Тензор гравитационного поля

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

Определение

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля $~D_\mu$ по формуле: $$\Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)$$

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля: $$~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c}, -\mathbf{D} \right),$$ где $~\psi$ – скалярный потенциал, $~ \mathbf{D}$ – векторный потенциал гравитационного поля, $~ c$ – скорость света, приблизительно равная скорости распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат $~ (c t, x, y, z)$ ввести напряжённости гравитационного поля по правилам: $$~\mathbf{\Gamma}= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},$$ $$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},$$ где $~\mathbf{\Gamma }$ есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение, $~\mathbf{\Omega}$ — поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид: $$~ \Phi_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {\Gamma_{x}}{ c} & \frac {\Gamma_{y}}{ c} & \frac {\Gamma_{z}}{ c} \\ -\frac {\Gamma_{x}}{ c} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ -\frac {\Gamma_{y}}{ c}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ -\frac {\Gamma_{z}}{ c}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора $~g_{\mu \nu}$. В частности, $\Phi^{\mu}_\alpha= g^{\mu \nu}\Phi_{\nu \alpha}$, а также $~ \Phi^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta}\Phi_{\mu \nu}.$

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор $~\eta_{\mu \nu}$, не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид: $$~ \Phi^{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & -\frac {\Gamma_{x}}{ c} & -\frac {\Gamma_{y}}{ c} & -\frac {\Gamma_{z}}{ c} \\ \frac {\Gamma_{x}}{ c} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ \frac {\Gamma_{y}}{ c } & \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ \frac {\Gamma_{z}}{ c} & -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта K в систему отсчёта K’, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид: $$\Gamma_x^\prime = \Gamma_x ,~~~ \Gamma_y^\prime = \frac{\Gamma_y - V \Omega_z}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}},~~~ \Gamma_z^\prime = \frac{\Gamma_z + V \Omega_y}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}},$$ $$\Omega_x^\prime = \Omega_x ,~~~ \Omega_y^\prime = \frac{\Omega_y + V \Gamma_z / c^2 }{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}},~~~ \Omega_z^\prime = \frac{\Omega_z - V \Gamma_y / c^2}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}}.$$

В более общем случае, когда скорость $~\mathbf {V}$ системы отсчёта K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так: $$\mathbf {\Gamma }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {\Gamma }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + [\mathbf {V} \times \mathbf {\Omega }] \right),$$ $$\mathbf {\Omega }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {\Omega }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {\Gamma }] \right).$$

Свойства

• $~ \Phi_{\mu \nu}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, для него $~ \Phi_{\mu \nu}= -\Phi_{\nu \mu}$. Тензор имеет 6 независимых компонент, из которых три связаны с компонентами вектора напряжённости гравитационного поля $~\mathbf{\Gamma }$, а другие три — с компонентами вектора поля кручения $~\mathbf{\Omega}$.
• Лоренцевские преобразования координат сохраняют два инварианта, вытекающие из тензорных свойств поля:

$$\Phi_{\mu \nu}\Phi^{\nu \mu} = \frac {2}{c^2 } (\Gamma^2-c^2 \Omega^2) = inv,$$ $$\frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\Phi_{\mu \nu}\Phi_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right) = inv.$$

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты $\varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}$ для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке $\varepsilon^{0123}=1.$

• Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$$\det \left(\Phi_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2 } \left(\mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right)^{2}.$$

Применение

Рассмотрим следующее выражение: $$\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial \Phi_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \Phi_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)$$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов $~\mu \nu \sigma$ использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям: $$~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} , \qquad\qquad (3)$$ $$~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 . \qquad\qquad (4)$$

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле: $$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .$$

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля: $$~ \nabla_\nu \Phi^{\mu \nu} = \frac{4 \pi G }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (5)$$

где $J^\mu = \rho_{0} u^\mu = \left(\frac { c \rho_{0}}{ \sqrt{1-V^2/ c^2}} , \frac {\mathbf{V} \rho_{0}}{\sqrt{1-V^2/ c^2}} \right)=( c \rho , \mathbf{J})$ есть 4-вектор плотности массового тока, $\rho_{0}$ — плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, $\mathbf{V}$ — скорость движения элемента вещества, $~ G$ — гравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид: $$~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,$$ $$~ \nabla \times \mathbf{\Omega} = \frac{1}{c^2} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right),$$

где $~ \rho$ — плотность движущейся массы, $~ \mathbf{J}$ — плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу $~M$ тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела: $$~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu.$$ Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров.

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится: $$~ \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \Phi^{\alpha \beta}= \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\alpha}D^{\beta}- \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\beta }D^{\alpha }= - R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi G }{c^2 } \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока $~ \nabla_{\alpha}J^{\alpha}=0$ является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (5) из принципа наименьшего действия. Cвёртка тензора Риччи $~ R_{ \mu \alpha }$ и тензора гравитационного поля $~ \Phi^{\mu \alpha }$ равняется нулю: $~ R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }=0$, как следствие антисимметричности $~ \Phi^{\mu \alpha }$ и симметричности $~ R_{ \mu \alpha }$. В пространстве Минковского ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким: $$~\partial_{\mu} J^\mu = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.$$

Волновое уравнение для тензора гравитационного поля выглядит следующим образом: $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma \Phi_{\mu \nu }= - \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu + \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu + \Phi_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - \Phi_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } \Phi^{\eta \lambda}.$$

Это уравнение справедливо при условии, что тензор Риччи определяется как результат свёртки метрического тензора и тензора кривизны в виде $$~R_{\mu \nu } = g^{\alpha \beta} R_{\mu \alpha \beta \nu }.$$

Если же тензор Риччи определяется в виде $$~R_{\alpha \nu } = g^{\mu \beta} R_{\mu \alpha \beta \nu },$$

то волновое уравнение для тензора гравитационного поля будет таким: $$~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma \Phi_{\mu \nu }= - \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\mu J_\nu + \frac {4 \pi G }{ c^2 } \nabla_\nu J_\mu - \Phi_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu + \Phi_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } \Phi^{\eta \lambda}.$$

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$$ $$~ -\frac {1}{c}U_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~L$ — функция Лагранжа или лагранжиан, $~dt$ — дифференциал времени используемой системы отсчёта, $~k$ — некоторый коэффициент, $~R$ — скалярная кривизна, $~\Lambda$ — космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, $~c$ — скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right)$, где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, а $~\mathbf{A}$ является векторным потенциалом, $~ j^\mu$ — электрический 4-ток, $~\varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ — тензор электромагнитного поля, $~ U_\mu$ — 4-потенциал поля ускорений, $~ \eta$ и $~ \sigma$ — коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, $~ u_{ \mu\nu}$ — тензор ускорений, $~ \pi_\mu$ — 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ — тензор поля давления, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ — инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты $~ dx^0=cdt$, через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: $$~ -u_{\beta \sigma} \rho_{0} u^\sigma = \rho_0 \frac{ dU_\beta } {d \tau }- \rho_0 u^\sigma \partial_\beta U_\sigma = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma ,$$

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда $~ \rho_{0q}$, измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля: $$~ U^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{mr}\Phi^{rk}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{rm}\Phi^{mr}\right) .$$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы: $$~ f^\alpha = -\nabla_\beta U^{\alpha \beta} = {\Phi^\alpha}_{k} J^k .$$

Обобщённый импульс и механика Гамильтона

По определению, обобщённый импульс $\mathbf {P}$ характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля.

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой $~ m$ и с зарядом $~ q$ равен: $$~H = c \sqrt {m^2 c^2 + (\mathbf {P}-m \mathbf {D}-q \mathbf {A})^2}+m \psi + q \varphi-$$ $$~ - \int {( \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}- \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu } )} dx^1 dx^2 dx^3 + const.$$

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости $$~ s_{\mu } = U_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+ \pi_{\mu },$$

то в общем случае Гамильтониан имеет вид:

$~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$.

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

Тензор гравитационного поля используется для определения в искривлённом пространстве-времени обобщённого 4-импульса; энергии, импульса и 4-импульса физической системы; псевдотензора момента импульса.

См. также

• Тензор электромагнитного поля
• Тензор ускорений
• Тензор поля давления
• Тензор поля диссипации
• Тензор энергии-импульса гравитационного поля
• Гравитоэлектромагнетизм
• Напряжённость гравитационного поля
• Поле кручения
• Общее поле
• Поле диссипации
• Поле ускорений
• Поле давления
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Максвеллоподобные гравитационные уравнения
• Ковариантная теория гравитации

Внешние ссылки

• Gravitational tensor