Тензор ускорений

Тензор ускорений — антисимметричный тензор, описывающий 4-ускорение частиц и состоящий из шести компонент. При этом данные компоненты являются компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля ускорений, и соленоидального вектора ускорений. С помощью тензора ускорений определяется тензор энергии-импульса поля ускорений, уравнения поля ускорений и плотность 4-силы. Поле ускорений в веществе является компонентой общего поля.

Определение

Выражение для тензора ускорений можно найти в работах Федосина, где тензор определяется через 4-ротор: $$ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu U_\nu - \nabla_\nu U_\mu = \frac{\partial U_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial U_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad\qquad (1) $$

Здесь 4-потенциал поля ускорений \(~ U_\mu \) определяется по формуле: $$~ U_\mu = \left( \frac {\vartheta }{ c}, -\mathbf{U } \right), $$ где \(~\vartheta \) – скалярный потенциал, \(~ \mathbf{U } \) – векторный потенциал поля ускорений, \(~ c\) – скорость света.

Выражение для компонент

С помощью (1) можно вычислить вектор напряжённости поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений: $$ ~ S_i= c (\partial_0 U_i -\partial_i U_0), $$ $$ ~ N_k= \partial_i U_j -\partial_j U_i ,$$ причём во втором выражении тройка чисел \(~ i{,} j {,}k\) состоит из неповторяющихся наборов 1,2,3; или 2,1,3; или 3,2,1 и т.д.

В векторной записи можно записать: $$ ~\mathbf{S}= -\nabla \vartheta - \frac{\partial \mathbf{U }} {\partial t}, $$ $$ ~\mathbf{N }= \nabla \times \mathbf{U }. $$

Тензор ускорений состоит из компонент указанных векторов: $$ ~ u_{\mu \nu}= \begin{vmatrix} 0 & \frac {S_x}{ c} & \frac {S_y}{ c} & \frac {S_z}{ c} \\ -\frac {S_x}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ -\frac {S_y}{ c} & N_{z} & 0 & -N_{x} \\ -\frac {S_z}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}. $$

Переход к тензору ускорений с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор: $$~ u^{\alpha \beta}= g^{\alpha \nu} g^{\mu \beta} u_{\mu \nu}.$$

В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид: $$ ~ u^{\alpha \beta}= \begin{vmatrix} 0 &- \frac {S_{x}}{ c} & -\frac {S_{y}}{ c} & -\frac {S_{z}}{ c} \\ \frac {S_{x}}{ c} & 0 & - N_{z} & N_{y} \\ \frac {S_{y}}{ c}& N_{z} & 0 & -N_{x} \\ \frac {S_{z}}{ c}& -N_{y} & N_{x} & 0 \end{vmatrix}. $$

При этом для векторов, связанных с отдельной точечной частицей, рассматриваемой как твёрдое тело, можно записать: $$ ~\mathbf{S}= - c^2 \nabla \gamma - \frac{\partial (\gamma \mathbf{v })} {\partial t}, $$ $$ ~\mathbf{N }= \nabla \times (\gamma \mathbf{v }), $$

где \(~\gamma = \frac {1}{\sqrt{1 - {v^2 \over c^2}}} \), \(~\mathbf{v } \) – скорость частицы.

Для преобразования компонент тензора ускорений из одной инерциальной системы отсчёта в другую следует учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью \(~\mathbf {V} \) относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля ускорений и соленоидальный вектор ускорений преобразуются так: $$ \mathbf {S}^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {S}) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {S}-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {S}) + [\mathbf {V} \times \mathbf {N }] \right), $$ $$ \mathbf {N }^\prime = \frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {N }) + \frac {1}{\sqrt{1 - {V^2 \over c^2}}} \left(\mathbf {N }-\frac {\mathbf {V}}{V^2} (\mathbf {V}\cdot \mathbf {N }) - \frac {1}{ c^2} [\mathbf {V} \times \mathbf {S}] \right). $$

Свойства тензора

• \(~ u_{\mu \nu}\) является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие \(~ u_{\mu \nu}= -u_{\nu \mu}\). Три из шести независимых компонент тензора ускорений связаны с компонентами вектора напряжённости поля ускорений \(~\mathbf{ S }\), а другие три – с компонентами соленоидального вектора ускорений \( ~\mathbf{N }\). Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: \(~ g^{\mu \nu} u_{\mu \nu}= u^{\mu}_\mu =0\).
• Свёртка тензора с самим собой \( u_{\mu \nu} u^{\mu \nu}\) является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде \( \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho} u_{\mu \nu} u_{\sigma \rho}\) является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:

$$ u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} = -\frac {2}{c^2} (S^2- c^2 N^2) = inv,$$ $$ \frac {1}{4} \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}u_{\mu \nu} u_{\sigma \rho} = - \frac {2}{ c } \left( \mathbf S \cdot \mathbf {N} \right) = inv.$$

• Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:

$$ \det \left( u_{\mu \nu} \right) = \frac{4}{c^2} \left(\mathbf S \cdot \mathbf {N} \right)^{2}. $$

Поле ускорений

Через тензор ускорений записываются уравнения поля ускорений: $$ \nabla_\sigma u_{\mu \nu}+\nabla_\mu u_{\nu \sigma}+\nabla_\nu u_{\sigma \mu}=\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} + \frac{\partial u_{\nu \sigma}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial u_{\sigma \mu}}{\partial x^\nu} = 0. \qquad\qquad (2) $$ $$~ \nabla_\nu u^{\mu \nu} = - \frac{4 \pi \eta }{c^2} J^\mu, \qquad\qquad (3)$$

где \(J^\mu = \rho_{0} u^\mu \) есть массовый 4-ток, \( \rho_{0}\) – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, \( u^\mu \) – 4-скорость движения элемента вещества, \(~ \eta \) – постоянная поля ускорений.

Вместо (2) можно использовать выражение: $$~ \varepsilon^{\mu \nu \sigma \rho}\frac{\partial u_{\mu \nu}}{\partial x^\sigma} = 0 . $$

Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора ускорений согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора \( u_{\mu \nu} \), можно получить два векторных уравнения: $$~ \nabla \times \mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{N} } {\partial t} , \qquad\qquad (4)$$ $$~ \nabla \cdot \mathbf{N} = 0 . \qquad\qquad (5)$$

Согласно (5), соленоидальный вектор ускорений не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора ускорений приводит к появлению ротора напряжённости поля ускорений.

Уравнение (3) связывает поле ускорений с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим: $$~ \nabla \cdot \mathbf{S} = 4 \pi \eta \rho, $$ $$~ \nabla \times \mathbf{N} = \frac{1}{c^2} \left( 4 \pi \eta \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{S}} {\partial t} \right), $$ где \(~ \rho \) – плотность движущейся массы, \(~ \mathbf{J}\) – плотность тока массы.

Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля ускорений имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля ускорений порождают круговое поле соленоидального вектора ускорений.

Из (3) и (1) можно получить уравнение непрерывности: $$~ R_{ \mu \alpha } u^{\mu \alpha }= \frac {4 \pi \eta }{c^2} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Это уравнение означает, что благодаря искривлению пространства-времени, когда тензор Риччи \( ~R_{ \mu \alpha }\) не равен нулю, источником дивергенции массового 4-тока является среди прочих и тензор ускорений \(~ u^{\mu \alpha }\). Если же пространство-время плоское, как в пространстве Минковского, левая часть уравнения обнуляется, ковариантная производная становится 4-градиентом и остаётся следующее: $$ ~\partial_{\alpha } J^\alpha = \frac {\partial \rho } {\partial t}+ \nabla \cdot \mathbf{J} =0. $$

Использование в ковариантной теории гравитации

Тензор энергии-импульса поля ускорений

С помощью тензора ускорений в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля ускорений: $$~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta }\left( -g^{im} u_{n m} u^{n k}+ \frac{1} {4} g^{ik} u_{m r} u^{m r}\right) .$$

Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами задаёт плотность 4-силы: $$ ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = - \rho_0 u_{\alpha k}u^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,\qquad \qquad (6)$$

здесь использован оператор производной по собственному времени \(~ \tau\).

Плотность 4-силы может быть записана для временной и пространственной компонент в виде двух выражений: $$~ f_0 = \nabla_\beta {B_0}^\beta = - u_{0 k} J^k = - \rho_0 \frac {dt}{ ds } (\mathbf{S }\cdot \mathbf{v }) ,$$ $$~ f_i = \nabla_\beta {B_i}^\beta = - u_{i k} J^k = c \rho_0 \frac {dt}{ ds } (\mathbf{S }+ [\mathbf {v} \times \mathbf {N}] ),$$

где \(~ ds \) обозначает четырёхмерный пространственно-временной интервал, \(~ i= 1{,} 2{,} 3. \)

Действие и Лагранжиан

Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор ускорений и содержится в функции действия: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} -$$ $$~ -\frac {1}{c}U_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где \(~L \) – функция Лагранжа или лагранжиан, \(~dt \) – дифференциал времени используемой системы отсчёта, \(~k \) – некоторый коэффициент, \(~R \) – скалярная кривизна, \(~\Lambda \) – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, \(~c \) – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, \(~ D_\mu \) – гравитационный 4-потенциал, \(~ G \) – гравитационная постоянная, \(~ \Phi_{ \mu\nu}\) – тензор гравитационного поля, \(~ A_\mu \) – электромагнитный 4-потенциал, \(~ j^\mu \) – электрический 4-ток, \(~\varepsilon_0 \) – электрическая постоянная, \(~ F_{ \mu\nu}\) – тензор электромагнитного поля, \(~ U_\mu \) – 4-потенциал поля ускорений, \(~ \eta \) и \(~ \sigma \) – постоянные поля ускорений и поля давления, соответственно, \( ~ u_{ \mu\nu}\) – тензор ускорений, \(~ \pi_\mu \) – 4-потенциал поля давления, \( ~ f_{ \mu\nu}\) – тензор поля давления, \(~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3\) – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты \(~ dx^0=cdt \), через произведение \(~ dx^1 dx^2 dx^3 \) дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень \(~\sqrt {-g} \) из детерминанта \(~g \) метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: $$~ -u_{\beta \sigma} \rho_{0} u^\sigma = \rho_0 \frac{ dU_\beta } {d \tau }- \rho_0 u^\sigma \partial_\beta U_\sigma = \Phi_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma + F_{\beta \sigma} \rho_{0q} u^\sigma + f_{\beta \sigma} \rho_0 u^\sigma , $$

здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда \(~ \rho_{0q} \), измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.

Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля ускорений приводит к уравнению поля ускорений (3).

Обобщённая скорость и Гамильтониан

Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости, рассматриваемый как 4-потенциал общего поля, определяется выражением: $$~ s_{\mu } = U_{\mu } +D_{\mu } + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 }A_{\mu }+ \pi_{\mu} . $$

С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор ускорений и имеет вид:

\(~H = \int {( s_0 J^0 - \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu }+ \frac {c^2 }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu}+ \frac {c^2 }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}, \)

где \(~ s_0 \) и \(~ J^0\) обозначают временные компоненты 4-векторов \(~ s_{\mu } \) и \(~ J^{\mu } \).

В системе отсчёта, неподвижной относительно центра импульсов системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.

Специальная теория относительности

Изучая лоренц-ковариантность 4-силы, Friedman и Scarr нашли не полную ковариантность выражения для 4-силы в виде \(~ F^\mu = \frac { d p^\mu }{d \tau }.\) Это привело их к выводу, что 4-ускорение должно быть выражено с помощью некоторого антисимметричного тензора \(~ {A^\mu}_\nu \): $$~c \frac { d u^\mu }{d \tau } = {A^\mu}_\nu u^\nu . $$

Исходя из анализа различных видов движения, они оценили требуемые для них значения компонент тензора ускорений, дав тем самым этому тензору косвенное определение.

Из сравнения с (6) следует, что тензор \(~ {A^\mu}_\nu \) с точностью до знака и постоянного множителя совпадает с тензором ускорений \( ~ {u^\alpha}_k \) в случае, когда рассматривается прямолинейное движение твёрдого тела без вращения. Действительно, тогда 4-потенциал поля ускорений совпадает с 4-скоростью, \(~ U_\mu = u_\mu \). В результате величина \(~ - J^k \partial_\alpha U_k =- \rho_0 u^k \partial_\alpha u_k \) в правой части (6) обнуляется, поскольку справедливы соотношения: \(~ u^k u_k = c^2 \), \(~ 2 u^k \partial_\alpha u_k = \partial_\alpha (u^k u_k) = \partial_\alpha c^2 =0 \). С учётом этого в (6) можно поднять индекс \(~ \alpha \) и сократить плотность массы, что даёт следующее: $$ ~ - {u^\alpha}_k u^k =\frac {du^\alpha }{d \tau} .$$

Mashhoon и Muench рассматривали преобразование инерциальных систем отсчёта, сопутствующих ускоренной системе отсчёта и пришли к соотношению: $$~c \frac { d \lambda_\alpha }{d \tau } = {\Phi_\alpha}^\beta \lambda_\beta. $$

Тензор \(~ {\Phi_\alpha}^\beta \) имеет те же свойства, что и тензор ускорений \( ~ {u_\alpha}^\beta. \)

Другие теории

В статьях, посвящённых модифицированной ньютоновской динамике (МОНД) в тензор-вектор-скалярной гравитации, появляются скалярная функция \(~ \psi \) или \(~ \phi \), определяющая некоторое скалярное поле, 4-вектор \(\mathfrak {U}_\mu \) или \( A_\mu \), 4-тензор \(\mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}\) или \( F_{ab} = \frac{\partial A_b}{\partial x^a} - \frac{\partial A_a}{\partial x^b}.\)

Анализ этих величин в соответствующем Лагранжиане показывает, что скалярная функция \(~ \psi \) или \(~ \phi \) соответствуют скалярному потенциалу \(~\vartheta \) поля ускорений; 4-вектор \(\mathfrak {U}_\mu \) или \( A_\mu \) соответствуют 4-потенциалу поля ускорений \(~ U_\mu \); 4-тензор \(\mathfrak {U}_{[\mu\nu ]}\) или \( F_{ab} \) соответствуют тензору ускорений \( u_{\mu \nu}\).

Как известно, поле ускорений предназначено не для объяснения ускоренного движения, а для его точного описания. В таком случае можно предположить, что тензор-вектор-скалярные теории не могут претендовать на объяснение кривых вращения галактик. В лучшем случае они могут служить только для описания движения, например для описания вращения звёзд в галактиках или вращения галактик в скоплениях галактик.

См. также

• Поле ускорений
• Тензор электромагнитного поля
• Тензор гравитационного поля
• Тензор поля давления
• Тензор поля диссипации
• Тензор энергии-импульса поля ускорений
• Общее поле
• Поле диссипации
• Поле давления
• Лоренц-инвариантная теория гравитации
• Ковариантная теория гравитации

Внешние ссылки

• Acceleration tensor