Тензор поля давления
Тензор поля давления — антисимметричный тензор, описывающий поле давления и состоящий из шести компонент. Компоненты тензора являются в то же время компонентами двух трёхмерных векторов – напряжённости поля давления, и соленоидального вектора давления. С помощью тензора поля давления определяются тензор энергии-импульса поля давления, уравнения поля давления и сила давления в веществе. Поле давления является компонентой общего поля.
Определение[править | править код]
Выражение для тензора поля давления можно найти в работах Федосина, [1] где тензор определяется через 4-ротор:
Здесь 4-потенциал поля давления определяется по формуле: где – скалярный потенциал, – векторный потенциал поля давления, – скорость света.
Выражение для компонент[править | править код]
С помощью (1) находятся вектор напряжённости поля давления и соленоидальный вектор давления:
и это же в векторной записи:
Тензор поля давления состоит из компонент данных векторов:
Переход к тензору поля давления с контравариантными индексами осуществляется путём двойного умножения на метрический тензор:
В рамках специальной теории относительности этот тензор имеет вид:
Для преобразования компонент тензора поля давления из одной инерциальной системы отсчёта в другую нужно учитывать правило преобразования тензоров. Если система отсчёта K’ движется с произвольной постоянной скоростью относительно неподвижной системы отсчёта K, а оси систем координат параллельны друг другу, напряжённость поля давления и соленоидальный вектор давления преобразуются так:
Свойства тензора[править | править код]
- является антисимметричным тензором 2-го ранга, отсюда следует условие . Три из шести независимых компонент тензора поля давления связаны с компонентами вектора напряжённости поля давления , а другие три – с компонентами соленоидального вектора давления . Ввиду антисимметричности такой инвариант, как свёртка тензора с метрическим тензором, обращается в нуль: .
- Свёртка тензора с самим собой является инвариантом, а свёртка произведения тензоров с символом Леви-Чивиты в виде является псевдоскалярным инвариантом. Указанные инварианты в специальной теории относительности выражаются так:
- Детерминант тензора также является лоренцевским инвариантом:
Поле давления[править | править код]
Через тензор поля давления записываются уравнения поля давления:
где есть массовый 4-ток, – плотность массы в сопутствующей системе отсчёта, – 4-скорость движения элемента вещества, – постоянная, определяемая в каждой задаче.
Вместо (2) можно использовать выражение:
Равенство (2) выполняется тождественно, что доказывается подстановкой в него определения для тензора поля давления согласно (1). Если подставить в (2) компоненты тензора , можно получить два векторных уравнения:
Согласно (5), соленоидальный вектор давления не имеет источников, так как его дивергенция равна нулю. Из (4) следует, что изменение во времени соленоидального вектора давления приводит к появлению ротора напряжённости поля давления.
Уравнение (3) связывает поле давления с его источником в виде массового 4-тока. В пространстве Минковского специальной теории относительности вид уравнения упрощается и становится следующим: где – плотность движущейся массы, – плотность тока массы.
Согласно первому из этих уравнений, напряжённость поля давления имеет источник в виде плотности вещества, а по второму уравнению ток массы либо изменение во времени вектора напряжённости поля давления порождают круговое поле соленоидального вектора давления.
Из (3) и (1) можно получить следующее: [1]
Уравнение непрерывности для массового 4-тока является калибровочным условием, которое используется для получения уравнения поля (3) из принципа наименьшего действия. Следовательно, свёртка тензора поля давления и тензора Риччи должна равняться нулю: . В пространстве Минковского тензор Риччи равен нулю, ковариантная производная превращается в частную производную, и уравнение непрерывности становится таким:
Волновое уравнение для тензора поля давления выглядит следующим образом: [2]
Использование в ковариантной теории гравитации[править | править код]
Действие и Лагранжиан[править | править код]
Полный Лагранжиан для вещества в гравитационном и электромагнитном полях включает в себя тензор поля давления и содержится в функции действия: [1]
где – функция Лагранжа или лагранжиан, – дифференциал времени используемой системы отсчёта, – некоторый коэффициент, – скалярная кривизна, – космологическая константа, характеризующая плотность энергии рассматриваемой системы в целом, и потому являющаяся функцией системы, – скорость света, как мера скорости распространения электромагнитного и гравитационного взаимодействий, – гравитационный 4-потенциал, – гравитационная постоянная, – тензор гравитационного поля, – электромагнитный 4-потенциал, – электрический 4-ток, – электрическая постоянная, – тензор электромагнитного поля, – 4-потенциал поля ускорений, и – коэффициенты поля ускорений и поля давления, соответственно, – тензор ускорений, – 4-потенциал поля давления, – тензор поля давления, – инвариантный 4-объём, выражаемый через дифференциал временной координаты , через произведение дифференциалов пространственных координат, и через квадратный корень из детерминанта метрического тензора, взятого с отрицательным знаком.
Варьирование функции действия по 4-координатам даёт уравнение движения элемента вещества в гравитационном и электромагнитном полях и в поле давления: [2]
здесь первый член в правой части есть плотность гравитационной силы, выраженная с помощью тензора гравитационного поля, второй член задаёт электромагнитную силу Лоренца для плотности заряда , измеряемой в сопутствующей системе отсчёта, последний член определяет силу давления.
Варьирование функции действия по 4-потенциалу поля давления приводит к уравнению поля давления (3).
Тензор энергии-импульса поля давления[править | править код]
С помощью тензора поля давления в ковариантной теории гравитации строится тензор энергии-импульса поля давления:
Ковариантная производная от тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность 4-силы давления:
Обобщённая скорость и Гамильтониан[править | править код]
Ковариантный 4-вектор обобщённой скорости определяется выражением:
С учётом обобщённой скорости Гамильтониан содержит в себе тензор поля давления и имеет вид:
где и обозначают временные компоненты 4-векторов и .
В системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс системы, Гамильтониан определяет инвариантную энергию системы.
См. также[править | править код]
- Поле давления
- Тензор электромагнитного поля
- Тензор гравитационного поля
- Тензор ускорений
- Тензор поля диссипации
- Тензор энергии-импульса поля давления
- Тензор энергии-импульса гравитационного поля
- Общее поле
- Поле диссипации
- Поле ускорений
- Лоренц-инвариантная теория гравитации
- Ковариантная теория гравитации
Ссылки[править | править код]
- ↑ а б в Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
- ↑ а б Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12-30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.