Тензор гравитационного поля

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тензор гравитационного поля — это антисимметричный тензор, объединяющий в одно целое две компоненты гравитационного поля — напряжённость гравитационного поля и поле кручения. Он используется для описания гравитационного поля произвольной физической системы и для инвариантной формулировки уравнений гравитации в  ковариантной теории гравитации. Гравитационное поле системы является компонентой общего поля.

Определение[править | править код]

Тензор гравитационного поля определяется через гравитационный 4-потенциал поля   D μ ~D_\mu по формуле:[1] [2] Φ μ ν = ∇ μ D ν − ∇ ν D μ = ∂ D ν ∂ x μ − ∂ D μ ∂ x ν . ( 1 ) \Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1)

Вследствие антисимметричности данной формулы разность двух ковариантных производных оказывается равной разности двух частных производных по 4-координатам.

Выражение для компонент[править | править код]

Если учесть определение 4-потенциала гравитационного поля:   D μ = ( ψ c g , − D ) , ~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D} \right), где   ψ ~\psi  — скалярный потенциал,   D ~ \mathbf{D}  — векторный потенциал гравитационного поля,   c g ~ c_{g}  — скорость распространения гравитационного воздействия,

и для прямоугольных декартовых координат   ( c g t , x , y , z ) ~ (c_{g}t, x, y, z) ввести напряжённости гравитационного поля по правилам:   Γ = − ∇ ψ − ∂ D ∂ t , ~\mathbf{\Gamma}= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},   Ω = ∇ × D , ~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D}, где   Γ ~\mathbf{\Gamma } есть напряжённость гравитационного поля или гравитационное ускорение,   Ω ~\mathbf{\Omega}  — поле кручения,

то ковариантные компоненты тензора гравитационного поля согласно (1) будут иметь следующий вид:   Φ μ ν = | 0 Γ x c g Γ y c g Γ z c g − Γ x c g 0 − Ω z Ω y − Γ y c g Ω z 0 − Ω x − Γ z c g − Ω y Ω x 0 | . ~ \Phi_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Согласно правилам тензорной алгебры, поднятие (опускание) индексов тензоров, то есть переход от ковариантных компонент к смешанным и контравариантным компонентам тензоров и обратно, осуществляется с помощью метрического тензора   g μ ν ~g_{\mu \nu} . В частности, Φ α μ = g μ ν Φ ν α \Phi^{\mu}_\alpha= g^{\mu \nu}\Phi_{\nu \alpha} , а также   Φ α β = g α ν g μ β Φ μ ν . ~ \Phi^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta}\Phi_{\mu \nu}.

В пространстве Минковского метрический тензор превращается в тензор   η μ ν ~\eta_{\mu \nu} , не зависящий от координат и времени. В этом пространстве, используемом в специальной теории относительности, контравариантные компоненты тензора гравитационного поля имеют вид:   Φ μ ν = | 0 − Γ x c g − Γ y c g − Γ z c g Γ x c g 0 − Ω z Ω y Γ y c g Ω z 0 − Ω x Γ z c g − Ω y Ω x 0 | . ~ \Phi^{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & -\frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}} & -\frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}} \\ \frac {\Gamma_{x}}{ c_{g}} & 0 & -\Omega_{z} & \Omega_{y} \\ \frac {\Gamma_{y}}{ c_{g}}& \Omega_{z} & 0 & -\Omega_{x} \\ \frac {\Gamma_{z}}{ c_{g}}& -\Omega_{y} & \Omega_{x} & 0 \end{vmatrix}.

Так как векторы напряжённости гравитационного поля и поля кручения являются компонентами тензора гравитационного поля, они преобразуются не как векторы, а как компоненты тензора типа (0,2). Закон преобразования этих векторов при переходе из неподвижной системы отсчёта K в систему отсчёта K’, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид: Γ x ′ = Γ x ,       Γ y ′ = Γ y − V Ω z 1 − V 2 c g 2 ,       Γ z ′ = Γ z + V Ω y 1 − V 2 c g 2 , \Gamma_x^\prime = \Gamma_x ,~~~ \Gamma_y^\prime = \frac{\Gamma_y - V \Omega_z}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Gamma_z^\prime = \frac{\Gamma_z + V \Omega_y}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}}, Ω x ′ = Ω x ,       Ω y ′ = Ω y + V Γ z / c g 2 1 − V 2 c g 2 ,       Ω z ′ = Ω z − V Γ y / c g 2 1 − V 2 c g 2 . \Omega_x^\prime = \Omega_x ,~~~ \Omega_y^\prime = \frac{\Omega_y + V \Gamma_z / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}},~~~ \Omega_z^\prime = \frac{\Omega_z - V \Gamma_y / c^2_g}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}}.

В более общем случае, когда скорость   V ~\mathbf {V} системы отсчёта K’ относительно системы отсчёта K направлена в произвольном направлении, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость гравитационного поля и поле кручения преобразуются так: Γ ′ = V V 2 ( V ⋅ Γ ) + 1 1 − V 2 c g 2 ( Γ − V V 2 ( V ⋅ Γ ) + [ V × Ω ] ) , \mathbf {\Gamma }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Gamma }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Gamma }) + [\mathbf {V} \times \mathbf {\Omega }] \right), Ω ′ = V V 2 ( V ⋅ Ω ) + 1 1 − V 2 c g 2 ( Ω − V V 2 ( V ⋅ Ω ) − 1 c g 2 [ V × Γ ] ) . \mathbf {\Omega }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2_{g}}}} \left(\mathbf {\Omega }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {\Omega }) - \frac {1}{ c^2_{g}} [\mathbf {V} \times \mathbf {\Gamma }] \right).

Свойства[править | править код]

  •   Φ μ ν ~ \Phi_{\mu \nu}  — антисимметричный тензор 2-го ранга, для него   Φ μ ν = − Φ ν μ ~ \Phi_{\mu \nu}= -\Phi_{\nu \mu} . Тензор имеет 6 независимых компонент, из которых три связаны с компонентами вектора напряжённости гравитационного поля   Γ ~\mathbf{\Gamma } , а другие три — с компонентами вектора поля кручения   Ω ~\mathbf{\Omega} .
  • Лоренцевские преобразования координат сохраняют два инварианта, вытекающие из тензорных свойств поля:

Φ μ ν Φ ν μ = 2 c g 2 ( Γ 2 − c g 2 Ω 2 ) = i n v , \Phi_{\mu \nu}\Phi^{\nu \mu} = \frac {2}{c^2_g} (\Gamma^2-c^2_g \Omega^2) = inv, 1 4 ε μ ν σ ρ Φ μ ν Φ σ ρ = − 2 c g ( Γ ⋅ Ω ) = i n v . \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\Phi_{\mu \nu}\Phi_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c_g } \left( \mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right) = inv.

Первое выражение есть свёртка тензора, а второе определяется как псевдоскалярный инвариант. В последнем выражении используется символ Леви-Чивиты ε μ ν σ ρ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} для четырёхмерного пространства, являющийся полностью антисимметричным единичным тензором, при его калибровке ε 0123 = 1. \varepsilon^{0123}=1.

  • Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

det ( Φ μ ν ) = 4 c g 2 ( Γ ⋅ Ω ) 2 . \det \left(\Phi_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2_g} \left(\mathbf {\Gamma} \cdot \mathbf {\Omega} \right)^{2}.

Применение[править | править код]

Рассмотрим следующее выражение: ∂ Φ μ ν ∂ x σ + ∂ Φ ν σ ∂ x μ + ∂ Φ σ μ ∂ x ν = 0. ( 2 ) \frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial \Phi_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial \Phi_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2)

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора гравитационного поля согласно (1). Если в (2) в качестве индексов   μ ν σ ~\mu \nu \sigma использовать неповторяющиеся сочетания 012,013, 023 и 123, и от потенциалов поля перейти к напряжённостям, то это приводит к двум векторным уравнениям:   ∇ × Γ = − ∂ Ω ∂ t , ( 3 ) ~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t} , \qquad\qquad (3)   ∇ ⋅ Ω = 0 . ( 4 ) ~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega} = 0 . \qquad\qquad (4)

Уравнения (3) и (4) являются двумя из четырёх уравнений Хевисайда для напряжённостей гравитационного поля в Лоренц-инвариантной теории гравитации. Согласно (3), изменение во времени поля кручения создаёт круговое гравитационное ускорение, что приводит к эффекту гравитационной индукции, а уравнение (4) утверждает, что поле кручения, как и магнитное поле, не имеет источников. Уравнения (3) и (4) могут быть получены также из равенства нулю 4-вектора, находимого по формуле:   ε μ ν σ ρ ∂ Φ μ ν ∂ x σ = 0 . ~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial \Phi_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 .

Другая пара уравнений гравитационного поля также выражается через тензор гравитационного поля:   ∇ ν Φ μ ν = 4 π G c g 2 J μ , ( 5 ) ~ \nabla_\nu \Phi^{\mu \nu} = \frac{4 \pi G }{c^2_{g}} J^\mu, \qquad\qquad (5) где J μ = ρ 0 u μ = ( c g ρ 0 1 − V 2 / c g 2 , V ρ 0 1 − V 2 / c g 2 ) = ( c g ρ , J ) J^\mu = \rho_{0} u^\mu = \left(\frac { c_{g}\rho_{0}}{ \sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} , \frac {\mathbf{V} \rho_{0}}{\sqrt{1-V^2/ c^2_{g}}} \right)=( c_{g}\rho , \mathbf{J}) есть 4-вектор плотности массового тока, ρ 0 \rho_{0}  — плотность вещества в сопутствующей системе отсчёта, V \mathbf{V}  — скорость движения элемента вещества,   G ~ G  — гравитационная постоянная.

В развёрнутом виде уравнения для напряжённостей поля с источниками поля имеют вид:   ∇ ⋅ Γ = − 4 π G ρ , ~ \nabla \cdot \mathbf{\Gamma } = -4 \pi G \rho,   ∇ × Ω = 1 c g 2 ( − 4 π G J + ∂ Γ ∂ t ) , ~ \nabla \times \mathbf{\Omega} = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right), где   ρ ~ \rho  — плотность движущейся массы,   J ~ \mathbf{J}  — плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость гравитационного поля порождается плотностью вещества, а по второму уравнению круговое поле кручения всегда сопровождает ток массы либо возникает при изменении во времени вектора напряжённости гравитационного поля.

Гравитационная 4-сила, действующая на массу   M ~M тела, может быть выражена через тензор гравитационного поля и 4-скорость тела:   F μ = M Φ μ ν u ν . ~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu. Данное выражение получается, в частности, как следствие аксиоматического построения ковариантной теории гравитации на языке 4-векторов и тензоров.[3]

Если взять ковариантную дивергенцию от обеих частей в (5), то с учётом (1) получится:[4]   ∇ α ∇ β Φ α β = ∇ α ∇ β ∇ α D β − ∇ α ∇ β ∇ β D α = − R μ α Φ μ α = 4 π G c g 2 ∇ α J α . ~ \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \Phi^{\alpha \beta}= \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\alpha}D^{\beta}- \nabla_{\alpha} \nabla_\beta \nabla^{\beta }D^{\alpha }= - R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi G }{c^2_g} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.

Уравнение непрерывности для массового 4-тока   ∇ α J α = 0 ~ \nabla_{\alpha}J^{\alpha}=0 является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (5) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора гравитационного поля и тензора Риччи должна равняться нулю:   R μ α Φ μ α = 0 ~ R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }=0 . В пространстве Минковского тензор Риччи   R μ α ~ R_{ \mu \alpha } равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:   ∂ μ J μ = ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0. ~\partial_{\mu} J^\mu = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0.

Волновое уравнение для тензора гравитационного поля выглядит следующим образом:[5]   ∇ σ ∇ σ Φ μ ν = − 4 π G c g 2 ∇ μ J ν + 4 π G c g 2 ∇ ν J μ + Φ ν ρ R ρ μ − Φ μ ρ R ρ ν + R μ ν , λ η Φ η λ . ~ \nabla^\sigma \nabla_\sigma \Phi_{\mu \nu }= - \frac {4 \pi G }{ c^2_g } \nabla_\mu J_\nu + \frac {4 \pi G }{ c^2_g } \nabla_\nu J_\mu + \Phi_{\nu \rho }{R^\rho}_\mu - \Phi_{\mu \rho }{R^\rho}_\nu + R_{\mu \nu, \lambda \eta } \Phi^{\eta \lambda}.

Действие и Лагранжиан[править | править код]

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор гравитационного поля и содержится в функции действия:[4] [6]   S = ∫ L d t = ∫ ( k R − 2 k Λ − 1 c D μ J μ + c 16 π G Φ μ ν Φ μ ν − 1 c A μ j μ − c ε 0 4 F μ ν F μ ν − ~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -   − 1 c U μ J μ − c 16 π η u μ ν u μ ν − 1 c π μ J μ − c 16 π σ f μ ν f μ ν ) − g d Σ , ~ -\frac {1}{c}U_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,

где   L ~L  — функция Лагранжа или лагранжиан,   d t ~dt  — дифференциал времени используемой системы отсчёта,   k ~k  — некоторый коэффициент,   R ~R  — скалярная кривизна,   Λ ~\Lambda  — космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы,   c ~c  — скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал   A μ = ( φ c , − A ) ~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right) , где   φ ~\varphi есть скалярный потенциал, а    A ~\mathbf{A} является векторным потенциалом,   j μ ~ j^\mu  — электрический 4-ток,   ε 0 ~\varepsilon_0  — электрическая постоянная,   F μ ν ~ F_{ \mu\nu}  — тензор электромагнитного поля,   U μ ~ U_\mu  — 4-потенциал поля ускорений,   η ~ \eta и    σ ~ \sigma  — коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно,   u μ ν ~ u_{ \mu\nu}  — тензор ускорений,   π μ ~ \pi_\mu  — 4-потенциал поля давления,   f μ ν ~ f_{ \mu\nu}  — тензор поля давления,   − g d Σ = − g c d t d x 1 d x 2 d x 3 ~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3  — инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты   d x 0 = c d t ~ dx^0=cdt , через произведение   d x 1 d x 2 d x 3 ~ dx^1 dx^2 dx^3 дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень   − g ~\sqrt {-g} из детерминанта   g ~g метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления:[5]   − u β σ ρ 0 u σ = ρ 0 d U β d τ − ρ 0 u σ ∂ β U σ = Φ β σ ρ 0 u σ + F β σ ρ 0 q u σ + f β σ ρ 0 u σ , ~ -u_{\beta \sigma} \rho_{0} u^\sigma = \rho_0 \frac{ dU_\beta } {d \tau }- \rho_0 u^\sigma \partial_\beta U_\sigma = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma ,

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда   ρ 0 q ~ \rho_{0q} , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Если варьировать функцию действия по гравитационному 4-потенциалу, получается уравнение гравитационного поля (5).

Тензор энергии-импульса гравитационного поля[править | править код]

С помощью тензора гравитационного поля в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса гравитационного поля:   U i k = c g 2 4 π G ( − g i m Φ m r Φ r k + 1 4 g i k Φ r m Φ m r ) . ~ U^{ik} = \frac{c^2_{g}} {4 \pi G }\left( -g^{im}\Phi_{mr}\Phi^{rk}+ \frac{1} {4} g^{ik}\Phi_{rm}\Phi^{mr}\right) .

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса гравитационного поля задаёт 4-вектор плотности гравитационной силы:   f α = − ∇ β U α β = Φ α k J k . ~ f^\alpha = -\nabla_\beta U^{\alpha \beta} = {\Phi^\alpha}_{k} J^k .

Обобщённый импульс и механика Гамильтона[править | править код]

По определению, обобщённый импульс P \mathbf {P} характеризует полный импульс элемента вещества с учётом импульсов от гравитационного и электромагнитного полей. В ковариантной теории гравитации обобщённая сила, как скорость изменения обобщённого импульса по координатному времени, зависит в том числе и от градиента от энергии гравитационного поля, связанного с элементом вещества и определяемого тензором гравитационного поля.[7]

В приближении слабого поля Гамильтониан как релятивистская энергия тела с массой   m ~ m и с зарядом   q ~ q при    c = c g ~ c = c_g равен:   H = c m 2 c 2 + ( P − m D − q A ) 2 + m ψ + q φ − ~H = c \sqrt {m^2 c^2 + (\mathbf {P}-m \mathbf {D}-q \mathbf {A})^2}+m \psi + q \varphi-   − ∫ ( c 2 16 π G Φ μ ν Φ μ ν − c 2 ε 0 4 F μ ν F μ ν ) d x 1 d x 2 d x 3 + c o n s t . ~ - \int {( \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}- \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu } )} dx^1 dx^2 dx^3 + const.

Если использовать ковариантный 4-вектор обобщённой скорости   s μ = U μ + D μ + ρ 0 q ρ 0 A μ + π μ , ~ s_{\mu } = U_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+ \pi_{\mu },

то в общем случае Гамильтониан имеет вид:[4]

  H = ∫ ( s 0 J 0 − c 2 16 π G Φ μ ν Φ μ ν + c 2 ε 0 4 F μ ν F μ ν + c 2 16 π η u μ ν u μ ν + c 2 16 π σ f μ ν f μ ν ) − g d x 1 d x 2 d x 3 , ~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},

где   s 0 ~ s_0 и    J 0 ~ J^0 обозначают временные компоненты 4-векторов   s μ ~ s_{\mu } и    J μ ~ J^{\mu } .

Если перейти в систему отсчёта, неподвижную относительно центра масс системы, Гамильтониан будет определять инвариантную энергию системы.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. ↑ Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.
  2. ↑ Strel’tsov V.N. On the Lorentz-Covariant Theory of Gravity. Apeiron, 1999, Vol. 6, Nr. 1‒2, P. 55 — 61.
  3. ↑ Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  4. ↑ а б в Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1‒30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  5. ↑ а б Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12‒30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  6. ↑ Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, Vol. 35, No. 1, pp. 35‒70 (2012). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889804. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  7. ↑ Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 — 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

Внешние ссылки[править | править код]

Источник — https://traditio.wiki/w/index.php?title=Тензор_гравитационного_поля&oldid=749423