Уравнения Максвелла

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Классическая электродинамика
Solenoid.svg
Магнитное поле соленоида
Электричество · Магнетизм

Уравнения Максвелла — основные уравнения классической электродинамики, описывающие эволюцию электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. Уравнения были опубликованы Дж. К. Максвеллом в 1873 году в его книге «Трактат об электричестве и магнетизме».

Уравнения в классическом виде[править]

Уравнения в системе СИ[править]

Название Дифференциальная форма Интегральная форма Примерное словесное выражение
Закон индукции Фарадея \(\operatorname{rot}\,\mathbf{E} = -{\partial \mathbf{B} \over \partial t}\) \(\oint\limits_L\!\mathbf{E}\, d\mathbf{l} = -\int\limits_S\!{\partial \mathbf{B} \over \partial t}\, d\mathbf{S}\) Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле
Закон Ампера
(с добавкой от Максвелла)
\(\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{j} + {\partial \mathbf{D} \over \partial t}\) \(\oint\limits_L\!\mathbf{H}\, d\mathbf{l} = I_{\mathrm{encl}} + \oint\limits_S\!{\partial \mathbf{D} \over \partial t}\, d\mathbf{S}\) Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
Теорема Гаусса \(\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho\) \(\oint\limits_S\!\mathbf{D}\, d\mathbf{S} = Q_{\mathrm{encl}}\) Электрический заряд является источником электрической индукции
Теорема Гаусса \(\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0\) \(\oint\limits_S\!\mathbf{B}\, d\mathbf{S} = 0\) Магнитная индукция не расходится (не имеет источников). (Неприменима к монополям. До сих пор монополей в природе не обнаружено.)

Приведенные выше уравнения Максвелла не составляют еще полной системы уравнений электромагнитного поля, поскольку они не содержат свойства среды, в которой возбуждено электромагнитное поле. Соотношения, связывающие величины \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{D}\), \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), в которых учитываются индивидуальные свойства среды, называются материальными уравнениями.

Введённые обозначения:

  • \(\mathrm{rot} \ \) — дифференциальный оператор ротора
  • \(\mathrm{div} \ \) — дифференциальный оператор дивергенции
  • \(S\ \) — замкнутая двумерная поверхность
  • \(L\ \) — замкнутый контур

Уравнения в Гауссовой системе единиц[править]

$$\operatorname{rot}\,\mathbf{H} = \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{D} \over \partial t} + \mathbf{4\pi \over {c}}\mathbf{j} $$ $$\operatorname{rot}\,\mathbf{E} = - \mathbf{1 \over {c}} {\partial \mathbf{B} \over \partial t} $$ $$\operatorname{div}\,\mathbf{D} = 4\pi\rho$$ $$\operatorname{div}\,\mathbf{B} = 0$$

Материальные уравнения[править]

Чтобы дополнить уравнения Максвелла до полной системы уравнений электродинамики, необходимо получить материальные уравнения, которые связывают величины \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{D}\), \(\mathbf{E}\), \(\mathbf {B}\) и в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории поляризации, намагничивания и электропроводности среды. В основе таких теорий лежат в той или иной степени идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения классической или квантовой механики, а также методы статистической физики, можно установить связь между векторами \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{D}\) с одной стороны и \(\mathbf{E}\), \(\mathbf{B}\) с другой стороны. В случае слабых электромагнитных полей, сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во времени, а также для изотропных, неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред материальные уравнения записываются в виде: $$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$$ $$\mathbf{B} = \mu\mathbf{H}$$ $$\mathbf{j} = \sigma\mathbf{E}$$

где \(\varepsilon \ \) — диэлектрическая проницаемость (в единицах СИ — Ф/м), \(\mu \ \) — магнитная проницаемость (в единицах СИ — Гн/м) и \(\sigma \ \) — электропроводность среды (в единицах СИ — 1/(Ом·м)).

В вакууме, без зарядов и токов[править]

Вакуум — это линейная, однородная, изотропная, бездисперсионная среда; и магнитная, и электрическая постоянные обозначаются через \(\varepsilon_0 \ \) и \(\mu_0 \ \) (не учитывая очень малых квантовых эффектов). $$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} $$ $$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} $$

Уравнения Максвелла для вакуума без электрических зарядов и токов такие: $$\operatorname{div}\, \mathbf{E} = 0$$ $$\operatorname{div}\, \mathbf{H} = 0$$ $$\operatorname{rot}\, \mathbf{E} = - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}$$ $$\operatorname{rot}\, \mathbf{H} = \ \ \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$$


Эта система дифференциальных уравнений имеет простое решение — гармоническая, плоская волна. Векторы электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения волны и друг другу, и находятся в фазе. Волна распространяется со скоростью: $$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}.$$

Максвелл обозначил эту величину \(c\). Это просто скорость света в вакууме, а свет — это вид электромагнитного излучения. Общепринятые значения[1] скорости света, электрической и магнитной постоянных приведены в следующей таблице:

Символ Имя Численное значение Единицы измерения СИ Тип
\( c \ \) Постоянная скорости света \( 2{,}99792458 \times 10^8\) м/с LT−1
\( \ \varepsilon_0 \) Электрическая постоянная \( 8{,}85418782 \times 10^{-12} \) Ф / м L−3M−1T4
\(\ \mu_0 \ \) Магнитная постоянная \( 1{,}25663706 \times 10^{-6} \) Гн / м LMT−2I−2

Релятивистская инвариантность[править]

Уравнения Максвелла в вакууме инвариантны относительно преобразований Лоренца. Это послужило одним из толчков к созданию специальной теории относительности. В ковариантной форме уравнения приобретают вид (в системе единиц СГС): $$\partial_i F^{i k} = \frac{4\pi}{c} J^k \,$$ $$\partial_i F_{k l} + \partial_k F_{l i} + \partial_l F_{i k} = 0 \,,$$

где \(J^k=(c\rho,\; \mathbf{j})\) — 4-ток, а \(\ F^{i k}\) — антисимметричный тензор электромагнитного поля: $$F^{i k} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$$


Уравнения Максвелла с использованием дифференциальных форм[править]

В вакууме \(\varepsilon\) и \(\mu\) — константы. Для записи уравнений Максвелла проще использовать язык дифференциальных геометрии и форм. Электромагнитное поле — это 2-форма \(\mathbf F\) в четырёхмерном многообразии пространства-времени. Уравнения Максвелла сожмутся до второй формулы Бианчи $$d\mathbf{F}=0$$

где \(d\) — это ковариантная производная — дифференциальный оператор действующий на формы и уравнения источников $$d * {\mathbf{F}}=\mathbf{J},$$

где звезда Ходжа \(*\) — это дуальный оператор Ходжа линейного преобразования из пространства 2-формы в дуальное пространство \(4-2=2\) форм в метрике пространства Минковского и системе СГС, где \(1/4\pi\varepsilon_0=1\). 3-форма \(\mathbf J\) называется «электрический ток» или токовая 3-форма, удовлетворяющая уравнению непрерывности $$d{\mathbf{J}}=0.$$

Внешняя ковариантная производная определена на любых многообразиях. Это формальное описание электромагнетизма подходит для четырёхмерных многообразий с метрикой Лоренца, что эквивалентно криволинейному пространству-времени Общей теории относительности.

В линейной макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразования пространства 2-форм. $$ C:\Lambda^2\ni\mathbf{F}\mapsto \mathbf{G}\in\Lambda^{(4-2)}$$

Это называется линейное приближение или материальные уравнения. Это преобразование совместимо с дуальным преобразованием Ходжа. Уравнения Максвелла с учётом среды такие: $$ d\mathbf{F} = 0$$ $$ d\mathbf{G} = \mathbf{J}$$

где ток \(\mathbf J\) удовлетворяет уравнению непрерывности \(d\mathbf{J}=0\). Где поле — это внешнее дифференцирование (или линейная комбинация) базисных форм \(\mathbf{\theta}^p\), $$ \mathbf{F} = F_{pq}\mathbf{\theta}^p\wedge\mathbf{\theta}^q$$

для материальной среды $$ G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn}$$

причём коэффициенты поля антисимметричны относительно индексов, а материальные коэффициенты антисимметричны относительно перестановок пар. Тогда дуальное преобразование Ходжа примет следующий вид $$ C_{pq}^{mn} = g^{ma}g^{nb} \varepsilon_{abpq} \sqrt{-g} $$

только для инвариантного тензора данного типа с определённой метрикой.


Примечания[править]

Литература[править]

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983.
  • Тоннела М.-А. Основы электромагнетизма и теории относительности. Пер. с фр. М.: Иностранная литература, 1962. 488 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — ISBN 5-02-014420-7>
  • Фущич В. И., Никитин А. Г., Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наук. думка, 1983. 200 с.

См. также[править]

af:Maxwell se vergelykingseo:Ekvacioj de Maxwellhu:Maxwell-egyenleteklt:Maksvelo lygtys lv:Integrālie Maksvela vienādojuminn:Maxwells likningar