Поле ускорений

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Поле ускорений — двухкомпонентное векторное поле, ковариантным образом описывающее 4-ускорение отдельных частиц и 4-ускорение, возникающее в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле ускорений является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. [1] В уравнение движения поле ускорений входит через тензор ускорений, а в уравнение для метрики – через тензор энергии-импульса поля ускорений.

Поле ускорений было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и ковариантной теории гравитации, а уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия. [2] [3]

Математическое описание[править]

4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный \(~ \vartheta \) и векторный \(~ \mathbf {U} \) потенциалы: $$~u_\mu = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) .$$

Антисимметричный тензор ускорений вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала: $$~ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu u_\nu - \nabla_\nu u_\mu = \partial_\mu u_\nu - \partial_\nu u_\mu . $$

Компонентами тензора ускорений являются компоненты напряжённости поля \(~\mathbf {S} \) и компоненты соленоидального вектора \(~\mathbf {N} \): $$ ~ u_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {S_x}{ c} & \frac {S_y}{ c} & \frac {S_z}{ c} \\ -\frac {S_x}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ -\frac {S_y}{ c} & N_{z} & 0 & -N_{x} \\ -\frac {S_z}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}. $$

При этом получается следующее: $$~ \mathbf {S} = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf {U}}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times \mathbf {U}.\qquad\qquad (1) $$

Действие, Лагранжиан и энергия[править]

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал \(~u_\mu \) поля ускорений является частью 4-потенциала общего поля \(~ s_\mu\), который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены в веществе, так что 4-потенциал \(~ s_\mu\) не может состоять только из одного 4-потенциала \(~u_\mu \). Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток: \(~ s_\mu J^\mu \). Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля: $$~ s_{\mu \nu} =\nabla_\mu s_\nu - \nabla_\nu s_\mu.$$

Тензорный инвариант, в виде \(~ s_{\mu \nu} s^{\mu \nu} \), с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну \(~R\) и космологическую постоянную \(~ \Lambda \), определяется выражением: [1] $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}s_\mu J^\mu - \frac {c}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где \(~L \) – функция Лагранжа или лагранжиан, \(~dt \) – дифференциал времени координатной системы отсчёта, \(~k \) и \(~ \varpi \) – постоянные, подлежащие определению, \(~c \) – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, \(~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3\) – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты \(~ dx^0=cdt \), через произведение \(~ dx^1 dx^2 dx^3 \) дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень \(~\sqrt {-g} \) из детерминанта \(~g \) метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле ускорений является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля ускорений.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде $$~ c k \Lambda = - s_\mu J^\mu ,$$

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: [3] $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, $$

где \(~ s_0 \) и \(~ J^0\) обозначают временные компоненты 4-векторов \(~ s_{\mu } \) и \(~ J^{\mu } \).

4-импульс системы определяется формулой: $$~p^\mu = \left( \frac {E}{c}{,} \mathbf {p}\right) = \left( \frac {E}{c}{,} \frac {E}{c^2}\mathbf {v} \right) , $$

где \(~ \mathbf {p}\) и \(~ \mathbf {v}\) обозначают импульс системы и скорость движения центра масс системы.

Уравнения[править]

Четырёхмерные уравнения поля ускорений по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид: $$ \nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. $$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu, $$

где \(J^\mu = \rho_{0} u^\mu \) есть массовый 4-ток, \( \rho_{0}\) – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, \( u^\mu \) – 4-скорость движения элемента вещества, \(~ \eta \) – постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений: $$~ \nabla^\mu u_{\mu} =0 . $$

В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнений поля ускорений упрощается и их можно выразить через напряжённость поля \(~\mathbf {S} \) и соленоидальный вектор \(~\mathbf {N} \): $$~ \nabla \cdot \mathbf{S} = 4 \pi \eta \gamma \rho_0, \qquad\qquad \nabla \times \mathbf{N} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \eta \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{S}} {\partial t} \right), $$ $$~ \nabla \times \mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{N} } {\partial t} , \qquad\qquad \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 .$$

где \(~ \gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}} \) есть фактор Лоренца, \(~ \mathbf{J}= \gamma \rho_0 \mathbf{v }\) – плотность тока массы, \(~ \mathbf{v } \) – скорость элемента вещества.

Используя ещё условие калибровки в виде \(~ \partial^\mu u_{\mu} =0 \) и соотношения (1), из уравнений поля можно получить волновые уравнения для потенциалов поля ускорений: $$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \vartheta }{\partial t^2 } -\Delta \vartheta = 4 \pi \eta \gamma \rho_0, \qquad\qquad (2) $$ $$~ \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{U} }{\partial t^2 } -\Delta \mathbf{U}= \frac {4 \pi \eta}{c^2} \mathbf{J}. \qquad\qquad (3) $$

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой: $$~ s_{\mu \nu} J^\nu =0 .$$

Так как \(~ J^\nu = \rho_0 u^\nu \), а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры и 4-ускорение \(~ a_\mu \): $$~ - u_{\mu \nu} J^\nu = \rho_0 a_\mu =F_{\mu \nu} j^\nu + \Phi_{\mu \nu} J^\nu + f_{\mu \nu} J^\nu + h_{\mu \nu} J^\nu + \gamma_{\mu \nu} J^\nu + w_{\mu \nu} J^\nu .$$

Здесь \(~ F_{\mu \nu}\) – тензор электромагнитного поля, \(~ j^\nu \) – зарядовый 4-ток, \(~ \Phi_{\mu \nu}\) – тензор гравитационного поля, \(~ f_{\mu \nu}\) – тензор поля давления, \(~ h_{\mu \nu}\) – тензор поля диссипации, \(~ \gamma_{\mu \nu}\) – тензор поля сильного взаимодействия, \(~ w_{\mu \nu}\) – тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса[править]

Тензор энергии-импульса поля ускорений вычисляется с помощью тензора ускорений: $$~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta }\left( -g^{im} u_{n m} u^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} u_{m r} u^{m r}\right) .$$

В составе тензора \(~ B^{ik}\) находится 3-вектор потока энергии-импульса \(~\mathbf {K} \), подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор \(~\mathbf {K} \) можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля \(~ \mathbf {S} \) и соленоидального вектора \(~ \mathbf {N} \): $$~ \mathbf {K}=c B^{0i} = \frac {c^2}{4 \pi \eta }[\mathbf {S}\times \mathbf {N}],$$ здесь индекс \(~ i=1,2,3.\)

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений задаёт плотность 4-силы: $$ ~ f^\alpha = \nabla_\beta B^{\alpha \beta} = - u^{ \alpha}_{k} J^k = - \rho_0 u^{ \alpha}_{k} u^k = \rho_0 a^\alpha = \rho_0 \frac {Du^\alpha }{D \tau},\qquad \qquad (4)$$

где \(~ D \tau \) обозначает дифференциал собственного времени в искривлённом пространстве-времени.

Тензор энергии-импульса поля ускорений входит в состав тензора энергии-импульса общего поля \(~ T^{ik} \), однако в общем случае тензор \(~ T^{ik} \) содержит в себе ещё перекрёстные члены с произведениями напряжённостей и соленоидальных векторов частных полей: $$~ T^{ik}= k_1W^{ik}+ k_2U^{ik}+ k_3B^{ik}+ k_4P^{ik} + k_5Q^{ik}+ k_6 L^{ik}+ k_7A^{ik}+ cross \quad terms, $$

где \(~ k_1{,} k_2{,} k_3{,} k_4{,} k_5{,} k_6{,} k_7\) – некоторые коэффициенты, \(~ W^{ik} \) – тензор энергии-импульса электромагнитного поля, \(~ U^{ik}\) – тензор энергии-импульса гравитационного поля, \(~ P^{ik}\) – тензор энергии-импульса поля давления, \(~ Q^{ik}\) – тензор энергии-импульса поля диссипации, \(~ L^{ik}\) – тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, \(~ A^{ik} \) – тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Через тензор \(~ T^{ik} \) тензор энергии-импульса поля ускорений входит в уравнение для метрики: $$~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} T^{ik}, $$

где \(~ R^{ik} \) – тензор Риччи, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ \beta \) – некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

Частные решения для функций поля ускорений[править]

Одна частица[править]

4-потенциал любого векторного поля для одной частицы может быть представлен так: [2] $$~ L_\mu = \frac { k_f \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,$$ где \(~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}\) для электромагнитного поля и \(~ k_f = 1\) для остальных полей, \( ~ \rho_{0}\) и \( ~\rho_{0q}\) – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, \(~ \varepsilon_p \) – плотность энергии поля частицы, \(~ u_\mu \) – ковариантная 4-скорость.

Для поля ускорений \(~ \varepsilon_p = p_0 c^2\), \(~ k_f = 1\), и согласно определения, для 4-потенциала поля ускорений одной частицы имеем: $$~ L_\mu = u_\mu,$$

то есть 4-потенциалом поля в данном случае является 4-скорость с ковариантным индексом. В специальной теории относительности (СТО) можно записать: $$~u_\mu = \left( \frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) = \left(\gamma c, - \gamma \mathbf {v} \right).$$

Компоненты тензора ускорений согласно (1) будут равны: $$~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }). $$

Так как в уравнении движения для 4-ускорения с ковариантным индексом \(~ a_\mu \) справедливо соотношение $$~ \rho_0 a_\mu = \rho_0 \frac {Du_\mu }{D \tau}= - u_{\mu \nu} J^\nu = - \rho_0 u_{\mu \nu} u^\nu, $$

то в СТО получается следующее: $$~ \frac {Du_\mu }{D \tau}=\gamma \frac {du_\mu }{dt}, \qquad\qquad u^\nu =\left(\gamma c, \gamma \mathbf {v} \right), $$

а также уравнения для лоренцевского фактора \(~ \gamma \) и для 3-ускорения \(~ a= \frac {d \mathbf { v }}{dt} \): $$~ \frac {d \gamma }{dt}= - \frac {1 }{c^2} \mathbf {S}\cdot \mathbf { v }, \qquad (5) \qquad \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= \gamma \mathbf { a }+ \frac {d \gamma}{dt}\mathbf { v } = - \mathbf {S}- [\mathbf { v }\times \mathbf {N}]. \qquad (6) $$

Подставляя из уравнения (5) в (6) величину \(~ \frac {d \gamma }{dt},\) умножая уравнение (6) на скорость \(~ \mathbf { v }, \) учитывая соотношение \(~\gamma^{-2}=1 - {v^2 \over c^2},\) находим известное выражение для производной фактора Лоренца через скалярное произведение скорости и ускорения в СТО: $$~ - \mathbf {S}\cdot \mathbf { v }=\gamma^3 \mathbf {v}\cdot \mathbf { a }=c^2 \frac {d \gamma }{dt}.$$

В справедливости уравнения (6) можно убедиться, если подставить в него выражения для напряжённости и соленоидального вектора: $$~ \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= c^2 \nabla \gamma + \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times (\gamma \mathbf { v }) ] . \qquad\qquad (7) $$

Действительно, применение производной Лагранжа даёт: $$~ \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t} + (\mathbf { v } \cdot \nabla) (\gamma \mathbf { v }) = \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t}+\gamma (\mathbf { v } \cdot \nabla) \mathbf { v } + \mathbf { v } (\mathbf { v } \cdot \nabla\gamma) .$$

Кроме этого $$~ - \mathbf { v }\times [ \nabla \times (\gamma \mathbf { v }) ] = - \gamma \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf { v } ] - \mathbf { v }\times [ \nabla \gamma \times \mathbf { v }] = -\frac {\gamma }{2} \nabla v^2 + \gamma (\mathbf { v } \cdot \nabla) \mathbf { v } - v^2 \nabla \gamma + \mathbf { v } (\mathbf { v } \cdot \nabla\gamma) .$$

Подставляя эти соотношения в (7), с учётом выражения \(~ \gamma^{-2}=1 - {v^2 \over c^2},\) приходим к тождеству: $$~ c^2 \nabla \gamma - \frac {\gamma }{2} \nabla v^2 - v^2 \nabla \gamma =0 .$$

Если компоненты скорости частицы являются функциями от времени и прямо не зависят от пространственных координат, то для такого движения соленоидальный вектор \(~ \mathbf { N }\) обращается в нуль.

Система частиц[править]

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле ускорений в веществе изменяется и отличается от поля ускорений отдельных частиц в точке наблюдения. Поле ускорений в системе частиц задаётся через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные усреднённые характеристики движения вещества. Например, в гравитационно-связанной системе возникает радиальный градиент вектора \(~ \mathbf { S },\) а если система движется или имеет вращение, то возникает вектор \(~ \mathbf { N }.\) Из (4) следует общее выражение для 4-ускорения с ковариантным индексом: $$ ~ a_\nu = \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right),$$ где \(~ ds \) обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал.

Для стационарного случая, когда потенциалы поля ускорений не зависят от времени, в предположении, что \(~ \vartheta = \gamma c^2, \) волновое уравнение (2) для скалярного потенциала преобразуется в уравнение: $$~ \Delta \gamma= - \frac {4 \pi \eta \gamma \rho_0}{c^2}. $$

Решение этого уравнения для неподвижной сферы с хаотически движущимися в ней частицами имеет вид: [4] $$~\gamma= \frac {c \gamma_c }{r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} }{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c}\sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \gamma_c - \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 c^2}.$$

где \(~ \gamma_c = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2_c \over c^2}}} \) есть фактор Лоренца для скоростей \(~ v_c\) частиц в центре сферы, и ввиду малости аргумента синус разложен до членов второго порядка. Из формулы следует, что средние скорости частиц максимальны в центре и уменьшаются при приближении к поверхности сферы.

В такой системе скалярный потенциал \(~ \vartheta\) становится функцией радиуса, а векторный потенциал \(~ \mathbf {U} \) и соленоидальный вектор \(~ \mathbf { N }\) равны нулю. Напряжённость поля ускорений \(~\mathbf {S} \) находится с помощью (1). Далее могут быть вычислены все функции поля ускорений, включая 4-ускорение, энергию частиц в этом поле и энергию самого поля ускорений. [5] Для космических тел основной вклад в 4-ускорение в веществе вносит гравитационная сила тяжести и поле давления. При этом автоматически выводится релятивистская энергия покоя системы, с учётом движения частиц внутри сферы. Для системы частиц с полем ускорения, полем давления, гравитационным и электромагнитным полями указанный подход позволил решить проблему 4/3 и показал, где и в какой форме содержится энергия системы. При этом было найдено соотношение для постоянной поля ускорения в этой задаче: $$~\eta = 3G- \frac {3q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m^2 },$$ где \(~ \varepsilon_0\) – электрическая постоянная, \(~q \) и \(~m \) – полный заряд и масса системы.

Решение волнового уравнения для поля ускорений внутри системы приводит к распределению температуры по формуле: [4] $$~ T=T_c - \frac {\eta M_p M(r)}{3kr} ,$$

где \(~ T_c \) – температура в центре, \(~ M_p \) – масса частицы, в качестве которой принимается масса протона (для систем, основой которых является водород или нуклоны в атомных ядрах), \(~ M(r) \) – масса системы внутри текущего радиуса \(~ r \), \(~ k\) – постоянная Больцмана.

Данная зависимость хорошо выполняются для самых разных космических объектов, включая газовые облака и глобулы Бока, Землю, Солнце и нейтронные звёзды.

В статьях [6] [7] соотношение для коэффициентов полей было уточнено следующим образом: $$~\eta + \sigma = G - \frac {\rho^2_{0q}}{4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_{0}},$$

где \( ~ \sigma \) есть постоянная поля давления.

Если ввести параметр \( ~ \mu \) как количество нуклонов на одну частицу ионизированного газа, то постоянная поля ускорения выразится так: $$~\eta = \frac {3\gamma_c \mu G}{2+ 3 \gamma_c \mu }.$$

Для температуры внутри космических тел в модели гравитационного равновесия находится зависимость от текущего радиуса: $$~ T=T_c - \frac {4 \pi \eta m_u \rho_{0c}\gamma_c r^2}{9k}+ \frac {2 \pi \eta A m_u \gamma_c r^3}{9k} + \frac {2 \pi \eta B m_u \gamma_c r^4}{15k} ,$$

где \( ~ m_u \) есть масса одной частицы газа, в качестве которой берётся атомная единица массы, коэффициенты \( ~ A \) и \( ~ B \) входят в зависимость плотности массы от радиуса в соотношении \( ~ \rho_0 = \rho_{0c}- Ar - Br^2. \)

Волновое уравнение (3) для векторного потенциала поля ускорений было использовано для того, чтобы релятивистское уравнение движения жидкости представить в виде уравнения Навье-Стокса в гидродинамике и описать движение вязкого сжимаемого вещества. [8]

Другие подходы[править]

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную ковариантность выражения для 4-силы в виде \(~ F^\mu = \frac {d p^\mu }{d \tau } . \) [9] Это привело их к выводу, что 4-ускорение в СТО должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора \(~ A^\mu_\nu \): $$~c \frac { d u^\mu }{d \tau } = A^\mu_\nu u^\nu . $$

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное определение. Из сравнения с (4) следует, что тензор \(~ A^\mu_\nu \) с точностью до знака и постоянного множителя совпадает с тензором ускорений \( ~ u^{ \alpha}_{k} \) со смешанными индексами.

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта, и пришли к соотношению: [10] $$~c \frac { d \lambda_\alpha }{d \tau } = \Phi_\alpha^\beta \lambda_\beta. $$

Тензор \(~ \Phi_\alpha^\beta \) имеет те же свойства, что и тензор ускорений \( ~ u_\alpha^\beta. \)

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. а б Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1-15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.
  2. а б Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, 771 - 779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.
  3. а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  4. а б Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, P. 152-167 (2014). http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.
  5. Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8, No. 1, P. 1-16 (2015); статья на русском языке: Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  6. Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol. 94, No. 4, P. 370-379 (2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593; статья на русском языке: Оценка физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.
  7. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.
  8. Fedosin S.G. Four-Dimensional Equation of Motion for Viscous Compressible and Charged Fluid with Regard to the Acceleration Field, Pressure Field and Dissipation Field. International Journal of Thermodynamics. Vol. 18, No. 1, P. 13-24 (2015). http://dx.doi.org/10.5541/ijot.5000034003; статья на русском языке: Четырёхмерное уравнение движения вязкого сжимаемого вещества с учётом поля ускорений, поля давления и поля диссипации.
  9. Yaakov Friedman and Tzvi Scarr. Covariant Uniform Acceleration. Journal of Physics: Conference Series Vol. 437 (2013) 012009 doi:10.1088/1742-6596/437/1/012009.
  10. Bahram Mashhoon and Uwe Muench. Length measurement in accelerated systems. Annalen der Physik. Vol. 11, Issue 7, P. 532–547, 2002.

Внешние ссылки[править]