Оператор производной по собственному времени

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Оператор производной по собственному времени является дифференциальным оператором и релятивистским обобщением производной Лагранжа (субстанциональной производной) на четырёхмерное пространство-время. В координатной записи данный оператор записывается следующим образом: [1] $$ ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu ,$$

где \( ~ D \) – символ дифференциала в искривлённом пространстве-времени, \( ~ \tau \) – собственное время, измеряемое часами, движущимися с телом, \( ~ u^\mu \) – 4-скорость тела или элемента объёма вещества, \( ~ \nabla_\mu \) – ковариантная производная.

В плоском пространстве-времени Минковского оператор производной по собственному времени упрощается, так как ковариантная производная переходит в 4-градиент (оператор дифференцирования с частными производными по координатам): $$ ~\frac{ d } {d \tau }= u^\mu \partial_\mu .$$

Для доказательства данного выражения его можно применить к произвольному 4-вектору \( ~ A^\nu \): $$ ~ u^\mu \partial_\mu A^\nu = \frac {c{} dt}{d\tau } \frac {\partial A^\nu }{c{}\partial t } + \frac {dx}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial x } + \frac {dy}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial y } + \frac {dz}{d\tau }\frac {\partial A^\nu }{\partial z } = $$ $$ ~=\frac {dt}{d\tau } \left( \frac {\partial A^\nu }{\partial t } + \frac {dx}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial x }+ \frac {dy}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial y }+ \frac {dz}{dt }\frac {\partial A^\nu }{\partial z }\right) =\frac {dt}{d\tau }\frac {dA^\nu }{dt }=\frac{ dA^\nu } {d \tau } .$$

Выше была использована производная Лагранжа в виде операторного равенства для произвольной функции \( ~ F \): $$ ~ \frac {dF}{dt}= \frac {\partial F }{\partial t }+\mathbf{V}\cdot \nabla F,$$

где \( ~ \mathbf{V} \) есть скорость движения элемента объёма вещества, \( ~ \nabla \) – оператор набла.

В свою очередь, производная Лагранжа вытекает из представления дифференциала функции \( ~ F \) от координат и времени: $$ ~ dF(t,x,y,z) = \frac {\partial F}{\partial t}dt + \frac {\partial F}{\partial x}dx + \frac {\partial F}{\partial y}dy + \frac {\partial F}{\partial z}dz .$$

Применение[править]

Оператор производной по собственному времени применяется к различным четырёхмерным величинам – к скалярным функциям, 4-векторам и 4-тензорам. Одним из исключений является 4-радиус, в четырёхмерных декартовых координатах имеющий вид \( ~ x^\mu=(ct,x,y,z)=(ct, \mathbf{r} )\), поскольку 4-вектором в искривлённом пространстве-времени является не 4-радиус, а его дифференциал (4-вектор сдвига) \( ~ dx^\mu=(c{}dt,dx,dy,dz)=(cdt, d\mathbf{r} )\). Действие левой части оператора на 4-радиус определяет 4-скорость: \( ~ \frac{ D x^\mu } {D \tau }= u^\mu \), но правая часть оператора 4-скорость не даёт: \( ~ u^\nu \nabla_\nu x^\mu \not = u^\mu \).

В ковариантной теории гравитации оператор производной по собственному времени используется для определения плотности 4-силы в искривлённом пространстве-времени: [2] $$ ~f^\nu = \frac{ DJ^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu J^\nu =\frac{ dJ^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu _{\mu \lambda} u^\mu J^\lambda,$$

где \( ~ J^\nu = \rho_0 u^\nu \) есть 4-вектор плотности импульса вещества, \( ~ \rho_0 \) – плотность вещества в системе его покоя, \( ~ \Gamma^\nu _{\mu \lambda}\) – символ Кристоффеля.

В общей теории относительности свободно падающее в гравитационном поле тело движется по геодезической линии, причём 4-ускорение тела в этом случае считается равным нулю:[3] $$ ~a^\nu = \frac{Du^\nu } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu u^\nu =\frac{ du^\nu } {d \tau }+ \Gamma^\nu_{\mu \lambda} u^\mu u^\lambda=0.$$

Так как интервал \( ~ds = c d\tau \), то уравнение движения тела по геодезической в общей теории относительности можно переписать в эквивалентной форме: $$ ~ \frac{ d } {d s }\left(\frac{ dx^\nu } {d s } \right) + \Gamma^\nu_{\mu \lambda } \frac{ dx^\mu } {d s } \frac{ dx^\lambda } {d s } = 0. $$

Если вместо собственного времени использовать некоторый параметр \( ~p \), а уравнение кривой задать выражением \( ~x^\mu (p) \), то может быть определён оператор производной по параметру вдоль кривой: [4] $$ ~\frac{ D } {D p }= \frac {d x^\mu }{dp} \nabla_\mu .$$

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Федосин С.Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009-2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  2. Fedosin S.G. The General Theory of Relativity, Metric Theory of Relativity and Covariant Theory of Gravitation: Axiomatization and Critical Analysis. International Journal of Theoretical and Applied Physics (IJTAP), ISSN: 2250-0634, Vol. 4, No. I (2014), pp. 9 – 26. статья на русском языке: Общая теория относительности, метрическая теория относительности и ковариантная теория гравитации. Аксиоматизация и критический анализ.
  3. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. –568 с.
  4. Sean M. Carroll Spacetime and Geometry. — Addison Wesley, 2004. — ISBN 0-8053-8732-3>

Внешние ссылки[править]