Диполь

Классическая электродинамика

Магнитное поле соленоида

Электричество · Магнетизм [показать]Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал [показать]Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток [показать]Электродинамика Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле [показать]Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс [показать]Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-ток · 4-потенциал [показать]Известные учёные Генри Кавендиш Майкл Фарадей Андре-Мари Ампер Густав Роберт Кирхгоф Джеймс Клерк (Кларк) Максвелл Генри Рудольф Герц Альберт Абрахам Майкельсон Роберт Эндрюс Милликен

Магнитное поле Земли примерно совпадает с полем диполя. Однако «N» и «S» (северный и южный) полюса отмечены «географически», то есть противоположно принятому обозначению для полюсов магнитного диполя.

Диполь — (от ди…и греч.pólos — полюс) идеализированная система, служащая для приближенного описания распространения поля. Дипольное приближение основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора и отбрасывании всех членов выше первого порядка. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае если

1. Размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд.
2. Член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности.
3. В уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Типичный пример диполя — два бесконечно близких заряда, равных по величине и противоположных по знаку. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.

Дипольный момент системы

Эквипотенциальные поверхности электрического диполя

Электрический диполь

Силовые линии электрического диполя

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет из себя совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга

Произведение вектора $\vec l$, проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов $q\,$, называется дипольным моментом: $\vec d=q\vec l$.

Во внешнем электрическом поле $\vec E$ на диполь действует момент сил ${\vec E}\times{\vec d}$, который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна $-{\vec E}\cdot{\vec d}$.

Вдали от диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием $R$ как $1/R^3$, то есть быстрее, чем у точечного заряда.

Любая электронейтральная система в некотором приближении может рассматриваться как электрический диполь с моментом $\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i$, где $q_i\,$ — заряд $i$-го элемента, ${\vec r}_i$ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

Магнитный диполь

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых изучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади $S\,$, по которой течёт ток $I\,$. При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину ${\vec \mu} = I S {\vec n}$, где ${\vec n}$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, с которого ток в рамке течёт против часовой стрелки.

Поле колеблющегося диполя

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем $\mathbf{d}(t),$ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях

Эволюция поля колеблющегося электрического диполя в реальном времени. Диполь находится в точке (60,60) и колеблется по вертикали с частотой 1 рад/с (~0.16 Гц)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид $$\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} +\frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot \mathbf{d}) - \dot \mathbf{d}}{c R^2} +\frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot \mathbf{d}) - \ddot \mathbf{d}}{c^2 R}$$ $$\mathbf{B} = \left[\frac{\dot \mathbf{d}}{R^2} + \frac{\ddot \mathbf{d}}{R c} , \mathbf{n} \right] = \left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],$$

где $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, $c$ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца $$\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right)$$

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что $\mathbf{d}$ является функцией одной переменной. Тогда $$\mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z}$$ $$\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot\mathbf{Z}$$

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде $$\mathbf{A} = - \frac{\dot \mathbf{Z}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}$$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от $\mathbf{d}$, так как $$\frac{\dot \mathbf{d}}{c} \approx \frac{d}{\lambda}$$ $$\frac{\ddot \mathbf{d}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}$$

Выражения для полей принимают вид $$\mathbf{B} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{B} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}]$$ $$\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot \mathbf{d},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}]$$

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол $do$ равна $$dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 do,$$

поэтому для дипольного излучения $$dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot \mathbf{d}, \mathbf{n}]^2 do = \frac{\ddot d^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} do$$

где $\theta$ — угол между векторами $\ddot\mathbf{d}$ и $\mathbf{n}$. Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что $do = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta$, проинтегрируем выражение по $d\theta$ от $0$ до $\pi$. Полное излучение равно $$I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot\mathbf{d}}^2$$

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора $\ddot \mathbf{d}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом: $$d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}$$

Литература

• Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988

См. также

• Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия
• Нанотехнология
• Мультиполь
• Квадруполь
• Магнитный монополь