Инвариантная энергия

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Инвариантная энергия произвольной системы есть положительная величина, состоящая из всех видов энергии системы, и равная релятивистской энергии, измеренной неподвижным относительно центра инерции системы наблюдателем. В состав инвариантной энергии как правило входят энергия покоя вещества; потенциальная энергия собственных электромагнитных и гравитационных полей, связанных с системой; внутренняя энергия частиц системы; энергия системы во внешних полях; энергия излучения, взаимодействующего с системой. Инвариантная энергия частицы \(~E_0\) равна её энергии покоя и в силу принципа эквивалентности массы и энергии связана с инвариантной массой \(~M\) частицы соотношением: $$~E_0= Mc^2,$$

где \(~c\) – скорость света.

Порядок вычисления инвариантной энергии через различные виды энергии системы определяется принципом суммирования энергий.

Связь с другими физическими переменными[править]

Одна частица[править]

В рамках специальной теории относительности инвариантная энергия частицы может быть вычислена либо через её релятивистскую энергию \(~E\) и импульс \(~ \mathbf {p}\), либо через релятивистскую энергию и скорость \(~v\) : $$~E_0= \sqrt {E^2-p^2 c^2}=E \sqrt {1-\frac {v^2}{c^2}}.$$

Для фотона справедливо соотношение \(~ E=p c\), так что инвариантная энергия фотона равна нулю.

В четырёхмерном формализме в пространстве Минковского энергия \(~E_0\) может быть вычислена через 4-импульс \(~ p^{\mu}=M u^{\mu} \) частицы: $$~E_0= c \sqrt { \eta_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt {u_{\mu} u^{\mu}}= Mc^2,$$

где \(~\eta_{\mu \nu} \) есть метрический тензор пространства Минковского, \( ~ u^\mu = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right)\) – 4-скорость, \( ~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\) – фактор Лоренца.

В результате 4-импульс может быть представлен через инвариантную энергию: [1] $$ ~ p^\mu =\frac { E_0 u^\mu }{c^2} = \left(\frac {\gamma E_0}{c},\gamma M{\mathbf {v}}\right) = \left(\frac {\gamma E_0}{c}, \mathbf {p} \right) ,$$

где \( ~\mathbf {p} \) – 3-вектор релятивистского импульса.

В искривлённом пространстве-времени с метрическим тензором \(~ g_{\mu \nu}\) инвариантная энергия частицы находится так: $$~E_0= c \sqrt { g_{\mu \nu} p^{\mu} p^{\nu}}= Mc \sqrt { g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}}.$$

Если учесть определение 4-скорости: \(~ u^{\mu} = \frac {dx^{\mu} }{d\tau} \), где \(~ dx^{\mu} \) есть 4-вектор сдвига, \(~ d\tau \) – дифференциал собственного времени, а также определение интервала: \(~ ds = \sqrt { g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu} }= c d\tau \), то снова получается равенство: \(~E_0= Mc^2\).

Система частиц[править]

В физике элементарных частиц часто рассматривается взаимодействие нескольких частиц, их слияния и распады с образованием новых частиц. Сохранение суммы 4-импульсов свободных частиц до и после реакции приводит к законам сохранения энергии и импульса рассматриваемой системы частиц. Инвариантная энергия \(~E_{0c}\) системы частиц вычисляется как их полная релятивистская энергия в системе отсчёта, в которой центр инерции системы частиц неподвижен. При этом \(~E_{0c}\) может отличаться от суммы инвариантных энергий частиц системы, поскольку вклад в \(~E_{0c}\) делают не только энергии покоя частиц, но и кинетические энергии частиц и их потенциальная энергия. [2] Если наблюдать частицы до или после взаимодействия на больших расстояниях друг от друга, когда их взаимной потенциальной энергией можно пренебречь, инвариантная энергия системы определяется соотношением: $$~E_{0c}= \sqrt {E_c^2 - p_c^2 c^2},$$

где \(~E_c =\sum_i E_i \) – сумма релятивистских энергий частиц системы, \(~\mathbf {p}_c =\sum_i \mathbf {p}_i \) – векторная сумма импульсов частиц.

Массивное тело[править]

Общая теория относительности[править]

При определении инвариантной энергии массивного тела в общей теории относительности (ОТО) возникает проблема с вкладом энергии гравитационного поля, [3] поскольку тензор энергии-импульса гравитационного поля однозначно не определён, а вместо него используется псевдотензор [1]. В случае асимптотически плоского пространства-времени на бесконечности для оценки инвариантной энергии может быть применено приближение АДМ массы-энергии тела, [4] смотри также [2]. Для стационарной метрики пространства-времени определяется масса-энергия Комара. [5] [3] Существуют и другие подходы к определению массы-энергии, например, энергия Бонди, [6] и энергия Хокинга [4].

В приближении слабого поля инвариантная энергия неподвижного тела в ОТО оценивается следующим образом: [7] $$~E_{0}= Mc^2=m_b c^2 + E_k - \frac {6G m^2_b}{5a}+ \frac {3 q^2_b}{20 \pi \varepsilon_0 a}+E_p,$$

где масса \(~ m_b\) и заряд \(~ q_b\) тела получаются путём интегрирования соответствующей плотности по объёму, \(~ E_k \) – энергия движения частиц внутри тела, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ a \) – радиус тела, \(~ \varepsilon_0 \) – электрическая постоянная, \(~ E_p \) – упругая энергия.

Для масс получается соотношение: $$~ M= m_g < m_b < m', $$ где масса системы \(~ M \) равна гравитационной массе \(~ m_g \), масса \(~ m' \) обозначает суммарную массу частиц, из которых составлено тело.

Ковариантная теория гравитации[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) при вычислении инвариантной энергии учитывается разбиение энергии на 2 основные части – на компоненты энергии самих полей и на компоненты, связанные с энергией частиц в этих полях. Подсчёт показывает, что сумма компонент энергии поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитных полей, для тела сферической формы равна нулю. [8] Остаётся сумма энергий частиц в четырёх полях, которая в итоге равна: $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 \gamma_s - \frac {3G m^2_b}{10a}+ \frac {3 q^2_b}{40 \pi \varepsilon_0 a} + m_b \wp_s ,$$ где \(~ \gamma_s \) есть фактор Лоренца частиц, а \(~ \wp_s \) – скалярный потенциал поля давления вблизи поверхности системы.

Соотношение для масс выглядит следующим образом: \(~m' = M < m_ b = m_g. \) При этом инертная масса системы \(~ M \) получается равной суммарной массе частиц \(~ m' \), масса \(~ m_b\) равна гравитационной массе \(~ m_g \), а превышение \(~ m_b\) над \(~ M \) происходит за счёт того, что частицы внутри тела двигаются и находятся под давлением в гравитационном и электромагнитном полях.

Более точное выражение для инвариантной энергии представлено в следующей статье: [9] $$~E_{0}= Mc^2 \approx m_b c^2 \gamma_s - \frac {G m^2_b}{2a}+ \frac {q^2_b}{8 \pi \varepsilon_0 a} + m_b \wp_s .$$

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ), в которую переходит КТГ в приближении слабого поля и при постоянной скорости движения, для инвариантной энергии остаётся справедливой формула: $$~ E_{0}= \sqrt {E^2-p^2 c^2},$$

где \(~E \) – релятивистская энергия движущегося тела с учётом вклада энергии гравитационного и электромагнитного поля, а также энергии поля ускорений и поля давления; \(~p \) – суммарный импульс системы в виде тела и его полей.

Указанные формулы остаются в силе и на уровне атомов с тем отличием, что обычная гравитация заменяется на сильную гравитацию. В ковариантной теории гравитации с учётом принципа наименьшего действия показывается, что гравитационная масса \(~ m_g \) системы увеличивается за счёт вклада массы-энергии гравитационного поля и уменьшается за счёт вклада электромагнитной массы-энергии. Это является следствием того, что в ЛИТГ и в КТГ точно определён тензор энергии-импульса гравитационного поля, являющийся одним из источников для определения метрики, энергии и уравнений движения вещества и поля. Также определены ковариантным способом тензор энергии-импульса поля ускорений, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления.

Такие векторные поля, как гравитационное и электромагнитное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поля сильного и слабого взаимодействий являются компонентами общего поля. Это приводит к тому, что инвариантная энергия системы из частиц и полей может быть вычислена как интеграл по объёму в системе центра импульсов: [10] $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, $$

где \(~ s_0 \) и \(~ J^0\) обозначают временные компоненты 4-потенциала \(~ s_{\mu } \) общего поля и массового 4-тока \(~ J^{\mu } \), соответственно, \(~ s_{ \mu\nu} \) – тензор общего поля.

Ссылки[править]

  1. McGlinn, William D. Introduction to relativity. — JHU Press, 2004. — С. 43. — ISBN 0-801-87047-X>, Extract of page 43
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  3. Misner, Charles W.; Kip. S. Thorne & John A. Wheeler (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
  4. Arnowitt, Richard; Stanley Deser & Charles W. Misner (1962), "The dynamics of general relativity", in Witten, L., Gravitation: An Introduction to Current Research, Wiley, pp. 227-265.
  5. Komar, Arthur (1959). "Covariant Conservation Laws in General Relativity". Phys. Rev. 113 (3): 934–936. Bibcode 1959PhRv..113..934K. doi:10.1103/PhysRev.113.934
  6. Bondi H, van de Burg M G J, and Metzner A W K, Proc. R. Soc. London Ser. A 269:21-52 Gravitational waves in General Relativity. VII. Waves from axi-symmetric isolated systems (1962).
  7. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
  8. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1-16, (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  9. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.
  10. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]