Релятивистская однородная система

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Релятивистская однородная система — идеальная физическая система, в которой плотность массы (или другая физическая величина) зависит от лоренц-фактора частиц системы, однако является постоянной в системах отсчёта, сопутствующих движущимся частицам.

Отличие от классической однородной системы[править]

В классической физике широко используется идеальная однородная модель тела, в которой плотность массы постоянна по всему объёму тела либо задаётся как средняя по объёму величина. Подобная модель упрощает решение физических задач и позволяет быстро оценивать различные физические величины. Например, масса тела вычисляется простым умножением плотности массы на объём тела, что проще, чем интегрирование плотности по объёму в случае зависимости плотности от координат. Недостатком классической модели является то, что большинство реальных физических систем далеки от подобной идеальной однородности.

Применение понятия релятивистской однородной системы основано на специальной теории относительности (СТО) и является следующим шагом на пути более точного описания физических систем. В СТО особое значение имеют инвариантные физические величины, которые могут быть вычислены в каждой инерциальной системе отсчёта и равны тем значениям, которые имеют эти величины в собственной системе отсчёта тела. Так, умножением инвариантной массы на 4-скорость получают 4-импульс тела, содержащий инвариантную энергию, а умножение соответствующих инвариантных величин на 4-скорость позволяет находить 4-потенциалы любых векторных полей и строить их полную теорию.[1] Другим примером является то, что вместо производной по времени при определении 4-скорости или 4-ускорения как правило используется оператор производной по собственному времени. Поэтому применение инвариантной плотности массы и плотности заряда движущихся частиц, составляющих систему, не только соответствует принципам СТО, но и существенно облегчает решение релятивистских уравнений движения.

Функции поля для тел сферической формы[править]

Уравнения поля наиболее просто решаются в случае сферической симметрии в отсутствие общего вращения частиц. Тогда все физические величины зависят только от текущего радиуса, начало которого находится в центре сферы. Далее представлены решения уравнений для различных полей в рамках СТО, включая скалярные потенциалы, напряжённости полей и соленоидальные векторы. Ввиду хаотичного движения частиц в системе векторные потенциалы полей становятся равными нулю. Это приводит к обнулению соленоидальных векторов полей, в том числе магнитной индукции и гравитационного поля кручения.

Поле ускорений[править]

В 4-потенциал \(~ u_\mu = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf U \right) \) поля ускорений входят скалярный потенциал \(~ \vartheta\) и векторный потенциал \(~ \mathbf U\). Применение 4-ротора к 4-потенциалу даёт тензор ускорений \(~ u_{\mu \nu} = \nabla_\mu u_\nu - \nabla_\nu u_\mu \). В искривлённом пространстве-времени уравнение поля ускорений с источниками поля выводится из принципа наименьшего действия:[1] $$~ \nabla^\nu u_{\mu \nu} = - \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu . $$

Это уравнение после выражения тензора ускорений \(~ u_{\mu \nu}\) через 4-потенциал превращается в уравнение для нахождения 4-потенциала поля ускорений: $$~ \nabla^\nu \nabla_\mu u_\nu - \nabla^\nu \nabla_\nu u_\mu = - \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu , $$

где \(~ c \) — скорость света, \(~ \eta \) — коэффициент поля ускорений, \(~ J_\mu = g_{\mu \nu } J^\nu = g_{\mu \nu } \rho_0 u^\nu \) — массовый 4-ток с ковариантным индексом, \(~ g_{\mu \nu } \) — метрический тензор, \(~ u^\nu \) — 4-скорость, \(~ \rho_0 \) — инвариантная плотность массы частиц в сопутствующих им системах отсчёта, одинаковая для всех частиц.

В пространстве-времени Минковского в рамках СТО ковариантные производные вида \(~ \nabla_\mu \) переходят в частные производные вида \(~ \partial_\mu \), причём результат действия частных производных не зависит от последовательности их действия. В результате выполняется равенство: \(~ \partial^\nu \partial_\mu u_\nu = \partial_\mu \partial^\nu u_\nu = 0 \), если учесть ещё уравнение непрерывности массового 4-тока в виде \(~ \partial^\nu u_\nu = 0 \), справедливое в СТО для случая, когда \(~ \rho_0 = const \). В результате 4-потенциал поля ускорений может быть найден из волнового уравнения: $$~ \partial^\nu \partial_\nu u_\mu = \frac {4 \pi \eta }{c^2} J_\mu . $$

Данное уравнение можно разбить на два уравнения, одно для скалярного потенциала, а другое для векторного потенциала поля ускорений. В рассматриваемой системе векторный потенциал равен нулю, а скалярный потенциал поля ускорений определяется выражением: $$~\vartheta = c g_{0 \mu} u^\mu = \gamma' c^2 , $$

где \(~ g_{0 \mu} \) — временные компоненты метрического тензора, \(~ \gamma' \) — лоренц-фактор частиц в системе отсчёта K', связанной с центром сферы.

Так как скалярный потенциал стационарной системы не зависит от времени, волновое уравнение для скалярного потенциала превращается в уравнение Пуассона:[2] $$~\triangle \vartheta = - 4 \pi \eta \rho_0 \gamma' $$

и для лоренц-фактора частиц получается формула:[3] $$~ \gamma' = \frac {c \gamma_c }{r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \gamma_c - \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 c^2 }, \qquad\qquad (1) $$

где \(~ \gamma_c \) — лоренц-фактор частиц в центре сферы, \(~ r \) — текущий радиус.

Напряжённость поля ускорений и соответствующий соленоидальный вектор выражаются формулами: $$~ \mathbf S = - \nabla \vartheta - \frac {\partial \mathbf U }{\partial t}= \frac { c^2 \gamma_c \mathbf r}{r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~ \approx \frac {4 \pi \eta \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3} \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right). $$ $$~ \mathbf N = \nabla \times \mathbf U = 0. $$

Поле давления[править]

4-потенциал \(~ \pi_\mu = \left(\frac {\wp }{c},- \mathbf \Pi \right) \) поля давления содержит скалярный потенциал \(~ \wp \) и векторный потенциал \(~ \mathbf \Pi \).

Уравнение поля давления с источниками поля, тензор поля давления \(~ f_{\mu \nu}\) и уравнение для нахождения 4-потенциала поля давления имеют вид:[1] $$~ \nabla^\nu f_{\mu \nu} = - \frac {4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu , \quad f_{\mu \nu} = \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla_\nu \pi_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\mu \pi_\nu - \nabla^\nu \nabla_\nu \pi_\mu = - \frac {4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu , $$

где \(~ \sigma \) — коэффициент поля давления.

В СТО последнее уравнение превращается в волновое уравнение: $$~ \partial^\nu \partial_\nu \pi_\mu = \frac {4 \pi \sigma }{c^2} J_\mu . $$

В стационарном случае потенциалы не зависят от времени и временная компонента волнового уравнения переходит в уравнение Пуассона для скалярного потенциала поля давления: $$~\triangle \wp = - 4 \pi \sigma \rho_0 \gamma' .$$

Решение этого уравнения внутри сферы с частицами следующее: $$~ \wp = \wp_c - \frac {\sigma c^2 \gamma_c }{\eta } + \frac {\sigma c^3 \gamma_c }{\eta r \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \approx \wp_c - \frac {2 \pi \sigma \rho_0 r^2 \gamma_c }{3 }. $$

где \(~ \wp _c \) — скалярный потенциал в центре сферы.

Напряжённость поля давления и соответствующий соленоидальный вектор определяются следующим образом: $$~ \mathbf C = - \nabla \wp - \frac {\partial \mathbf \Pi }{\partial t}= \frac { \sigma c^2 \gamma_c \mathbf r}{\eta r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~\approx \frac {4 \pi \sigma \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3} \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right). $$ $$~ \mathbf I = \nabla \times \mathbf \Pi = 0. $$

Гравитационное поле[править]

Гравитационный 4-потенциал \(~ D_\mu = \left(\frac {\psi }{c},- \mathbf D \right) \) гравитационного поля составляется с помощью скалярного \(~ \psi \) и векторного \(~ \mathbf D \) потенциалов.

Уравнение гравитационного поля с источниками поля, тензор гравитационного поля \(~ \Phi_{\mu \nu} \) и уравнение для нахождения 4-потенциала гравитационного поля в ковариантной теории гравитации имеют вид:[4] [5] $$~ \nabla^\nu \Phi_{\mu \nu} = \frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu , \quad \Phi_{\mu \nu} = \nabla_\mu D_\nu - \nabla_\nu D_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\mu D_\nu - \nabla^\nu \nabla_\nu D_\mu = \frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu , $$

где \(~ G \) — гравитационная постоянная.

В СТО последнее уравнение упрощается и становится волновым уравнением: $$~ \partial^\nu \partial_\nu D_\mu = -\frac {4 \pi G }{c^2} J_\mu . $$

Из волнового уравнения в стационарном случае следует уравнение Пуассона для скалярного потенциала внутри сферы c хаотически движущимися частицами в рамках Лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ): $$~\triangle \psi_i = 4 \pi G \rho_0 \gamma' .$$

Правая часть этого уравнения содержит лоренц-фактор \(~ \gamma' \), зависящий от радиуса согласно (1). Кроме этого, внутренний скалярный потенциал вблизи поверхности сферы должен совпасть со скалярным потенциалом внешнего поля системы, с учётом стандартной калибровки потенциала, то есть с равенством потенциала нулю на бесконечности.

В результате зависимость скалярного потенциала от текущего радиуса отличается от зависимости для классического случая однородной сферы с радиусом \(~ a \) и лишь приблизительно равна ей: $$~ \psi_i = -\frac {G c^2 \gamma_c }{ \eta r} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx -\frac {2 \pi G \rho_0 \gamma_c (3a^2 - r^2)}{3 }. $$

Для напряжённости гравитационного поля и поля кручения внутри сферы получается следующее:[6] $$~ \mathbf \Gamma_i = - \nabla \psi_i - \frac {\partial \mathbf D_i }{\partial t}= - \frac {G c^2 \gamma_c \mathbf r}{ \eta r^3} \left[ \frac {c }{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~\approx -\frac { 4 \pi G \rho_0 \gamma_c \mathbf r }{3}\left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right) . $$ $$~ \mathbf \Omega_i = \nabla \times \mathbf D_i = 0. $$

Решения для потенциала внешнего гравитационного поля и для напряжённости поля \(~ \Gamma_o \) в соответствии с ЛИТГ следующие: $$~ \psi_o = - \frac {G c^2 \gamma_c }{ \eta r } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx - \frac {G m \gamma_c }{r} \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right). $$ $$~ \mathbf \Gamma_o = - \nabla \psi_o - \frac {\partial \mathbf D_o }{\partial t}= - \frac {G c^2 \gamma_c \mathbf r}{ \eta r^3 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx $$ $$~\approx - \frac {G m \gamma_c \mathbf r}{r^3} \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) . $$

Здесь вспомогательная масса \(~ m \) равна произведению плотности массы \(~ \rho_0 \) на объём сферы: \(~ m = \frac {4 \pi \rho_0 a^3 }{3} \). Из выражений для потенциала и напряжённости внешнего гравитационного поля видно, что роль гравитационной массы играет масса \(~ m_g \approx m \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) .\) Поскольку \(~ \gamma_c > 1 \), то выполняется соотношение \(~ m_g > m \).

Чтобы понять различие данных масс, следует вычислить суммарную релятивистскую массу \(~ m_b \) частиц, движущихся внутри сферы. Элемент массы внутри сферы определяется выражением \(~ dm = \rho_0 \gamma' dV \), где \(~ \rho_0 \) есть плотность массы в сопутствующих частицам системах отсчёта, \(~ \gamma' \) представляет собой фактор Лоренца движущихся частиц, произведение \(~ \rho_0 \gamma' \) даёт плотность массы частиц с точки зрения неподвижного относительно сферы наблюдателя, а элемент объёма \(~ dV \) внутри сферы соответствует объёму частицы с точки зрения этого наблюдателя. Суммарный объём покоящихся частиц больше, чем объём сферы, но вследствие движения объём каждой частицы уменьшается в силу эффекта сокращения длины в СТО. Это приводит к тому, что суммарный объём движущихся внутри сферы частиц становится равным объёму сферы. Для массы с учётом фактора Лоренца (1) получается соотношение: $$~ m_b = \int dm = \int \rho_0 \gamma' dV = \frac {c^2 \gamma_c }{\eta } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx $$ $$~ \approx m \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) .$$

Отсюда следует равенство гравитационной массы \(~ m_g \) и суммарной релятивистской массы \(~ m_b \) частиц, движущихся внутри сферы. Обе эти массы больше, чем масса \(~ m \). По способу своего построения масса \(~ m_b \) оказывается равной сумме инвариантных масс частиц, составляющих систему.

Внешнее поле кручения равно нулю: $$~ \mathbf \Omega_o = \nabla \times \mathbf D_o = 0. $$

Электромагнитное поле[править]

Электромагнитный потенциал \(~ A_\mu = \left(\frac {\varphi }{c},- \mathbf A \right) \) электромагнитного поля включает в себя скалярный потенциал \(~ \varphi \) и векторный потенциал \(~ \mathbf A \). Для неподвижного однородно заряженного сферического тела с хаотическим движением зарядов общее электромагнитное поле в среднем является чисто электрическим и векторный потенциал равен нулю.

Уравнение электромагнитного поля с источниками поля, тензор электромагнитного поля \(~ F_{\mu \nu}\) и уравнение для нахождения 4-потенциала выражаются так: $$~ \nabla^\nu F_{\mu \nu} = - \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu , \quad F_{\mu \nu} = \nabla_\mu A_\nu - \nabla_\nu A_\mu , \quad \nabla^\nu \nabla_\mu A_\nu - \nabla^\nu \nabla_\nu A_\mu = - \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu , $$

где \(~ \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная, \(~ j_\mu \) — электромагнитный 4-ток.

Последнее уравнение в СТО переходит в волновое уравнение: $$~ \partial^\nu \partial_\nu A_\mu = \frac {1 }{\varepsilon_0 c^2} j_\mu . $$

Ввиду отсутствия зависимости от времени в рассматриваемом случае волновое уравнение становится уравнением Пуассона для скалярного потенциала \(~ \varphi_i \) внутри сферы: $$~\triangle \varphi_i = - \frac {\rho_{0q} \gamma'}{\varepsilon_0 } ,$$ где \(~ \rho_{0q} \) есть плотность заряда в системах отсчёта, сопутствующих зарядам.

Зависимость скалярного потенциала от текущего радиуса в общем случае отличается от зависимости потенциала в классическом случае однородно заряженной сферы с радиусом \(~ a \), совпадая с ней только в первом приближении: $$~ \varphi_i = \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c }{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r } \left[\frac {c }{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx \frac {\rho_{0q} \gamma_c (3a^2 - r^2)}{6 \varepsilon_0 }. $$

Напряжённость электрического поля и магнитное поле внутри сферы имеют вид: $$~ \mathbf E_i = - \nabla \varphi_i - \frac {\partial \mathbf A_i }{\partial t}= \frac { \rho_{0q} c^2 \gamma_c \mathbf r}{4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r^3 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - r \cos \left( \frac {r}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~ \approx \frac { \rho_{0q} \gamma_c \mathbf r }{3 \varepsilon_0 } \left( 1- \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2}{10 c^2}\right) . $$ $$~ \mathbf B_i = \nabla \times \mathbf A_i = 0. $$

За пределами рассматриваемой системы плотность заряда равна нулю, и уравнение Пуассона для скалярного потенциала превращается в уравнение Лапласа: $$~\triangle \varphi_o = 0 .$$

Решение для потенциала внешнего электрического поля, соответствующее калибровке потенциала и уравнению Максвелла для напряжённости электрического поля \(~ E_o \), имеет вид: $$~ \varphi_o = \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c }{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r } \left[ \frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}\right) \right] \approx \frac { q \gamma_c }{4\pi \varepsilon_0 r }\left( 1- \frac {3 \eta m}{10 a c^2}\right) . $$ $$~ \mathbf E_o = - \nabla \varphi_o - \frac {\partial \mathbf A_o }{\partial t}= \frac {\rho_{0q} c^2 \gamma_c \mathbf r}{ 4 \pi \varepsilon_0 \eta \rho_0 r^3} \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx $$ $$~ \approx \frac { q \gamma_c \mathbf r}{4\pi \varepsilon_0 r^3 }\left( 1- \frac {3 \eta m}{10 a c^2}\right) . $$

Внешнее магнитное поле равно нулю: $$~ \mathbf B_o = \nabla \times \mathbf A_o = 0. $$

В данных выражениях заряд \(~ q \) является вспомогательной величиной, равной произведению плотности заряда \(~ \rho_{0q} \) на объём сферы: \(~ q = \frac {4 \pi \rho_{0q} a^3 }{3} \). При этом в качестве полного заряда системы выступает величина $$~ q_b = \int \rho_{0q} \gamma' dV = \frac {\rho_{0q}c^2 \gamma_c }{\eta \rho_0 } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right] \approx $$ $$~\approx q \gamma_c \left( 1- \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) ,$$ причём \(~ q_b > q .\) Заряд \(~ q_b \) вычисляется так же, как масса \(~ m_b \), и имеет смысл суммы зарядов всех частиц системы.

Тензорные инварианты полей[править]

Знание напряжённостей и соленоидальных компонент полей позволяет найти компоненты тензоров соответствующих полей с ковариантными индексами. Для перехода к тензорам полей с контравариантными индексами требуется знать метрический тензор. В СТО метрический тензор не зависит от координат и времени, определяется однозначно и в декартовых координатах состоит из нулей и единиц. В результате нетрудно найти тензорные инварианты полей \(~ u_{\mu \nu} u^{\mu \nu}\), \(~ f_{\mu \nu} f^{\mu \nu}\), \(~ \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu}\) и \(~ F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}\), где \(~ u_{\mu \nu}\), \(~ f_{\mu \nu}\), \(~ \Phi_{\mu \nu}\) и \(~ F_{\mu \nu}\) — тензор ускорений, тензор поля давления, тензор гравитационного поля и тензор электромагнитного поля, соответственно.

Тензорные инварианты полей входят в лагранжиан, в гамильтониан, в функцию действия и в релятивистскую энергию системы и находятся там внутри интегралов по пространственному объёму. Кроме этого, они входят в соответствующие тензоры энергии-импульса полей.[2] Поскольку в рассматриваемой системе соленоидальные векторы равны нулю, тензорные инварианты зависят только от напряжённостей полей: $$~ u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(S^2 - c^2 N^2) = - \frac {2}{c^2}S^2.$$ $$~ f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(C^2 - c^2 I^2) = - \frac {2}{c^2}C^2.$$ $$~ \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(\Gamma^2 - c^2 \Omega^2) = - \frac {2}{c^2}\Gamma^2.$$ $$~ F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} = - \frac {2}{c^2}(E^2 - c^2 B^2) = - \frac {2}{c^2}E^2.$$

Интегралы по объёму от тензорных инвариантов, умноженные на соответствующие множители, были вычислены в статье.[6] Для поля ускорений и поля давления интегралы берутся только по объёму сферы: $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi \eta } u_{\mu \nu} u^{\mu \nu} dV = - \frac {c^4 \gamma^2_c }{2 \eta } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~\approx -\frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right). $$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi \sigma } f_{\mu \nu} f^{\mu \nu} dV = - \frac {\sigma c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~\approx -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right). $$

Гравитационное и электромагнитное поля системы присутствуют не только внутри, но и снаружи сферы, где тянутся в бесконечность, причём напряжённости внутренних и внешних полей ведут себя по-разному. В интегралы от тензорных инвариантов этих полей по объёму сферы подставляются напряжённости \(~ \mathbf \Gamma_i \) и \(~ \mathbf E_i \) соответственно, что даёт: $$~ - \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV = $$ $$~ = \frac {G c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 } \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right). $$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV = $$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0} \left[\frac {a}{2} + \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0}}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) - \frac {c^2}{4 \pi \eta \rho_0 a} \sin^2 \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0} \right) \right] \approx $$ $$~\approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right). $$

В интегралы по объёму от тензорных инвариантов гравитационного и электромагнитного полей системы за пределами сферы подставляются напряжённости \(~ \mathbf \Gamma_o \) и \(~ \mathbf E_o \) соответственно: $$~ - \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV = $$ $$~ = \frac {G c^4 \gamma^2_c }{2 \eta^2 a} \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right]^2 \approx \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right). $$ $$~ \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV = $$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{ 8 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 a } \left[\frac {c}{\sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }\right) \right]^2 \approx -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) . $$

Энергии частиц в потенциалах полей[править]

На частицы, находящиеся внутри сферы, действуют все четыре поля, и потому каждая частица системы приобретает соответствующую энергию в том или ином поле. Энергия частицы в поле вычисляется как интеграл по объёму от произведения эффективной плотности массы \(~ \rho = \rho_0 \gamma' \) на соответствующий скалярный потенциал, а для электрического поля энергия определяется как интеграл по объёму от произведения эффективной плотности заряда \(~ \rho_q = \rho_{0q} \gamma' \) на скалярный потенциал \(~ \varphi \), где используется фактор Лоренца \(~ \gamma' \) из (1). В СТО энергии частиц в поле ускорений, в поле давления, в гравитационном и электрическом полях для однородной релятивистской сферической системы с учётом выражений для потенциалов полей [6] и поправок в расчётах [7] [8] [9] равны соответственно: $$~ \int \rho \vartheta dV = \rho_0 c^2 \int \gamma'^2 dV = \frac {c^4 \gamma^2_c }{\eta } \left[ \frac {a}{2}- \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx $$ $$~ \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right). $$ $$~ \int \rho \wp dV = \rho_0 \int \gamma' \wp dV = \frac {c^2 \gamma_c } {\eta } \left( \wp_c - \frac { \sigma c^2 \gamma_c }{\eta }\right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] + $$ $$~ + \frac { \sigma c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3 \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) . $$ $$~ \int \rho \psi_i dV = \rho_0 \int \gamma' \psi_i dV = $$ $$~= \frac {G c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 }{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] - $$ $$~ - \frac {G c^4 \gamma^2_c }{\eta^2 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2 a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right). $$ $$~ \int \rho_q \varphi_i dV = \rho_{0q} \int \gamma' \varphi_i dV = $$ $$~ = -\frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{4 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 }{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left( \frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \left[ \frac {c}{ \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }} \sin \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) - a \cos \left(\frac {a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] + $$ $$~ + \frac {\rho^2_{0q} c^4 \gamma^2_c }{4 \pi \varepsilon_0 \eta^2 \rho^2_0 } \left[ \frac {a}{2} - \frac {c}{4 \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 }}{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left(\frac {2a}{c} \sqrt {4 \pi \eta \rho_0 } \right) \right] \approx \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right). $$

Связь между коэффициентами полей[править]

Для рассматриваемых четырёх полей уравнение движения вещества в концепции общего поля имеет вид:[10] $$~ u_{\mu \nu } J^\nu + f_{\mu \nu } J^\nu + \Phi_{\mu \nu } J^\nu + F_{\mu \nu } j^\nu = 0, $$

где \(~ J_\mu \) — массовый 4-ток, \(~ j^\nu \) — электромагнитный 4-ток.

Компонентами тензоров полей являются напряжённости полей и соответствующие соленоидальные векторы, но в рассматриваемой физической системе последние равны нулю. В результате пространственная компонента уравнения движения сводится к соотношению: $$~ \mathbf S + \mathbf C + \mathbf \Gamma_i + \frac {\rho_{0q}}{\rho_0 }\mathbf E_i = 0 . $$

Если подставить сюда выражения для напряжённостей полей внутри сферы, получается соотношение между коэффициентами полей:[11] $$~\eta + \sigma = G - \frac {\rho^2_{0q}}{ 4 \pi \varepsilon_0 \rho^2_0 }= G - \frac {q^2 }{ 4 \pi \varepsilon_0 m^2 }. \qquad \qquad (2) $$

То же самое получается и для временной компоненты уравнения движения, приводящей к обобщённой теореме Пойнтинга.[7]

Связь между энергиями внутренних и внешних полей[править]

В статье [12] было обнаружено, что энергия частиц в гравитационном поле внутри неподвижной сферы с точностью до знака в два раза больше, чем суммарная энергия, связанная с тензорными инвариантами гравитационного поля внутри и снаружи тела. Подобная ситуация складывается и в рассматриваемой системе с хаотическим движением частиц и нулевыми соленоидальными векторами, как для гравитационного,[8] так и для электромагнитного поля.[9] В частности, можно записать: $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \rho \psi_i dV = 2 \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV + 2 \int \limits^{ \infty }_{r=a} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV = 2 \int \limits^{\infty }_{r=0} \frac {c^2}{16 \pi G } \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} dV. $$ $$~ \int \limits^{a}_{r=0} \rho_q \varphi_i dV = -2 \int \limits^{a}_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV - 2 \int \limits^{\infty}_{r=a} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV = - 2 \int \limits^{\infty }_{r=0} \frac {c^2 \varepsilon_0}{4 } F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} dV. $$

Данные выражения связывают энергию частиц в скалярных потенциалах полей с энергией, находимой с помощью напряжённостей полей.

Релятивистская энергия[править]

В искривлённом пространстве-времени энергия системы для непрерывно распределённого вещества выражается формулой:[2] $$~E_r = \frac {1}{c} \int {( \rho_0 \vartheta + \rho_0 \wp + \rho_0 \psi+ \rho_{0q} \varphi ) u^0 \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 +}$$ $$~ +\int { \left( \frac {c^2}{16 \pi \eta} u_{ \mu\nu} u^{ \mu\nu} + \frac {c^2}{16 \pi \sigma} f_{ \mu\nu} f^{ \mu\nu} - \frac {c^2}{16 \pi G} \Phi_{ \mu\nu}\Phi^{ \mu\nu} + \frac {c^2 \varepsilon_0}{4} F_{ \mu\nu}F^{ \mu\nu} \right) \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3}.$$

В СТО детерминант метрического тензора равен \(~ g = -1 \), временная компонента 4-скорости \(~ u^0 = c \gamma'\), и для вычисления энергии сферической системы с частицами с учётом энергии полей можно использовать представленные выше энергии частиц в потенциалах полей и энергии в виде тензорных инвариантов полей: $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) - $$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + $$ $$~ + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) . $$

Выражение для энергии упрощается, если использовать соотношение между коэффициентами полей (2): $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) - $$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{5 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{10 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) . $$

Учёт связи между энергиями внутренних и внешних полей также упрощает выражение для энергии системы: $$~E_r \approx m c^2 \gamma^2_c - \frac {3 \eta m^2 \gamma^2_c }{5a} \left( 1- \frac {2 \eta m }{7 a c^2} \right) + m \wp_c \gamma_c \left( 1 - \frac {3 \eta m }{10 a c^2} \right) - \frac {3\sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1 - \frac {13 \eta m }{28 a c^2} \right) - $$ $$~ - \frac {6 G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac {3 q^2 \gamma^2_c }{20 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {4 \eta m }{7 a c^2} \right) - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) . $$

Связь энергии с космологической постоянной[править]

В рассматриваемом подходе релятивистская энергия системы не является абсолютной величиной и требует калибровки. Для этой цели используется космологическая постоянная \(~ \Lambda\). Условие калибровки для четырёх основных полей связано с суммой произведений 4-потенциалов полей на соответствующие 4-токи и имеет следующий вид:[2] $$~ -ck \Lambda = A_\mu j^\mu + (D_\mu + u_\mu + \pi_\mu) J^\mu, $$ где для больших космических систем \(~ -ck = \frac {c^4}{16\pi G \beta }\), \(~\beta \) есть константа порядка единицы.

В рамках СТО условие калибровки выглядит так: $$~ -ck \Lambda = \gamma \rho_{0q} (\varphi - \mathbf A \cdot \mathbf v) + \gamma \rho_{0} (\psi - \mathbf D \cdot \mathbf v + \vartheta - \mathbf U \cdot \mathbf v + \wp - \mathbf \Pi \cdot \mathbf v ). $$

Если частицы системы разнести на бесконечность и оставить там неподвижными, члены с произведениями векторных потенциалов полей на скорость частиц \(~\mathbf v \) обратятся в нуль, а лоренц-фактор произвольной частицы \(~ \gamma=1 \). В правой части останется лишь сумма членов, задающих плотность энергии частиц, находящихся в потенциалах своих собственных полей. Так как \(~ \vartheta \approx \gamma_c c^2 \), то видно, что с точностью до множителя \(~ -ck\) космологическая постоянная для каждой частицы системы равна плотности энергии покоя этой частицы с некоторой добавкой от её собственных полей. Тогда интеграл по объёму всех частиц даёт некоторую энергию: $$~ -ck \int \Lambda dV = M_0 c^2 ,$$

где калибровочная масса \(~ M_0 \) связана с условием калибровки энергии.

В процессах гравитационного скучивания частицы, изначально находившиеся далеко друг от друга, объединяются в тесно связанные системы, в которых потенциалы полей многократно возрастают. Несмотря на это, масса \(~ M_0 \) как следствие калибровки энергии остаётся неизменной. В рассматриваемой системе \(~ \gamma = \gamma' \), соленоидальные векторы полей считаются равными нулю из-за хаотического движения частиц, что даёт: $$~ M_0 c^2 = \int [\gamma' \rho_{0q} \varphi_i + \gamma' \rho_{0} (\psi_i + \vartheta + \wp)] dV. $$

Выражение в правой части является частью релятивистской энергии системы, так что энергию можно записать так: $$~E_r = M c^2 \approx M_0 c^2 - \frac { \eta m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { \sigma m^2 \gamma^2_c }{10 a}\left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + $$ $$~ + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{10 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{40 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{7 a c^2} \right) + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) . $$

Масса \(~ M \) связана с релятивистской энергией неподвижной в целом системы и является инерциальной массой системы. С учётом (2) энергия будет равна: $$~E_r = M c^2 \approx M_0 c^2 + \frac { G m^2 \gamma^2_c }{2 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) -\frac { q^2 \gamma^2_c }{8 \pi \varepsilon_0 a} \left( 1- \frac {3 \eta m }{5 a c^2} \right) . $$

Отсюда видно, что релятивистская энергия данной системы равна калибровочной массе-энергии \(~ M_0 c^2 \), из которой следует вычесть гравитационную и электромагнитную энергию полей за пределами системы.

Теорема вириала и кинетическая энергия частиц[править]

В статье [13] кинетическая энергия частиц рассматриваемой системы оценивается тремя способами: из теоремы вириала, из релятивистского определения энергии и с помощью обобщённых импульсов и собственных полей частиц. В пределе малых скоростей все эти способы дают для кинетической энергии следующее: $$~E_k \approx \frac {0,3608\eta m^2 \gamma_c }{a} . $$

Возможность использования обобщённых импульсов для вычисления энергии движения частиц связана с тем, что несмотря на обнуление на крупном масштабе векторных потенциалов и соленоидальных векторов, в объёме каждой из хаотически движущихся частиц эти потенциалы и векторы нулю не равны. В результате энергия движения частиц системы может быть найдена как полусумма скалярных произведений векторных потенциалов полей на импульс частиц, причём для электромагнитного поля следует брать не импульс, а произведение заряда на скорость и на фактор Лоренца.

Если возвести в квадрат равенство для \(~ \gamma' \) в (1), можно получить зависимость квадрата скорости хаотического движения частиц от текущего радиуса: $$~{v'}^2 \approx v^2_c - \frac {4 \pi \eta \rho_0 r^2 }{3} . $$

С другой стороны, можно считать, что \(~ \mathbf v' = \mathbf v_r + \mathbf v_\perp ,\) где \(~ \mathbf v_r \) обозначает усреднённую компоненту скорости, направленную вдоль радиуса, а \(~ \mathbf v_\perp \) является усреднённой компонентой скорости, перпендикулярной текущему радиусу. Кроме этого, из статистических соображений следует, что $$~{v'}^2 = v^2_r + v^2_\perp = 3 v^2_r . $$

Отсюда вытекает зависимость радиальной скорости от радиуса: $$~v_r \approx \frac {v_c}{ \sqrt 3} \left( 1- \frac {2 \pi \eta \rho_0 r^2 }{3 v^2_c} \right) . $$

Далее из теоремы вириала находится квадрат скорости частиц в центре сферы: $$~v^2_c \approx \frac {3 \eta m }{5 a} \left( 1 + \frac {9}{\sqrt {56}}\right) \approx \frac {1,3216 \eta m }{a} . $$

В обычной трактовке теоремы вириала усреднённая по времени кинетическая энергия системы частиц должна быть в два раза меньше усреднённой энергии, связанной с силами \(~ \mathbf F_i \), удерживающими частицы на радиус-векторах \(~ \mathbf r_i \) : $$~ \langle W_k \rangle_m = - 0,5 \langle \sum^{N}_{i=1} \mathbf F_i \cdot \mathbf r_i \rangle. $$

Однако в релятивистской однородной системе данное равенство изменяется: $$~ \langle W_k \rangle \approx - 0,6 \langle \sum^{N}_{i=1} \mathbf F_i \cdot \mathbf r_i \rangle, $$

причём здесь величина \(~ W_k \) превышает кинетическую энергию частиц, \(~ W_k \approx \gamma_c E_k \), и сравнивается с ней лишь в пределе малых скоростей.

В отличие от классического случая, полная временная производная вириала в стационарной системе отличается от нуля вследствие зависимости вириала от радиуса: $$~ \frac {dG_V}{dt} \approx \mathbf v \cdot \nabla {G_V}\approx \frac {0,1216 \eta m^2 \gamma^2_c }{a} . $$

Ссылки[править]

  1. а б в Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, 2014, no. 18, 771—779. http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.
  2. а б в г Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30, (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  3. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152‒167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.
  4. Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  5. Fedosin S.G. The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation. Hadronic Journal, February 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 — 70. статья на русском языке: Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.
  6. а б в Fedosin S.G. Relativistic Energy and Mass in the Weak Field Limit. Jordan Journal of Physics. Vol. 8 (No. 1), pp. 1‒16, (2015). // Релятивистская энергия и масса в пределе слабого поля.
  7. а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. Preprint, February 2016.
  8. а б Fedosin S.G. The gravitational field in the relativistic uniform model within the framework of the covariant theory of gravitation. 5th Ulyanovsk International School-Seminar “Problems of Theoretical and Observational Cosmology” (UISS 2016), Ulyanovsk, Russia, September 19-30, 2016, Abstracts, p. 23, ISBN 978-5-86045-872-7.
  9. а б Fedosin S.G. The electromagnetic field in the relativistic uniform model. Preprint, May 2016.
  10. Fedosin S.G. The Concept of the General Force Vector Field. OALib Journal, Vol. 3, P. 1‒15 (2016), e2459. http://dx.doi.org/10.4236/oalib.1102459; статья на русском языке: Концепция общего силового векторного поля.
  11. Fedosin S.G. Estimation of the physical parameters of planets and stars in the gravitational equilibrium model. Canadian Journal of Physics, Vol. 94, No. 4, P. 370‒379 (2016). http://dx.doi.org/10.1139/cjp-2015-0593; статья на русском языке: Оценка физических параметров планет и звёзд в модели гравитационного равновесия.
  12. Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 — 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.
  13. Fedosin S.G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept. Continuum Mechanics and Thermodynamics. (2016). https://dx.doi.org/10.1007/s00161-016-0536-8.

См. также[править]

Внешние ссылки[править]

Relativistic uniform system