теории ЛИТГ. Отсюда в ряде работ по гравитоэлектромагнетизму в ОТО в выражениях для силы и гравитомагнитного поля появляются добавочные численные множители по сравнению с выражениями для силы и поля кручения в ЛИТГ. Для прямолинейного движения тел формулы для кручения в ЛИТГ и в ОТО совпадают.

Эффекты, связанные с полем кручения

В случае сильных полей и релятивистских скоростей поле кручения нельзя рассматривать отдельно от гравитационного, поскольку начинает сказываться зависимость метрического тензора от величины полей, а уравнения поля становятся взаимосвязанными и нелинейными. При этом ЛИТГ переходит в ковариантную теорию гравитации (КТГ). В слабых полях в качестве отдельных эффектов поля кручения рассматриваются следующие:

• увлечение инерциальных систем отсчёта. Это прецессия спинового и орбитального моментов пробной частицы вблизи массивного вращающегося тела. В системе единиц СИ угловая скорость прецессии равна $~ \mathbf{w}= -\frac{\mathbf{\Omega}}{2}$ и направлена против направления поля кручения $~ \mathbf{\Omega}$.
  • орбитальный эффект Лензе-Тирринга, приводящий к прецессии, то есть к вращению нормали эллиптической орбиты частицы относительно вектора поля гравитационного кручения вращающегося тела. Данный эффект векторно складывается со стандартной общерелятивистской прецессией перицентра (43″ в столетие для Меркурия), которая не зависит от вращения центрального тела. Орбитальная прецессия Лензе-Тирринга была впервые измерена для спутников LAGEOS и LAGEOS II.
  • спиновый эффект Лензе-Тирринга (или эффект Шиффа) выражается в прецессии гироскопа, находящегося вблизи вращающегося тела. Если гироскоп рассматривать как вращающийся волчок, то ось такого волчка будет периодически изменять своё направление в пространстве с частотой прецессии. Проверка такой прецессии была одной их целей эксперимента Gravity Probe B, проведённого NASA в 2005—2007 гг. на спутнике с орбитой, проходящей через полюс Земли. Однако ошибки измерений оказались чересчур велики, в пределах 256—128 %, помешав осуществить измерения. Экспериментальное измерение эффекта Шиффа является проверкой для теорий ОТО и КТГ в отношении формул для прецессии. На полюсе Земли угловая скорость прецессии $~w$ направлена также, как спин Земли $~L$, и из КТГ следует:

$$~w = -\frac{\Omega }{2}= \frac{G L}{2 c^2_{g} r^3},$$

где $~r$ есть расстояние от центра Земли до гироскопа на орбите возле полюса. Измерение $~w$ позволяет непосредственно определить скорость распространения гравитации $~c_{g}$ в КТГ. Такая же формула справедлива и в ОТО, но для усреднённого по всей орбите значения угловой скорости прецессии, причём при $~ c_{g}=c$ для $~w$ должно быть значение 0,0409 угловых секунд в год (здесь $~r=R_e +640=6378 +640 = 7018$ км для спутника Gravity Probe B, $~R_e$ – радиус Земли, высота спутника равна 640 км).

• геодезическая прецессия (эффект де Ситтера) возникает при параллельном переносе вектора момента импульса в искривленном пространстве-времени. Для системы Земля-Луна, движущейся в поле Солнца, скорость геодезической прецессии равна 1,9″ в столетие; точные астрометрические измерения выявили этот эффект, который совпал с предсказанным в пределах ошибки ~1 %. Геодезическая прецессия гироскопов на спутнике Gravity Probe B совпала с предсказанным значением (поворот оси на 6,606 угловой секунды в год в плоскости орбиты спутника) с точностью лучше 1 %. Формула для прецессии де Ситтера в ОТО имеет вид:

$$~ \mathbf{w} = \frac{3}{2} \frac{G M}{c^2 r^3} \mathbf{r} \times \mathbf{V} =\frac{3}{2} \frac{G M}{c^2 r^2} \mathbf{\omega}_o,$$

где $~ \mathbf{V}$ есть скорость движения гироскопа на земной орбите, $~M$ – масса Земли, $~ \mathbf{\omega}_o$ – угловая орбитальная скорость вращения гироскопа.

Угловая скорость геодезической прецессии перпендикулярна как скорости движения гироскопа, так и ускорению силы тяжести Земли, совпадая с направлением угловой орбитальной скорости вращения. Поэтому на полюсе Земли геодезическая прецессия перпендикулярна спиновой прецессии в эффекте Шиффа, угловая скорость которой здесь направлена по оси вращения Земли.

• гравитомагнитный сдвиг времени. В слабых полях (например, вблизи Земли) этот эффект маскируется стандартными спец- и общерелятивистским эффектами изменения хода часов и находится далеко за пределами современной точности эксперимента.

Аналогии с электродинамикой

Так как поле гравитационного кручения подобно магнитному полю в электродинамике, а момент импульса частицы подобен дипольному магнитному моменту, то согласно ЛИТГ это позволяет дать интерпретацию эффекта Лензе-Тиррирнга на примере вращения электрически заряженной пробной частицы вокруг притягивающего её тела в случае, если это тело имеет дипольный магнитный момент. В силу закона сохранения орбитального момента импульса, плоскость орбиты частицы стремится не изменять своё положение в пространстве. Однако при вращении частицы вокруг тела на заряд частицы будет действовать дополнительная сила Лоренца от магнитного поля тела, перпендикулярная скорости частицы. В стационарном режиме скорость и орбитальный момент импульса частицы не будут меняться по модулю, но сама орбита вращающейся частицы и направление её орбитального момента импульса будут прецессировать относительно оси дипольного магнитного момента тела, как в орбитальном эффекте Лензе-Тиррирнга.

Если же частица имеет собственный магнитный момент и спин, то возникнет взаимодействие магнитных моментов частицы и тела. Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации магнитных моментов. Магнитное поле тела будет стремиться установить магнитный момент частицы по направлению поля, но частица обладает спином, стремящимся сохранить своё направление в пространстве. Поэтому возникнет прецессия спина частицы относительно оси дипольного магнитного момента тела, подобно эффекту Шиффа.

Другой эффект связан с орбитальным движением частицы с магнитным моментом и спином относительно заряженного тела. В системе покоя центра инерции частицы вращается как сама частица, так и тело вокруг этой частицы. Орбитальное вращение заряженного тела создаёт магнитное поле, действующее на магнитный момент частицы. Это приводит к прецессии магнитного момента и спина частицы относительно магнитного поля от орбитального вращения тела. Заменим теперь магнитное поле кручением гравитационного поля, а заряды массами. Тогда окажется, что угловая скорость прецессии спина частицы составит одну треть от угловой скорости геодезической прецессии (другие две трети возникают от искривления пространства-времени вокруг тела за счёт изменения метрики).

См. также

• Напряжённость гравитационного поля
• Максвеллоподобные гравитационные уравнения
• Гравитоэлектромагнетизм
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Ковариантная теория гравитации
• Тензор гравитационного поля
• Вектор Хевисайда
• Тензор энергии-импульса гравитационного поля
• Магнитное поле

Дополнительные ссылки

• In Search of gravitomagnetism, NASA, 20 April 2004.
• Gravitomagnetic London Moment-New test of General Relativity?
• Measurement of Gravitomagnetic and Acceleration Fields Around Rotating Superconductors M. Tajmar, et. al., 17 October 2006.
• Теория относительности и гравитация
• Gravitational torsion field