Гравитационный 4-потенциал

Гравитационный 4-потенциал представляет собой четырёхмерную векторную функцию (4-вектор), посредством которой определяются свойства гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации, а также в ковариантной теории гравитации. В состав гравитационного 4-потенциала входят скалярный и векторный потенциалы гравитационного поля. При калибровочном преобразовании потенциалы гравитационного поля могут изменять свой вид, вследствие чего одному и тому же гравитационному полю могут соответствовать не совпадающие друг с другом 4-потенциалы, отличающиеся разной зависимостью от координат и времени.

Определение

Гравитационный 4-потенциал, как и любой 4-вектор, состоит из скалярной и векторной частей, дающих в сумме 4 компоненты: $$~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -\mathbf{D} \right) = \left( \frac {\psi }{ c_{g}}, -D_x, -D_y, -D_z \right).$$

Временной компонентой 4-потенциала является скалярный потенциал $~\psi$, делённый на скорость гравитации $~ c_{g}$. Пространственную компоненту 4-потенциала представляет векторный потенциал гравитационного поля $~ \mathbf{D}$, имеющий три компоненты.

Определение 4-потенциала $~D_\mu$ в ковариантном представлении с нижним индексом оказывается предпочтительным по сравнению с контравариантным представлением (с верхним индексом), так как это облегчает решение уравнений.

При переходе из одной системы отсчёта в другую 4-потенциал преобразуется в соответствии с аксиомами метрической теории относительности. В случае пространства Минковского специальной теории относительности преобразования 4-потенциала осуществляются из одной инерциальной системы отсчёта в другую с помощью преобразований Лоренца.

В международной системе единиц СИ гравитационный 4-потенциал $~D_\mu$ измеряется в м/с, в системе физических единиц СГС – в см/с.

Связь с напряжённостью гравитационного поля и полем кручения

Через гравитационный 4-потенциал определяется тензор гравитационного поля, для чего используется четырёхмерный ротор: $$~ \Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu = \partial _\mu D_\nu - \partial _\nu D_\mu =\frac{\partial D_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial D_\mu}{\partial x^\nu}.\qquad (1)$$

Антисимметричный тензор $~ \Phi_{\mu \nu}$ содержит лишь 6 компонент, три из которых связаны с вектором напряжённости гравитационного поля $~ \mathbf{\Gamma }$, а другие три компоненты – с вектором поля кручения $~ \mathbf{\Omega}$. В декартовых координатах данные вектора получаются в следующем виде: $$~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}.$$ $$~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D}.$$

Из последнего соотношения видно, что поле кручения зависит только от векторного потенциала. В то же время вклад в напряжённость гравитационного поля делает не только градиент скалярного потенциала, но и скорость изменения во времени векторного потенциала.

Калибровка 4-потенциала

Наиболее удобной является калибровка, при которой 4-дивергенция 4-потенциала равна нулю: $$~ \nabla_\mu D^\mu =\nabla^\mu D_\mu=0.$$

В специальной теории относительности ковариантная производная $~ \nabla_\mu$ превращается в частную производную $~ \partial_\mu$. Это позволяет представить калибровочное условие в явном виде так: $$~ \partial_\mu D^\mu = \frac {1}{c^2_g} \frac {\partial \psi}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{D} =0. \qquad (2)$$

В лоренц-инвариантной теории гравитации уравнения Хевисайда для гравитационного поля представляются в четырёхмерной форме: $$~ \partial^k \Phi_{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i , \qquad (3)$$ $$~ \partial_n \Phi_{ik} + \partial_i \Phi_{kn} + \partial_k \Phi_{ni}=0. \qquad (4)$$

Можно показать, что условие калибровки 4-потенциала (2) вытекает из определения тензора гравитационного поля (1) и уравнений поля (3) и (4). Если применить к (4) частную производную $~ \partial^k$, то её действие в первых двух членах в (4) на тензор $~ \Phi_{ik}$ можно учесть с помощью соотношения (3). Для третьего члена в (4) получается соотношение $~ \partial^k \partial_k = \Box$, где $~ \Box$ обозначает четырёхмерный оператор Д’Аламбера : $$~ \Box = \frac {1}{c^2_g} \frac {\partial^2 }{\partial t^2}- \Delta,$$ здесь применяется оператор Лапласа, в декартовых координатах имеющий вид $~ \Delta= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}.$

Заменяя ещё в (4) $~ \Phi_{ni}$ его выражением согласно (1), из (4) как наиболее простое решение получается волновое уравнение для 4-потенциала, источником для которого служит массовый 4-ток $~ J_i$ : $$~\Box D_i = -\frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i, \qquad (5)$$

где $~ G$ – гравитационная постоянная.

С другой стороны, если в (3) заменить $~ \Phi_{ik}$ его выражением согласно (1), то получается снова волновое уравнение (5) для 4-потенциала, но только при выполнении условия калибровки 4-потенциала (2). Тем самым можно считать, что в силу симметрии полей данная калибровка позволяет упростить уравнения поля.

Заметим, что если взять частную производную $~ \partial^i$ от обеих частей в (3), то с учётом (1) левая часть будет равна нулю. Тогда из равенства нулю правой части вытекает уравнение непрерывности для массового 4-тока: $$~ \partial^i J_i=0.$$

Если из гравитационного 4-потенциала $~ D_i$ вычесть калибровочный 4-вектор вида $~\chi_i = \nabla _i \chi$, зависящий от некоторой скалярной калибровочной функции $~ \chi$, то при условии, что функция $~ \chi$ удовлетворяет волновому уравнению $$~\Box \chi = 0,$$ для нового 4-потенциала $~ D^\prime_i = D_i -\chi_i$ останется в силе условие калибровки (2), а тензор гравитационного поля согласно (1) не изменит свой вид. Таким образом, в лоренц-инвариантной теории гравитации и в построенной на её основе ковариантной теории гравитации проявляется калибровочная инвариантность.

В ковариантной теории гравитации уравнения Хевисайда (3) и (4) для гравитационного поля обобщаются для искривлённого пространства-времени и записываются так: $$~\nabla^k \Phi_{ik} = \frac {4 \pi G }{c^2_{g}} J_i ,$$ $$~ \nabla_n \Phi_{ik} + \nabla_i \Phi_{kn} + \nabla_k \Phi_{ni}=0.$$

Уравнение непрерывности для массового 4-тока становится зависящим от тензора Риччи $R_{ \mu \alpha }$: $$~ R_{ \mu \alpha } \Phi^{\mu \alpha }= -\frac {4 \pi G }{c^2_g} \nabla_{\alpha}J^{\alpha}.$$

Волновое уравнение вместо (5) выглядит следующим образом: $$~ g^{ik}\partial_i \partial_k D^s + g^{ik}( \Gamma^s_{kr}\partial_i D^r - \Gamma^r_{ik}\partial_r D^s + \Gamma^s_{ri}\partial_k D^r + D^r \partial_r \Gamma^s_{ki} ) =-\frac {4 \pi G }{c^2_g} J^s .$$

В искривлённом пространстве-времени в данном уравнении происходит перемешивание компонент векторов. В частности, скалярный потенциал гравитационного поля становится функцией не только от плотности вещества $~ \rho$, но и от плотности массового тока $~ \mathbf {J} = \rho \mathbf {V}$, где $~ \mathbf {V}$ – скорость движения вещества.

Решение волнового уравнения для 4-потенциала

В специальной теории относительности коэффициенты Кристоффеля $\Gamma^s_{kr}$равны нулю и тогда решение волнового уравнения можно представить в следующем виде: $$~ D_i (\mathbf{r}, t) = -\frac{ G }{c^2_g} \int \frac{J_i ( \mathbf{r}^\prime, t_r)}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime \right|} \mathrm{d}^3 x^\prime ,$$

где гравитационный 4-потенциал $~ D_i$ в момент времени $~ t$ в точке пространства, определяемой радиус-вектором $~ \mathbf{r}$, находится путём интегрирования по объёму, содержащему в себе массовый 4-ток (4-вектор плотности тока массы) $~ J_i$. При этом интегрирование по объёму осуществляется для более раннего момента времени $~t_r = t - \frac{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}{c_g}$, где $~\mathbf{r}^\prime$ есть радиус-вектор, задающий расположение массового 4-тока в ранний момент времени, $~ c_g$ – скорость гравитации.

Из приведённого решения для временных компонент 4-векторов видно, что скалярный потенциал зависит от плотности вещества некоторой движущейся массы в ранний момент времени и от расстояния от этой массы до точки, где измеряется потенциал. В свою очередь, векторный потенциал зависит ещё от скорости движения массы в ранний момент времени. Наличие интеграла по объёму подразумевает, что для потенциалов гравитационного поля выполняется принцип суперпозиции, и для вычисления суммарного 4-потенциала следует учитывать все источники поля.

4-потенциал собственного гравитационного поля одиночной твёрдой материальной точки может быть получен по-другому – путём умножения скалярного гравитационного потенциала $~ \psi_0$ вокруг этой точки, вычисленного в сопутствующей этой точке системе отсчёта, на 4-скорость движения материальной точки: $$~ D_i = \frac {\psi_0}{c^2_{g}} u_i = \left( \frac {\psi_0}{c_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}}, - \frac {\psi_0 \mathbf {V}}{c^2_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}} \right) .$$

Для наблюдателя, относительно которого движется материальная точка, согласно преобразованиям Лоренца скалярный потенциал изменяется за счёт движения точки: $~ \psi =\frac {\psi_0}{\sqrt {1-V^2/c^2_g}}$, а также появляется векторный потенциал, равный $~ \mathbf {D} = \frac {\psi_0 \mathbf {V}}{c^2_g \sqrt {1-V^2/c^2_g}}=\frac {\psi \mathbf {V}}{c^2_g }$. Это даёт обычное определение гравитационного 4–потенциала в виде $$~ D_i = \left( \frac {\psi}{c_g}, - \mathbf {D} \right) .$$

Действительно, 4-потенциал любого векторного поля для одной частицы, внутри которой векторные потенциалы полей отсутствуют, может быть представлен так: $$~ L_\mu = \frac { k_f \varepsilon_p }{\rho_0 c^2} u_\mu ,$$ где $~ k_f = \frac {\rho_0}{\rho_{0q}}$ для электромагнитного поля и $~ k_f = 1$ для остальных полей, $~ \rho_{0}$ и $~\rho_{0q}$ – плотность массы и соответственно плотность заряда в сопутствующей системе отсчёта, $~ \varepsilon_p$ – плотность энергии поля частицы, $~ u_\mu$ – ковариантная 4-скорость.

Для гравитационного поля $~ \varepsilon_p = \psi_0 \rho_0$, $~ k_f = 1$, и полагая равенство скорости света и скорости гравитации $~ c = c_g$, приходим к формулам для 4-потенциала $~ D_i$, представленным выше.

В системе из множества материальных точек, составляющих материальные тела, для нахождения общего 4-потенциала следует суммировать 4-потенциалы всех материальных точек, с учётом различия их 4-скоростей и разного их расположения в пространстве. В результате суммарный векторный потенциал системы точек лишь косвенно отражает суммарный скалярный потенциал данной системы точек, в отличие от прямой связи между скалярным и векторным потенциалом отдельной материальной точки. В случае вычисления суммарного 4-потенциала массивного твёрдого тела, с учётом различных расстояний от частей тела до точки, где определяется 4-потенциал, получаются гравитационные потенциалы Лиенара-Вихерта.

Лагранжиан и действие

Гравитационный 4-потенциал входит в лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном поле, что позволяет записать соответствующую функцию действия: $$~S =\int {L dt}=\int (kR-2k \Lambda - \frac {1}{c}D_\mu J^\mu + \frac {c}{16 \pi G } \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} -\frac {1}{c}A_\mu j^\mu - \frac {c \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu}-$$ $$~ -\frac {1}{c}u_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \eta } u_{ \mu\nu}u^{ \mu\nu} -\frac {1}{c} \pi_\mu J^\mu - \frac {c }{16 \pi \sigma } f_{ \mu\nu}f^{ \mu\nu} ) \sqrt {-g}d\Sigma,$$

где $~L$ – функция Лагранжа или лагранжиан, $~dt$ – дифференциал времени используемой системы отсчёта, $~k$ – некоторый коэффициент, $~R$ – скалярная кривизна, $~\Lambda$ – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, $~c$ – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, электромагнитный 4-потенциал $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right)$, где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, а $~\mathbf{A}$ является векторным потенциалом, $~ j^\mu$ – электрический 4-ток, $~\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $~ F_{ \mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~ u_\mu$ – 4-потенциал поля ускорений, $~ u_{ \mu\nu}$ – тензор ускорений, $~ \eta$ и $~ \sigma$ – постоянные, подлежащие определению, $~ \pi_\mu$ – 4-потенциал поля давления, $~ f_{ \mu\nu}$ – тензор поля давления, $~\sqrt {-g}d\Sigma= \sqrt {-g} c dt dx^1 dx^2 dx^3$ – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты $~ dx^0=cdt$, через произведение $~ dx^1 dx^2 dx^3$ дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень $~\sqrt {-g}$ из детерминанта $~g$ метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.

В интеграле действия гравитационный 4-потенциал присутствует внутри инварианта $~ D_\mu J^\mu$, а также в составе тензора гравитационного поля $~ \Phi_{ \mu\nu}$ и его инварианта $~ \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu}$. В первом случае 4-потенциал задаёт функцию энергии связи вещества с полем, а во втором случае – энергетическую функцию поля как самостоятельного объекта. Варьирование функции действия приводит к определению тензора энергии-импульса гравитационного поля, задаёт уравнения гравитационного поля (3) и (4), уравнение движения вещества в поле и выражение для гравитационной 4-силы.

Роль 4-потенциала в теории гравитации

В классической механике вместо полного 4-потенциала используют его скалярную компоненту в виде гравитационного потенциала. Это позволяет находить потенциальную гравитационную энергию тел и уравнения их движения. Для вычисления скалярного гравитационного потенциала применяется уравнение Пуассона вида: $~\Delta \psi=-4 \pi G \rho$, где $~\Delta$ есть оператор Лапласа, $~\rho$ – объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Однако получающиеся выражения для потенциала, сил и энергий оказываются не лоренц-ковариантными, то есть возникает проблема при пересчёте результатов из одной инерциальной системы отсчёта в другую.

Гравитационный 4-потенциал практически не рассматривается и в общей теории относительности (ОТО). Это связано с тем, что в ОТО гравитационное поле отождествляется с метрическим полем, причём в качестве гравитационных потенциалов выступают компоненты метрического тензора, а вместо напряжённости поля используются символы Кристоффеля. В слабом поле может быть установлена связь между компонентой $~g_{00}$ метрического тензора пространства-времени и значением гравитационного скалярного потенциала классической механики: $~g_{00}\approx 1+ \frac {2 \psi}{c^2}$, где $~c$ – скорость света. Векторный потенциал гравитационного поля $~ \mathbf{D}$, используемый в лоренц-инвариантной теории гравитации, также может быть выражен через компоненты метрического тензора ОТО.

С другой стороны, при аксиоматическом построении лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) именно 4-потенциал $~ D_\mu$ представляет гравитационное поле, тогда как в отношении вещества это делает массовый 4-ток $~ J^\mu$. Пятая аксиома ЛИТГ утверждает, что даламбертиан от 4-потенциала равен 4-току с соответствующим постоянным множителем. Этого оказывается достаточным, чтобы вывести все соотношения лоренц-инвариантной теории гравитации. Аксиоматика ЛИТГ оказывается той же самой и для ковариантной теории гравитации (КТГ), поскольку КТГ является обобщением ЛИТГ на искривлённое пространство-время, в котором у метрического тензора появляется зависимость от времени и координат.

Гравитационный 4-потенциал, как и электромагнитный 4-потенциал, действуя на пробные тела, оказывает влияние на скорость течения времени в этих телах. Это приводит к тому, что одинаковые процессы, протекающие в телах, находящихся в разных 4-потенциалах, перестают совпадать по фазе. Для гравитационного фазового сдвига между двумя одинаковыми частицами с массой $~ m$ и зарядом $~ q$, одна из которых находится в некотором гравитационном (электромагнитном) поле, получается: $$~ \theta_1 -\theta_2 = \frac{m}{\hbar} \int\limits_{1}^{2} D_\mu dx^\mu ,$$ $$~ \theta_1 -\theta_2 = \frac{q}{\hbar} \int\limits_{1}^{2} A_\mu dx^\mu ,$$ здесь $~ \hbar$ – постоянная Дирака, $~ A_\mu$ – электромагнитный 4-потенциал, $~ dx^\mu$ – 4-перемещение частицы во времени и пространстве.

Последнее соотношение для сдвига фаз в электромагнитном поле подтверждается эффектом Ааронова-Бома.

Теорема энергии поля, имеющая тот же смысл для полей, что и теорема вириала для частиц, применима к векторному гравитационному полю в искривлённом пространстве-времени. В формулировке теоремы присутствует гравитационный 4-потенциал: $$~ - \int { \left( - \frac {8 \pi G}{c^2} D_\alpha J^\alpha + \Phi_{\alpha \beta} \Phi^{\alpha \beta} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 } = \frac {2}{c} \frac {d}{dt} \left( \int { D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ 0} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3} \right) + 2 \iint \limits_S {D^\alpha \Phi_\alpha ^{\ k} n_k \sqrt {-g} dS} .$$

См. также

• Гравитационный потенциал
• Векторный потенциал гравитационного поля
• Электромагнитный потенциал

Внешние ссылки

• Gravitational four-potential