4-ускорение

4-ускорение есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора ускорения на четырёхмерное пространство-время. Любая физическая система, будь то точечная материальная частица или связанное множество частиц, обладает своим собственным 4-ускорением. Внутри тела с непрерывным распределением вещества как правило имеются градиенты скоростей движения типичных частиц этого вещества. В результате усреднённое по объёму с размерами таких частиц 4-ускорение типичных частиц внутри тел является некоторой функцией координат и времени, приводя к внутренним напряжениям в веществе.

Определение

В общем случае 4-ускорение частицы определяется как производная 4-скорости $~ u^\lambda$ по собственному времени $~ \tau$ частицы: $$~ A^\lambda := \frac{D u^\lambda }{D\tau} = u^{\mu} \nabla_\mu u^\lambda = u^{\mu}\partial _\mu u^\lambda + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu .$$

В приведённом выражении используется оператор производной по собственному времени $~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu$, обобщающий производную Лагранжа на искривлённое пространство-время, а величины $~ \Gamma^\lambda_{\mu \nu}$ представляют собой символы Кристоффеля.

Для определения 4-ускорения с ковариантным индексом требуется метрический тензор $~ g_{\nu \lambda}$ : $$~ A_\nu = g_{\nu \lambda} A^\lambda = \frac{D u_\nu }{D\tau} = u^{\mu}\nabla_\mu u_\nu = u^{\mu}\partial _\mu u_\nu - \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u_\lambda = \frac{d u_\nu }{d\tau} - \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u_\lambda.$$

Отдельная частица

Движение твердотельных точечных физических частиц, а также и физических систем из множества частиц, движущихся как единое целое, описывается с помощью 4-скорости. При этом скорость движения частицы или скорость центра импульсов системы непосредственно входят в пространственную компоненту 4-скорости.

Иногда удобно от собственного времени $~ \tau$ частицы перейти к координатному времени $~ t$ системы отсчёта, в которой движется частица. Учтём, что 4-скорость можно записать в следующем виде: $$~u^\lambda := \frac{d x^\lambda }{d\tau}= \left( c \frac {dt}{d\tau},\frac {d \mathbf r}{d\tau} \right) = \frac {u^0}{c} \left( c, \mathbf v \right) ,$$

где $~ x^\lambda = (ct, \mathbf r)$ — мгновенное 4-положение частицы, $~ c$ — скорость света, $~ \mathbf r$ — 3-вектор положения частицы, $~ u^0 = c \frac {dt}{d\tau}$ — временная компонента 4-скорости, $~ \mathbf v = \frac { d \mathbf r }{dt} = (v^1,v^2,v^3) = (v_x,v_y,v_z)$ — 3-скорость частицы с соответствующими компонентами.

Для компонент 4-ускорения получается тогда следующее: $$~A^0 = \frac {u^0}{c} \frac{d u^0 }{dt} + \Gamma^0_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . \qquad A^1 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^1) }{dt} + \Gamma^1_{\mu \nu} u^\mu u^\nu .$$ $$~A^2 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^2) }{dt} + \Gamma^2_{\mu \nu} u^\mu u^\nu . \qquad A^3 = \frac {u^0}{c^2} \frac{d (u^0 v^3) }{dt} + \Gamma^3_{\mu \nu} u^\mu u^\nu .$$

В инерциальной системе отсчёта, мгновенно сопутствующей движущейся частице, скорость $~ \mathbf v = 0$, фактор Лоренца $~ \gamma = \frac {dt}{d \tau} = \sqrt {\frac {1}{1- \frac {v^2}{c^2}}} = 1$, символы Кристоффеля обнуляются, $~ u^0 = \gamma c = c$, и обозначая в данной системе отсчёта собственное 3-ускорение в виде $~ \mathbf a = \frac {d \mathbf v }{dt}$, для 4-ускорения получается: $~ A^\lambda = (0, \mathbf a)$. Поскольку в этой системе отсчёта 4-скорости с контравариантным и ковариантным индексом совпадают, $~ u^\lambda = (c, 0) = u_\lambda$, то скалярное произведение $~ u_\lambda A^\lambda = 0$. Так как скалярное произведение любых 4-векторов есть инвариант, то из равенства нулю скалярного произведения следует, что и в любой другой системе отсчёта 4-скорость и 4-ускорение частицы всегда перпендикулярны друг другу.

Если считать, что 4-скорость направлена вдоль мировой линии частицы, то тогда 4-ускорение в каждой точке будет перпендикулярно этой линии и направлено так же, как вектор кривизны мировой линии.

Применение

В случае, когда на частицу действует некоторое силовое поле, ускорение частицы будет зависеть от обеих компонент этого поля, то есть от напряжённости и соответствующего соленоидального вектора. Так, напряжённость электрического поля, магнитная индукция, заряд и скорость частицы определяют величину силы Лоренца, ускоряющей частицу в электромагнитном поле. Такая же ситуация складывается и в ковариантной теории гравитации, где имеется напряжённость гравитационного поля и поле кручения.

Для полей справедлив принцип суперпозиции, согласно которому скалярный потенциал поля в некоторой точке есть арифметическая сумма скалярных потенциалов всех имеющихся источников поля, а векторный потенциал в этой точке есть векторная сумма векторных потенциалов источников поля. С помощью известных потенциалов поля нетрудно определить напряжённость и соответствующий соленоидальный вектор поля, а значит и соответствующее ускорение частицы. Для выражения силы в более общем, тензорном виде, используется понятие 4-сила, пропорциональное 4-ускорению.

В  общей теории относительности гравитационная сила сводится к искривлению пространства-времени и находится через метрический тензор. В результате в отсутствие других сил частица в гравитационном поле движется по геодезической линии, причём 4-ускорение $~ A^\lambda$ частицы и 4-сила оказываются равными нулю. Отсюда следует уравнение геодезической как уравнение движения частицы в заданной метрике: $$~ A^\lambda = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = 0.$$

При аналогичных условиях в  ковариантной теории гравитации гравитационное 4-ускорение частицы определяется либо через тензор гравитационного поля $~ \Phi_{\mu \nu}$, либо через тензор энергии-импульса гравитационного поля $~ U_{ \mu \nu}$. При этом 4-ускорение нулю не равно, пока существует не нулевая гравитационная сила. Уравнение движения твердотельной частицы есть равенство между 4-ускорением и ускорением от гравитационного поля: $$~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} \Phi_{\mu \nu} u^\nu = -\frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu U^{\lambda \mu} .$$

В присутствии других полей, действующих на частицу, указанные выше уравнения движения изменяются. Например, при наличии заряда $~ q$ у частицы массы $~ m$, уравнение движения в общей теории относительности будет следующим: $$~ A^\lambda = \frac{d u^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} u^\mu u^\nu = \frac {q}{m} g^{\lambda \mu} F_{\mu \nu} u^\nu = - \frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu W^{\lambda \mu} ,$$

где $~ F_{\mu \nu}$ есть тензор электромагнитного поля, $~ W^{\lambda \mu}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля, $~ \rho_{0}$ — средняя плотность массы частицы в её собственной системе отсчёта.

В веществе внутри тела на частицу может действовать одновременно несколько полей, например, гравитационное и электромагнитное поля, поле давления, поле диссипации. В ковариантной теории гравитации гравитационное поле рассматривается как векторное поле, так же, как и электромагнитное поле. Если считать, что и другие поля в макроскопических телах описываются векторными полями и являются компонентами общего поля, то уравнение движения твердотельной частицы в указанных четырёх полях имеет вид: $$~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} \left( \Phi_{\mu \nu} u^\nu + \frac {q}{m} F_{\mu \nu} u^\nu + f_{\mu \nu} u^\nu + h_{\mu \nu} u^\nu \right) = - \frac {1}{\rho_0} \nabla_\mu (U^{\lambda \mu} + W^{\lambda \mu} + P^{\lambda \mu} + Q^{\lambda \mu}). \qquad (1)$$

Здесь $~ f_{\mu \nu}$ — тензор поля давления, $~ h_{\mu \nu}$ — тензор поля диссипации, $~ P^{\lambda \mu}$ — тензор энергии-импульса поля давления, $~ Q^{\lambda \mu}$ — тензор энергии-импульса поля диссипации.

4-импульс и 4-сила

4-импульс частицы определяется как произведение массы $~ m$ частицы на 4-скорость: $$~ p^\lambda := m u^\lambda = \left( \frac {E}{c}, \quad \mathbf p \right) ,$$ где $~ E = m c u^0$ — релятивистская энергия, $~ \mathbf p = \frac { m u^0 \mathbf v }{c}$ — 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для вычисления 4-силы необходимо применить к 4-импульсу оператор производной по собственному времени: $$~ F^\lambda := \frac{D p^\lambda }{D\tau} = \frac{d p^\lambda }{d\tau} + \Gamma^\lambda_{\mu \nu} p^\mu u^\nu.$$

Если масса постоянна, её можно вынести за знак дифференциала: $$~ F^\lambda = m \frac{D u^\lambda }{D\tau} = m A^\lambda .$$

В этом случае 4-сила будет пропорциональна массе и 4-ускорению. Если определить, что $~ W = \frac {dE}{dt}$ есть мощность как скорость изменения энергии частицы, а $~ \mathbf F = \frac {d \mathbf p }{dt} = (F_x, F_y, F_z)$ — 3-сила, записанная в том числе в декартовых координатах, и действующая на частицу, то компоненты 4-силы запишутся через мощность, компоненты 3-силы и через компоненты 4-ускорения так: $$~F^0 = \frac {u^0 W}{c^2} + \Gamma^0_{\mu \nu} p^\mu u^\nu = m A^0 . \qquad F^1 = \frac {u^0 F_x }{c} + \Gamma^1_{\mu \nu} p^\mu u^\nu = m A^1. \qquad (2)$$ $$~F^2 = \frac {u^0 F_y }{c} + \Gamma^2_{\mu \nu} p^\mu u^\nu= m A^2 . \qquad F^3 = \frac {u^0 F_z }{c} + \Gamma^3_{\mu \nu} p^\mu u^\nu= m A^3 .$$

Определение 4-ускорения с помощью поля ускорений

Поле ускорений характеризуется своим собственным 4-потенциалом, тензором ускорений $~ u_{\mu \nu }$ и тензором энергии-импульса поля ускорений $~ B_{\mu \nu }$. Компонентами тензора ускорений являются компоненты двух 3-векторов — напряжённости $~ \mathbf S$ и соленоидального вектора $~ \mathbf N$ поля ускорений. Для твердотельной частицы 4-ускорение с ковариантным индексом может быть определено через эти величины: $$~ A_\mu = - u_{\mu \nu } u^{\nu} = \frac {u^0 }{c} \left( -\frac {1}{c} \mathbf S \cdot \mathbf v , \quad \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ] \right) = \frac {1}{\rho_0} g_{\mu \beta} \nabla_\nu B^{\beta \nu}. \qquad (3)$$

Равенство для 4-ускорения с правой частью (3), содержащей тензор энергии-импульса поля ускорений, следует из принципа наименьшего действия. Равенство для 4-ускорения с левой частью (3) доказывается следующим образом. Для точечной твердотельной частицы 4-потенциалом поля ускорений выступает 4-скорость частицы с ковариантным индексом $~ u_\nu$, и тензор ускорений будет равен: $$~ u_{\mu \nu } = \nabla_\mu u_\nu - \nabla_\nu u_\mu .$$

Умножение этого равенства на $~ u^\nu$ даёт искомое соотношение: $$~ u_{\mu \nu } u^\nu = u^\nu \nabla_\mu u_\nu - u^\nu \nabla_\nu u_\mu = - u^\nu \nabla_\nu u_\mu = - A_\mu .$$

При этом было учтено равенство: $~ u_\nu u^\nu = c^2$ и его ковариантная производная: $$~ \nabla_\mu (u_\nu u^\nu) = u_\nu \nabla_\mu u^\nu + u^\nu \nabla_\mu u_\nu = 2 u^\nu \nabla_\mu u_\nu = \nabla_\mu c^2 = 0 .$$

С помощью метрического тензора можно перейти к 4-ускорению с контравариантным индексом: $$~ A^\lambda = g^{\lambda \mu} A_\mu = - u^\lambda_\nu u^{\nu} = \frac {1}{\rho_0} \nabla_\nu B^{\lambda \nu}. \qquad (4)$$

После подстановки (4) в правую часть (2) становится видно, что имеется связь между мощностью $~ W$ и 3-силой $~ \mathbf F$, с одной стороны, и скалярным произведением $~ \mathbf S \cdot \mathbf v$ и суммой $~ \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ]$, с другой стороны.

В плоском пространстве-времени символы Кристоффеля обнуляются, $~ u^0 = c \gamma$, а метрический тензор имеет только диагональные компоненты, по модулю равные 1. В этом случае получается: $$~ W = - m \mathbf S \cdot \mathbf v = \mathbf F \cdot \mathbf v, \qquad \mathbf F = - m \left( \mathbf S +[\mathbf v \times \mathbf N ] \right).$$

Таким образом, мощность работы, совершаемой произвольной силой, и сама сила описываются через скорость движения $~ \mathbf v$, напряжённость $~ \mathbf S$ и соленоидальный вектор $~ \mathbf N$ поля ускорений.

Из определения 4-потенциала и тензора ускорений следуют выражения для векторов $~ \mathbf S$ и $~ \mathbf N$: $$~ \mathbf {S} = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf {U}}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times \mathbf {U}.$$

В плоском пространстве-времени скалярный потенциал поля ускорений частицы равен $~ \vartheta = \gamma c^2 = \frac {E}{m}$, а векторный потенциал поля ускорений равен $~ \mathbf {U} = \gamma \mathbf v = \frac {\mathbf p }{m}$. Находя с помощью этих потенциалов векторы $~ \mathbf S$ и $~ \mathbf N$ и подставляя их в выражения для мощности и силы, получим следующее: $$~ W = \mathbf v \cdot \nabla E + \mathbf v \cdot \frac {\partial \mathbf {p}}{\partial t} = \frac {dE}{dt}= \mathbf v \cdot \frac {d \mathbf p }{dt}.$$ $$~\mathbf F = \nabla E + \frac {\partial \mathbf {p}}{\partial t} - \mathbf v \times [ \nabla \times \mathbf p ] = \frac {d \mathbf p }{dt} .$$

Векторы $~ \mathbf S$ и $~ \mathbf N$ определены через частные производные, характерные для алгебры 4-векторов, и аналогично получились выражения для мощности и силы. Кроме этого, существуют ещё два выражения для силы, с участием 3-ускорения $~ a$ частицы: $$~ \mathbf F = m \gamma \left(\mathbf{a} +\gamma^2 \frac{ (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} \mathbf{v} \right) = m \gamma^3 \left(\mathbf{a} +\frac{ \mathbf{v} \times [\mathbf{v} \times \mathbf{a}]}{c^2} \right).$$

Система тесно взаимодействующих частиц

Концепция 4-ускорения для достаточно большой системы частиц существенно отличается от 4-ускорения одиночной точечной частицы. Многочастичные взаимодействия в системе порождают новое качество, когда важным становится не движение конкретной физической частицы, а движение некоторых типичных частиц, которые в среднем характеризуют рассматриваемую систему. В результате усреднения кинетических энергий и импульсов отдельных частиц возникают ещё такие макроскопические параметры, как температура и давление. Особенностью типичной частицы является то, что среднеквадратичная скорость её движения становится функцией местоположения в системе. В простых физических системах, состоящих из частиц одной фазы или имеющих достаточно однородный состав, давление, температура и скорость типичных частиц в центре системы как правило достигают максимальной величины.

Для описания движения типичной частицы пригодны те же уравнения, что и для физической частицы, с тем отличием, что эти уравнения должны быть усреднены. Для этого требуется усреднение напряжённостей и соленоидальных векторов всех действующих полей по объёму типичной частицы по месту её нахождения. Фактически усреднение осуществляется путём использования соответствующих уравнений поля, при этом часто применяется приближение сплошной среды.

Во многих случаях в системе известны зависимости от координат и времени как полей, так и плотности массы и заряда, но неизвестно распределение 4-скорости частиц. Тогда в концепции общего поля и ковариантной теории гравитации для вычисления основных параметров системы могут понадобиться выражения, представленные в статье уравнение векторного поля:

1) Уравнение для вычисления метрики: $$~ R^{\lambda \mu } - \frac{1} {4 }g^{\lambda \mu }R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} (U^{ \lambda \mu} + W^{\lambda \mu} + P^{\lambda \mu} + Q^{\lambda \mu}),$$

где $~ R$ — скалярная кривизна, $~ G$ — гравитационная постоянная, $~ \beta$ — некоторая постоянная, и использовано условие калибровки космологической постоянной.

2) Уравнения поля ускорений для вычисления векторов $~ \mathbf S$ и $~ \mathbf N$ как компонент тензора ускорений $~ u_{\mu \nu }$: $$\nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0.$$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu,$$

где $J^\mu = \rho_{0} u^\mu$ есть массовый 4-ток, $~ \eta$ — постоянная поля ускорений.

Иногда проще вначале использовать волновое уравнение для вычисления 4-потенцала поля ускорения $~ U_\mu$ $$~ \nabla^\nu \nabla_\nu U_\mu + R_{\mu \nu} U^\nu = \frac{4 \pi \eta }{c^2} J_\mu,$$

а затем применить 4-ротор к $~ U_\mu$ для определения $~ u_{\mu \nu }$.

3) Уравнение движения (1), если типичные частицы системы рассматриваются как твердотельные частицы.

4) Условие калибровки 4-потенциала поля ускорений и уравнение непрерывности для массового 4-тока, соответственно: $$~ \nabla^\mu U_{\mu} = 0 .$$ $$~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha } = \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Связь метрики с 4-скоростью содержится в инварианте: $$~ g^{\mu \nu} u_{\mu} u_{\nu} = u_{\mu} u^{\mu} = c^2 .$$

Как было сказано, все физические величины в этих уравнениях должны относиться к типичным частицам и потому должны быть усреднены. Это относится в том числе к тензору Риччи, к скалярной кривизне и к космологической постоянной внутри тела.

В пунктах 1) и 2) векторы $~ \mathbf S$ и $~ \mathbf N$, необходимые для вычисления 4-ускорения в соотношении (3), выражаются через метрику и коэффициент $~ \eta$ поля ускорений. С помощью пункта 3) коэффициент $~ \eta$ выражается через коэффициенты других полей. В пункте 4) накладываются дополнительные ограничения на допустимый вид функций, в том числе на скорости частиц и их потенциалы. В связи со сложностью и взаимозависимостью уравнений их часто приходится решать одновременно.

Ситуация усложняется в том случае, когда типичные частицы системы не являются твердотельными и имеют ненулевые векторные потенциалы полей. Например, частицы могут иметь спин и магнитный момент, приводящие к векторному потенциалу $~ \mathbf U$ поля ускорений и к векторному потенциалу $~ \mathbf A$ электромагнитного поля. В этом случае 4-потенциал поля ускорений $~ U_\mu = \left( \frac {\vartheta }{ c}, -\mathbf{U } \right)$ уже не равен 4-скорости частицы $~ u_\mu$. Вместо 4-ускорения, ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы: $$~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = - \rho_0 u_{\alpha k}u^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau}- J^k \partial_\alpha U_k . \qquad (5)$$

Из изложенного видно, что если 4-скорость в веществе изначально не задана, её надо находить из уравнений поля, а затем использовать для вычисления 4-ускорения по формуле: $$~ A^\lambda = \frac{D u^\lambda }{D\tau} .$$

Из сравнения (5) и (3) следует, что 4-ускорение в веществе внутри типичной частицы в первом приближении можно оценить следующим образом: $$~ A_\alpha \approx \frac {1}{\rho_0 } f_\alpha = \frac {dU_\alpha }{d \tau}- u^k \partial_\alpha U_k .$$

В данном выражении 4-ускорение зависит от 4-скорости $~ u_\mu$ движения вещества внутри частицы и от 4-потенциала $~ U_\mu$ поля ускорений как функции от координат внутри частицы и от координат самой частицы внутри системы.

При использовании общей теории относительности вместо ковариантной теории гравитации, описанный выше порядок вычисления 4-ускорения в целом остаётся. Исключением является то, что в общей теории относительности гравитационная сила и её вклад в 4-ускорение включены в метрику, что изменяет как уравнение для метрики, так и уравнение движения.

См. также

• 4-вектор
• 4-скорость
• 4-сила
• 4-импульс
• Поле ускорений

Внешние ссылки

• Four-acceleration