Поле ускорений

Поле ускорений — двухкомпонентное векторное поле, ковариантным образом описывающее 4-ускорение отдельных частиц и плотность 4-силы, возникающие в системах с множеством тесно взаимодействующих частиц. Поле ускорений является компонентой общего поля, представленной в лагранжиане и в гамильтониане произвольной физической системы членом с энергией движения частиц, и членом с энергией поля. Поле ускорений входит в большинство уравнений векторного поля. При этом в уравнение движения поле ускорений входит через тензор ускорений, а в уравнение для метрики — через тензор энергии-импульса поля ускорений.

Поле ускорений было представлено Сергеем Федосиным в рамках метрической теории относительности и  ковариантной теории гравитации, а уравнения этого поля появились как следствие принципа наименьшего действия.

Математическое описание

4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный $~ \vartheta$ и векторный $~ \mathbf {U}$ потенциалы: $$~U_\mu = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) .$$

Антисимметричный тензор ускорений вычисляется через 4-ротор от 4-потенциала: $$~ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu U_\nu - \nabla_\nu U_\mu = \partial_\mu U_\nu - \partial_\nu U_\mu .$$

Компонентами тензора ускорений являются компоненты напряжённости поля $~\mathbf {S}$ и компоненты соленоидального вектора $~\mathbf {N}$: $$~ u_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {S_x}{ c} & \frac {S_y}{ c} & \frac {S_z}{ c} \\ -\frac {S_x}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ -\frac {S_y}{ c} & N_{z} & 0 & -N_{x} \\ -\frac {S_z}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}.$$

При этом получается следующее: $$~ \mathbf {S} = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf {U}}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times \mathbf {U}.\qquad\qquad (1)$$

В общем случае скалярный и векторный потенциалы находятся путём решения волновых уравнений для потенциалов поля ускорений.

Действие, Лагранжиан и энергия

В ковариантной теории гравитации 4-потенциал $~U_\mu$ поля ускорений является частью 4-потенциала общего поля $~ s_\mu$, который является суммой 4-потенциалов таких частных полей, как электромагнитное и гравитационное поля, поле ускорений, поле давления, поле диссипации, поле сильного взаимодействия, поле слабого взаимодействия, других векторных полей, действующих на вещество и его частицы. Все эти поля так или иначе представлены в веществе, так что 4-потенциал $~ s_\mu$ не может состоять только из одного 4-потенциала $~U_\mu$. Плотность энергии взаимодействия общего поля с веществом задаётся произведением 4-потенциала общего поля на массовый 4-ток: $~ s_\mu J^\mu$. Из 4-потенциала общего поля путём применения 4-ротора получается тензор общего поля: $$~ s_{\mu \nu} =\nabla_\mu s_\nu - \nabla_\nu s_\mu.$$

Тензорный инвариант, в виде $~ s_{\mu \nu} s^{\mu \nu}$, с точностью до постоянного коэффициента пропорционален плотности энергии общего поля. В результате функция действия, содержащая скалярную кривизну $~R$ и космологическую постоянную $~ \Lambda$, определяется выражением: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}s_\mu J^\mu - \frac {c}{16 \pi \varpi} s_{\mu\nu}s^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~L$ — функция Лагранжа или лагранжиан, $~dt$ — дифференциал времени координатной системы отсчёта, $~k$ и $~ \varpi$ — постоянные, подлежащие определению, $~c$ — скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ — инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты $~ dx^0=cdt$, через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия даёт уравнения общего поля, четырёхмерное уравнение движения и уравнение для определения метрики. Так как поле ускорений является компонентой общего поля, то из уравнений общего поля вытекают соответствующие уравнения поля ускорений.

При выполнении условия калибровки космологической постоянной в виде $$~ c k \Lambda = - s_\mu J^\mu ,$$

энергия системы не зависит от члена со скалярной кривизной и становится однозначно определённой: $$~E = \int {( s_0 J^0 + \frac {c^2 }{16 \pi \varpi } s_{ \mu\nu} s^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3},$$

где $~ s_0$ и $~ J^0$ обозначают временные компоненты 4-векторов $~ s_{\mu }$ и $~ J^{\mu }$.

4-импульс системы определяется формулой: $$~p^\mu = \left( \frac {E}{c}{,} \mathbf {p}\right) = \left( \frac {E}{c}{,} \frac {E}{c^2}\mathbf {v} \right) ,$$

где $~ \mathbf {p}$ и $~ \mathbf {v}$ обозначают импульс системы и скорость движения центра импульсов системы.

Уравнения

Четырёхмерные уравнения поля ускорений по своей форме оказываются подобными уравнениям Максвелла и имеют следующий вид: $$\nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0.$$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu,$$

где $J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ есть массовый 4-ток, $\rho_{0}$ — плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, $u^\mu$ — 4-скорость движения элемента вещества, $~ \eta$ — постоянная, определяемая в каждой задаче, и предполагается, что имеется равновесие между всеми полями в рассматриваемой физической системе.

Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений: $$~ \nabla^\mu U_{\mu} =0 .$$

Если второе уравнение с источником поля записать с ковариантным индексом в следующем виде: $$~ \nabla^\nu u_{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu,$$

то после подстановки сюда выражения тензора ускорений $u_{\mu \nu}$ через 4-потенциал поля ускорений $~U_\mu$ получается волновое уравнение для вычисления потенциалов поля ускорения: $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu + R_{\mu \nu} U^\nu = \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu,$$

где $~ R_{\mu \nu}$ — тензор Риччи.

Уравнение непрерывности в искривлённом пространстве-времени: $$~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

В пространстве Минковского специальной теории относительности тензор Риччи обнуляется, вид уравнений поля ускорений упрощается и их можно выразить через напряжённость поля $~\mathbf {S}$ и соленоидальный вектор $~\mathbf {N}$: $$~ \nabla \cdot \mathbf{S} = 4 \pi \eta \gamma \rho_0, \qquad\qquad \nabla \times \mathbf{N} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \eta \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{S}} {\partial t} \right),$$ $$~ \nabla \times \mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{N} } {\partial t} , \qquad\qquad \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 .$$

где $~ \gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}}$ есть фактор Лоренца, $~ \mathbf{J}= \gamma \rho_0 \mathbf{v }$ — плотность тока массы, $~ \mathbf{v }$ — скорость элемента вещества.

Упрощается и волновое уравнение, которое может быть записано отдельно для скалярного и векторного потенциалов: $$~ \partial^\nu \partial_\nu \vartheta = \frac {1}{c^2}\frac{ \partial^2 \vartheta }{\partial t^2 } -\Delta \vartheta = 4 \pi \eta \gamma \rho_0, \qquad\qquad (2)$$ $$~ \partial^\nu \partial_\nu \mathbf{U} = \frac {1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{U} }{\partial t^2 } -\Delta \mathbf{U}= \frac {4 \pi \eta}{c^2} \mathbf{J}. \qquad\qquad (3)$$

Уравнение движения элемента вещества в общем поле описывается формулой: $$~ s_{\mu \nu} J^\nu =0 .$$

Так как $~ J^\nu = \rho_0 u^\nu$, а тензор общего поля выражается через тензоры частных полей, то уравнение движения можно представить через эти тензоры: $$~ - u_{\mu \nu} J^\nu =F_{\mu \nu} j^\nu + \Phi_{\mu \nu} J^\nu + f_{\mu \nu} J^\nu + h_{\mu \nu} J^\nu + \gamma_{\mu \nu} J^\nu + w_{\mu \nu} J^\nu .$$

Здесь $~ F_{\mu \nu}$ — тензор электромагнитного поля, $~ j^\nu$ — зарядовый 4-ток, $~ \Phi_{\mu \nu}$ — тензор гравитационного поля, $~ f_{\mu \nu}$ — тензор поля давления, $~ h_{\mu \nu}$ — тензор поля диссипации, $~ \gamma_{\mu \nu}$ — тензор поля сильного взаимодействия, $~ w_{\mu \nu}$ — тензор поля слабого взаимодействия.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса поля ускорений вычисляется с помощью тензора ускорений: $$~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta }\left( -g^{im} u_{n m} u^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} u_{m r} u^{m r}\right) .$$

В составе тензора $~ B^{ik}$ находится 3-вектор потока энергии-импульса $~\mathbf {K}$, подобный по смыслу вектору Пойнтинга и вектору Хевисайда. Вектор $~\mathbf {K}$ можно представить через векторное произведение вектора напряжённости поля $~ \mathbf {S}$ и соленоидального вектора $~ \mathbf {N}$: $$~ \mathbf {K}=c B^{0i} = \frac {c^2}{4 \pi \eta }[\mathbf {S}\times \mathbf {N}],$$ здесь индекс $~ i=1,2,3.$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы: $$~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = - \rho_0 u_{\alpha k}u^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,\qquad \qquad (4)$$

где $~ D \tau$ обозначает дифференциал собственного времени в искривлённом пространстве-времени.

Тензор энергии-импульса поля ускорений входит в состав тензора энергии-импульса общего поля $~ T^{ik}$: $$~ T^{ik}= W^{ik}+ U^{ik}+ B^{ik}+ P^{ik} + Q^{ik}+ L^{ik}+ A^{ik},$$

где $~ W^{ik}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ U^{ik}$ — тензор энергии-импульса гравитационного поля, $~ P^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля давления, $~ Q^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля диссипации, $~ L^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля сильного взаимодействия, $~ A^{ik}$ — тензор энергии-импульса поля слабого взаимодействия.

Через тензор $~ T^{ik}$ тензор энергии-импульса поля ускорений входит в уравнение для метрики: $$~ R^{ik} - \frac{1} {4 }g^{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} T^{ik},$$

где $~ R^{ik}$ — тензор Риччи, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ \beta$ — некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

Частные решения для функций поля ускорений

4-потенциал любого векторного поля, глобальный векторный потенциал которого равен нулю в собственной системе отсчёта K', то есть в системе центра импульсов, при прямолинейном движении в лабораторной системе отсчёта K может быть представлен так: $$~ L_{\mu L} = \frac { k_f \varepsilon }{\rho_0 c^2} u_{\mu L},$$

где $~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}$ для электромагнитного поля и $~ k_f = 1$ для остальных полей; $~ \rho_{0}$ и $~\rho_{0q}$ — инвариантная плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта; $~ \varepsilon$ — инвариантная плотность энергии взаимодействия, вычисляемая как произведение 4-потенциала поля на соответствующий 4-ток; $~ u_{\mu L}$ — ковариантная 4-скорость, задающая движение центра импульсов физической системы в K.

В специальной теории относительности (СТО), в системе центра импульсов K' плотность энергии $~ \varepsilon = \gamma' \rho_0 c^2$, где $~ \gamma'$ есть фактор Лоренца, и для поля ускорений при движении физической системы в K 4-потенциал поля ускорений будет равен $~ U_{\mu L}= \gamma' u_{\mu L}$.

В том случае, когда физическая система неподвижна в K, будет $~ u_{\mu L} = (c,0,0,0)$, и следовательно, скалярный потенциал $~ \vartheta = \gamma' c^2$. Если в физической системе в среднем имеются направленные потоки вещества или вращение вещества, векторный потенциал $~ \mathbf {U}$ поля ускорений перестаёт быть равен нулю.

Если известен 4-потенциал $~ U'_{\nu}$ поля ускорений в K', то в лабораторной системе отсчёта K 4-потенциал определяется с помощью матрицы $~ M_{\mu}^{\ \nu}$, связывающей координаты и время обеих систем отсчёта: $$~ U_{\mu L}= M_{\mu}^{\ \nu} U'_{\nu}.$$ В частном случае движения системы с постоянной скоростью $~ M_{\mu}^{\ \nu}$ представляет собой матрицу преобразований Лоренца.

Идеально твёрдая частица

В приближении, когда частица рассматривается как идеально твёрдый объект, вещество внутри частицы неподвижно. Это означает, что фактор Лоренца $~ \gamma'$ этого вещества в системе центра импульсов K' равен единице, так что 4-потенциал поля ускорений становится равным 4-скорости движения центра импульсов: $$~ U_\mu = u_\mu.$$

В СТО выражение для 4-скорости упрощается и можно записать: $$~U_\mu = \left( \frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) = u_\mu = \left(\gamma c, - \gamma \mathbf {v} \right).$$

Компоненты тензора ускорений согласно (1) будут равны: $$~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }).$$

Так как в уравнении твердотельного движения для 4-ускорения с ковариантным индексом $~ a_\mu$ справедливо соотношение $$~ \rho_0 a_\mu = \rho_0 \frac {Du_\mu }{D \tau}= - u_{\mu \nu} J^\nu = - \rho_0 u_{\mu \nu} u^\nu,$$

то в СТО получается следующее: $$~ \frac {Du_\mu }{D \tau}= \frac {du_\mu }{d \tau} =\gamma \frac {du_\mu }{dt}, \qquad\qquad u^\nu =\left(\gamma c, \gamma \mathbf {v} \right),$$

а также уравнения для лоренцевского фактора $~ \gamma$ и для 3-ускорения $~ a= \frac {d \mathbf { v }}{dt}$: $$~ \frac {d \gamma }{dt}= - \frac {1 }{c^2} \mathbf {S}\cdot \mathbf { v }, \qquad (5) \qquad \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= \gamma \mathbf { a }+ \frac {d \gamma}{dt}\mathbf { v } = - \mathbf {S}- [\mathbf { v }\times \mathbf {N}]. \qquad (6)$$

Умножая скалярно уравнение (6) на скорость $~ \mathbf { v },$ подставляя из уравнения (5) в (6) величину $~ \mathbf {S}\cdot \mathbf { v },$ учитывая соотношение $~\gamma^{-2}=1 - {v^2 \over c^2},$ находим известное выражение для производной фактора Лоренца через скалярное произведение скорости и ускорения в СТО: $$~ \gamma^3 \mathbf {v}\cdot \mathbf { a }=c^2 \frac {d \gamma }{dt}.$$

В справедливости уравнения (6) можно убедиться, если подставить в его правую часть выражения для напряжённости и соленоидального вектора: $$~ \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= c^2 \nabla \gamma + \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times (\gamma \mathbf { v }) ] . \qquad\qquad (7)$$

Действительно, применение производной Лагранжа даёт: $$~ \frac {d (\gamma \mathbf { v })}{dt}= \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t} + (\mathbf { v } \cdot \nabla) (\gamma \mathbf { v }) = \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t}+\gamma (\mathbf { v } \cdot \nabla) \mathbf { v } + \mathbf { v } (\mathbf { v } \cdot \nabla\gamma) .$$

Кроме этого $$~ - \mathbf { v }\times [ \nabla \times (\gamma \mathbf { v }) ] = - \gamma \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf { v } ] - \mathbf { v }\times [ \nabla \gamma \times \mathbf { v }] = -\frac {\gamma }{2} \nabla v^2 + \gamma (\mathbf { v } \cdot \nabla) \mathbf { v } - v^2 \nabla \gamma + \mathbf { v } (\mathbf { v } \cdot \nabla\gamma) .$$

Подставляя эти соотношения в (7), с учётом выражения $~ \gamma^{-2}=1 - {v^2 \over c^2},$ приходим к тождеству: $$~ c^2 \nabla \gamma - \frac {\gamma }{2} \nabla v^2 - v^2 \nabla \gamma =0 .$$

Если компоненты скорости частицы являются функциями от времени и прямо не зависят от пространственных координат, то для такого движения соленоидальный вектор $~ \mathbf { N }$ обращается в нуль.

В СТО $~ E = \gamma m c^2$ — релятивистская энергия, $~ \mathbf p = \gamma m \mathbf v$ — 3-вектор релятивистского импульса частицы. Если масса $~ m$ частицы постоянна, то умножая (7) на массу частицы, приходим к следующему выражению для силы: $$~ \mathbf F= \frac {d \mathbf p }{dt}= \nabla E + \frac {\partial \mathbf p }{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf p ] .$$

Вращение частицы

Для малой по размерам идеально твёрдой частицы можно пренебречь движением вещества внутри частицы и считать, что 4-потенциал поля ускорений равен 4-скорости центра импульсов частицы. Пусть частица вращается вокруг оси OZ системы координат на расстоянии $~ \rho = \sqrt {x^2 +y^2}$ от оси с постоянной угловой скоростью $~ \omega$ против часовой стрелки, если смотреть с той стороны, куда направлена ось OZ. Тогда можно считать, что линейная скорость частицы зависит только от координат $~ x$ и $~ y$, и для проекций скорости на оси системы координат можно записать: $~ \mathbf v = (-\omega y, \omega x, 0)$, при этом квадрат скорости равен $~ v^2 = \omega^2 (x^2 + y^2)$. Для фактора Лоренца в рамках СТО получается следующее: $$~\gamma = \frac {1}{\sqrt {1- \frac { v^2}{ c^2}}} = \frac {1}{\sqrt {1- \frac { \omega^2 (x^2 + y^2)}{ c^2}}} .$$

С учётом этого потенциалы и напряжённости поля ускорений запишутся так: $$~ \vartheta = \gamma c^2, \qquad \mathbf {U} = \gamma \mathbf {v}.$$ $$~ \mathbf {S} = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}= \left( -\gamma^3 \omega^2 x, -\gamma^3 \omega^2 y, 0 \right).$$ $$~ \mathbf {N} = \nabla \times \mathbf {U} = \left( 0, 0, \gamma \omega +\gamma^3 \omega \right).$$

Если подставить $~ \gamma$, $~ \mathbf v$, $~\mathbf {S}$ и $~\mathbf {N}$ в (6), можно определить компоненты ускорения частицы и амплитуду ускорения: $$~ \mathbf {a} = \left( - \omega^2 x , -\omega^2 y, 0 \right).$$ $$~ a = \sqrt {a^2_x +a^2_y +a^2_z} = \omega^2 \sqrt {x^2 +y^2}= \omega^2 \rho =\omega v = \frac {v^2} {\rho }.$$

Ускорение направлено к центру вращения и представляет собой центростремительное ускорение. Используя далее классическое векторное описание, в координатах и времени системы отсчёта в центре вращения находим: $$~ \vec \rho = (x, y, 0) , \qquad \vec \omega = \frac {\vec {d\varphi} }{dt} =(0, 0, \omega) ,$$ $$~ \mathbf {v} = [\vec \omega \times \vec \rho] , \qquad \mathbf {a} = [\vec \omega \times \mathbf {v}] = [\vec \omega \times [\vec \omega \times \vec \rho]] = \vec \omega (\vec \omega \cdot \vec \rho) - \vec \rho (\vec \omega \cdot \vec \omega) = - \omega^2 \vec \rho ,$$

где $~ \rho$ и $~ \varphi$ являются двумя координатами цилиндрической системы координат, $~ \vec \rho$ есть вектор от центра вращения до частицы, $~ \vec {d\varphi}$ обозначает аксиальный вектор дифференциала угла вращения, который направлен вдоль оси OZ.

Как видно, при таком движении с ускорением векторное произведение $~ [\mathbf {S}\times \mathbf {N}]$ не равно нулю, так же как и 3-вектор $~ \mathbf {K}$ потока энергии-импульса поля ускорений внутри частицы.

Система частиц

Благодаря взаимодействию множества частиц друг с другом посредством различных полей, в том числе на расстоянии без непосредственного контакта, поле ускорений в веществе изменяется и отличается от поля ускорений отдельных частиц в точке наблюдения. В результате плотность 4-силы в системе частиц задаётся через напряжённость и соленоидальный вектор, характеризующие типичные усреднённые характеристики движения вещества. Например, в гравитационно-связанной системе возникает радиальный градиент вектора $~ \mathbf { S },$ а если система движется или имеет вращение, то возникает вектор $~ \mathbf { N }.$ Из (4) следует общее выражение для плотности 4-силы с ковариантным индексом: $$~ f_\nu = \rho_0 \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right),$$ где $~ ds$ обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал.

Для стационарного случая, когда потенциалы поля ускорений не зависят от времени, в предположении, что $~ \vartheta = \gamma c^2,$ волновое уравнение (2) для скалярного потенциала в СТО преобразуется в уравнение: $$~ \Delta \gamma= - \frac {4 \pi \eta \gamma \rho_0}{c^2}.$$

Решение этого уравнения для неподвижной сферы с хаотически движущимися в ней частицами имеет вид: $$~\gamma= \frac {c \gamma_c }{r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} } \sin \left(\frac {r}{c}\sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \gamma_c - \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 c^2}.$$

где $~ \gamma_c = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2_c \over c^2}}}$ есть фактор Лоренца для скоростей $~ v_c$ частиц в центре сферы, и ввиду малости аргумента синус разложен до членов второго порядка. Из формулы следует, что средние скорости частиц максимальны в центре и уменьшаются при приближении к поверхности сферы.

В такой системе скалярный потенциал $~ \vartheta$ становится функцией радиуса, а векторный потенциал $~ \mathbf {U}$ и соленоидальный вектор $~ \mathbf { N }$ равны нулю. Напряжённость поля ускорений $~\mathbf {S}$ находится с помощью (1). Далее могут быть вычислены все функции поля ускорений, включая 4-ускорение, энергию частиц в этом поле и энергию самого поля ускорений. Для космических тел основной вклад в 4-ускорение в веществе вносит гравитационная сила тяжести и поле давления. При этом автоматически выводится релятивистская энергия покоя системы, с учётом движения частиц внутри сферы. Для системы частиц с полем ускорения, полем давления, гравитационным и электромагнитным полями указанный подход позволил решить проблему 4/3 и показал, где и в какой форме содержится энергия системы. При этом было найдено соотношение для постоянной поля ускорения в этой задаче: $$~\eta = 3G- \frac {3q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m^2 },$$ где $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~q$ и $~m$ — полный заряд и масса системы.

Решение волнового уравнения для поля ускорений внутри системы приводит к распределению температуры по формуле: $$~ T=T_c - \frac {\eta M_p M(r)}{3kr} ,$$

где $~ T_c$ — температура в центре, $~ M_p$ — масса частицы, в качестве которой принимается масса протона (для систем, основой которых является водород или нуклоны в атомных ядрах), $~ M(r)$ — масса системы внутри текущего радиуса $~ r$, $~ k$ — постоянная Больцмана.

Данная зависимость хорошо выполняются для самых разных космических объектов, включая газовые облака и глобулы Бока, Землю, Солнце и нейтронные звёзды.

В статьях соотношение для коэффициентов полей было уточнено следующим образом: $$~\eta + \sigma = G - \frac {\rho^2_{0q}}{4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_{0}},$$

где $~ \sigma$ есть постоянная поля давления.

Если ввести параметр $~ \mu$ как количество нуклонов на одну частицу ионизированного газа, то постоянная поля ускорения выразится так: $$~\eta = \frac {3\gamma_c \mu G}{2+ 3 \gamma_c \mu }.$$

Для температуры внутри космических тел в модели гравитационного равновесия находится зависимость от текущего радиуса: $$~ T=T_c - \frac {4 \pi \eta m_u \rho_{0c}\gamma_c r^2}{9k}+ \frac {2 \pi \eta A m_u \gamma_c r^3}{9k} + \frac {2 \pi \eta B m_u \gamma_c r^4}{15k} ,$$

где $~ m_u$ есть масса одной частицы газа, в качестве которой берётся атомная единица массы, коэффициенты $~ A$ и $~ B$ входят в зависимость плотности массы от радиуса в соотношении $~ \rho_0 = \rho_{0c}- Ar - Br^2.$

В предположении, что типичные частицы системы имеют массу $~\stackrel{-}{m } = \mu m_u$ и именно типичные частицы задают температуру и давление, для постоянной поля ускорения получается следующее: $$~ \eta = \frac {3}{5} \left( G- \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 } \right) .$$

Находится также фактор Лоренца частиц в центре системы: $$~\gamma_c = \frac {1}{\sqrt {1- \frac { v^2_c }{c^2}}} \approx 1+ \frac { v^2_c }{2c^2} +\frac {3 v^4_c }{8c^4} \approx 1+ \frac {3 \eta m}{10 a c^2} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right) + \frac {27 \eta^2 m^2}{200 a^2 c^4} \left( 1+\frac {9}{2\sqrt {14}} \right)^2 .$$

Волновое уравнение (3) для векторного потенциала поля ускорений было использовано для того, чтобы релятивистское уравнение движения жидкости представить в виде уравнения Навье-Стокса в гидродинамике и описать движение вязкого сжимаемого вещества.

Учёт поля ускорений и поля давления в релятивистской однородной системе позволил уточнить теорему вириала, которая в релятивистской форме записывается так: $$~ \langle W_k \rangle \approx - 0,6 \sum_{k=1}^N\langle\mathbf{F}_k\cdot\mathbf{r}_k\rangle ,$$

причём величина $~ W_k \approx \gamma_c T$ превышает кинетическую энергию частиц $~ T$ на множитель, равный фактору Лоренца $~ \gamma_c$ частиц в центре системы. В обычных условиях можно считать, что $~ \gamma_c \approx 1$, и тогда видно, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 0,5, а скорее коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счёт учёта поля давления и поля ускорений частиц внутри системы, при этом производная от вириальной скалярной функции $~ G_v$ не равна нулю и должна рассматриваться как производная Лагранжа.

Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры: $$v_\mathrm{rms} = c \sqrt{1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{c^2 \gamma^2_c \sin^2 {\left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) } } } .$$

Интегральная теорема энергии поля для поля ускорений в искривлённом пространстве-времени выглядит следующим образом: $$~ - \int { \left( \frac {8 \pi \eta }{c^2} U_\alpha J^\alpha + u_{\alpha \beta} u^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { U^\alpha u_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {U^\alpha u_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$

В релятивистской однородной системе скалярный потенциал $~\vartheta$ поля ускорений связан со скалярным потенциалом $~\wp$ поля давления соотношением: $$~ \wp = \frac {\sigma (\vartheta -c^2)}{ \eta } = \frac {2 (\vartheta -c^2)}{ 3 }.$$

При этом находится релятивистское выражение для давления:

$p = \frac{2\rho c^2 (\gamma - 1) }{3}= \frac {2 \rho c^2 }{3} \left( \frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}-1 \right) \approx \frac {\rho v^2}{3},$

где $\rho$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света, $\gamma =\frac {1}{\sqrt {1- v^2/ c^2 }}$ — Лоренц-фактор. В пределе малых скоростей это соотношение переходит в стандартную формулу молекулярно-кинетической теории.

Другие подходы

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную ковариантность выражения для 4-силы в виде $~ F^\mu = \frac {d p^\mu }{d \tau } .$ Это привело их к выводу, что 4-ускорение в СТО должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора $~ {A^\mu}_\nu$: $$~c \frac { d u^\mu }{d \tau } = {A^\mu}_\nu u^\nu .$$

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное определение.

Из сравнения с (4) следует, что тензор $~ {A^\mu}_\nu$ с точностью до знака и постоянного множителя совпадает с тензором ускорений $~ {u^\alpha}_k$ в случае, когда рассматривается прямолинейное движение твёрдого тела без вращения. Действительно, тогда 4-потенциал поля ускорений совпадает с 4-скоростью, $~ U_\mu = u_\mu$. В результате величина $~ - J^k \partial_\alpha U_k =- \rho_0 u^k \partial_\alpha u_k$ в правой части (4) обнуляется, поскольку справедливы соотношения: $~ u^k u_k = c^2$, $~ 2 u^k \partial_\alpha u_k = \partial_\alpha (u^k u_k) = \partial_\alpha c^2 =0$. С учётом этого в (4) можно поднять индекс $~ \alpha$ и сократить плотность массы, что даёт следующее: $$~ - {u^\alpha}_k u^k =\frac {du^\alpha }{d \tau} .$$

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта, и пришли к соотношению: $$~c \frac { d \lambda_\alpha }{d \tau } = {\Phi_\alpha}^\beta \lambda_\beta.$$

Тензор $~ {\Phi_\alpha}^\beta$ имеет те же свойства, что и тензор ускорений $~ {u_\alpha}^\beta.$

Использование в общей теории относительности

Функция действия в общей теории относительности (ОТО) может быть представлена как сумма четырёх членов, отвечающих соответственно за метрику пространства-времени, за материю в виде вещества, за электромагнитное поле и за поле давления: $$~ S = S_m + S_{mat} + S_{em} + S_p.$$

В функцию действия можно включать дополнительные члены, если требуется учесть другие поля. Первый, второй и третий члены действия имеют стандартный вид: $$~ S_m = \int (kR-2k \Lambda ) \sqrt {-g}d\Sigma.$$ $$~ S_{mat} = \int ( - c \rho_0 ) \sqrt {-g}d\Sigma.$$ $$~ S_{em} =\int ( - \frac {1}{c} A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4 } F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $A_\mu$ есть электромагнитный 4-потенциал.

Член $~ S_p$, отвечающий за вклад давления в функцию действия, оказывается различным у разных авторов, в зависимости от того, как давление связано с упругой энергией, и является ли поле давления скалярным или считается векторным полем. Заметим, что в ОТО гравитационное поле входит в функцию действия не прямо, а косвенно, через метрический тензор. При этом как правило поле давления считается скалярным полем.

В отличие от этого, в  ковариантной теории гравитации (КТГ) вместо члена $~ S_{mat}$ используется член $~ S_{ac}$, связанный с полем ускорений, и функция действия может быть записана так: $$~ S = S_m + S_{ac} + S_{em} + S_p .$$

Здесь $$~ S_{ac} = \int ( - \frac {1}{c } U_\mu J^\mu - \frac {c}{ 16 \pi \eta } u_{\mu\nu}u^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma ,$$ $$~ S_p =\int ( - \frac {1}{c } \pi_\mu J^\mu - \frac {c}{ 16 \pi \sigma } f_{\mu\nu}f^{\mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~\pi_\mu$ — 4-потенциал поля давления, $~ \sigma$ — коэффициент поля давления, $~ f_{\mu\nu}$ — тензор поля давления, $J^\mu = \rho_{0} u^\mu$.

В случае прямолинейного движения твёрдого тела без вращения будут выполняться соотношения: $U_\mu = u_\mu$, $~ u_\mu u^\mu = c^2$, и в члене $~ S_{ac}$ получается соотношение $~ - \frac {1}{c } U_\mu J^\mu = - c \rho_0$. В этом частном случае видно, что член $~ S_{ac}$ отличается от члена $~ S_{mat}$ дополнительным слагаемым, связанным с энергией поля ускорений. Это является следствием того, что в КТГ поле ускорений представляет собой векторное поле, тогда как как в ОТО поле ускорений используется фактически как скалярное поле, не зависящее от скоростей частиц. В обеих теориях поле ускорений позволяет определить вклад энергии покоя частиц в общую энергию системы из частиц и полей. Однако применение поля ускорений в виде скалярного поля в ОТО по своей форме не согласуется с векторной природой электромагнитного поля. Действительно, в предельном случае, когда в учёт берутся только ускорения частиц и электромагнитные силы, ускорение должно быть двухкомпонентным, как это имеет место для ускорения от действия двухкомпонентной силы Лоренца. Но такое возможно лишь в случае, когда поле ускорений является векторным полем. Улучшить ситуацию можно, если приписать метрическому полю $~ g_{\mu \nu}$ в ОТО кроме функции гравитационного поля ещё и функцию векторной компоненты поля ускорений, однако это ещё более усложняет и запутывает уравнения теории.

Следует заметить, что в общем случае произвольного движения вещества соотношение $~ - \frac {1}{c } U_\mu J^\mu = - c \rho_0$ уже не выполняется и КТГ перестаёт совпадать с ОТО в способе описания энергии покоя физической системы. Это означает, что в ОТО движение вещества рассматривается упрощённо, как прямолинейное движение твёрдого тела, тогда как в КТГ использование 4-потенциала поля ускорений $U_\mu$ позволяет учесть внутреннее движение вещества в каждом выделенном элементе объёма. Например, при вращении частицы по окружности 4-потенциал $U_\mu$ вещества частицы будет зависеть от местоположения этого вещества относительно линии окружности, так как скорость вещества частицы зависит от радиуса вращения.

См. также

• Общее поле
• Поле давления
• Поле диссипации
• Ковариантная теория гравитации
• Метрическая теория относительности
• Тензор ускорений
• Тензор энергии-импульса поля ускорений
• 4-сила
• Уравнение векторного поля

Внешние ссылки

• Acceleration field