4-сила

From Традиция
Jump to navigation Jump to search

4-сила есть 4-вектор, рассматриваемый как релятивистское обобщение классического трёхмерного вектора силы на четырёхмерное пространство-время. Как и в классической механике, 4-сила может быть определена двумя способами. В первом из них измеряется изменение энергии и импульса частицы за единицу собственного времени. Во втором способе вводятся силовые характеристики — напряжённости поля, и с их помощью при известных энергии и импульсе частицы вычисляют 4-силу, действующую на частицу в данном поле. Равенство 4-сил, полученных данными способами, даёт уравнение движения частицы в заданном силовом поле.

В специальной теории относительности 4-сила определяется как производная 4-импульса   p λ ~ p^\lambda по собственному времени   τ ~ \tau частицы:[1]   F λ := d p λ d τ . ( 1 ) ~F^\lambda := \frac{dp^\lambda }{d\tau}. \qquad\qquad (1)

Для частицы с постоянной инвариантной массой M > 0,   p λ = M u λ ~ p^\lambda = M u^\lambda , где   u λ ~ u^\lambda есть 4-скорость. Это позволяет связать 4-силу с 4-ускорением   a λ ~ a^\lambda аналогично второму закону Ньютона:   F λ = M a λ = ( γ F v c , γ F ) , ~F^\lambda = M a^\lambda = \left(\gamma {\mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \over c},\gamma {\mathbf {F}}\right) ,

где   v ~ \mathbf{v} есть классический 3-вектор скорости частицы,   γ = 1 1 ( v c ) 2 ~ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}  — фактор Лоренца,   c ~ c  — скорость света,   F = d d t ( γ M v ) = d p d t = M γ ( a + γ 2 ( v a ) c 2 v ) = M γ 3 ( a + v × [ v × a ] c 2 ) ~{\mathbf {F}}={d \over dt} \left( \gamma M {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{p} \over dt}= M \gamma \left(\mathbf{a} +\gamma^2 \frac{ (\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})}{c^2} \mathbf{v} \right) = M \gamma^3 \left(\mathbf{a} +\frac{ \mathbf{v} \times [\mathbf{v} \times \mathbf{a}]}{c^2} \right) — 3-вектор силы,[2]   p ~ \mathbf{p}  — 3-вектор релятивистского импульса,   a = d v d t ~ \mathbf{a}= \frac {d \mathbf{v}}{dt}  — 3-вектор ускорения,   F v = d d t ( γ M c 2 ) = d E d t , ~\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}={d \over dt} \left(\gamma M c^2 \right)={dE \over dt},

  E ~ E  — релятивистская энергия.

В общей теории относительности 4-сила определяется через ковариантную производную 4-импульса по собственному времени:[3] F λ := D p λ D τ = d p λ d τ + Γ λ μ ν u μ p ν , F^\lambda := \frac{Dp^\lambda }{D\tau} = \frac{dp^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}u^\mu p^\nu ,

где   Γ λ μ ν ~ \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}  — символ Кристоффеля.

Примеры[edit | edit source]

4-сила, действующая в электромагнитном поле на частицу с электрическим зарядом   q ~q , выражается следующим образом:   F λ = q F λ μ u μ , ~ F^\lambda = q F^{\lambda \mu} u_\mu,

где   F λ μ ~F^{\lambda \mu}  — тензор электромагнитного поля,   u μ ~u_\mu  — 4-скорость c нижним (ковариантным) индексом.

Плотность 4-силы[edit | edit source]

Для описания жидких или протяжённых сред, в которых требуется находить силы в разных точках пространства, вместо 4-вектора силы используют 4-вектор плотности силы, локально действующей на малый элемент объёма среды:   f λ := d J λ d τ , ( 2 ) ~f^\lambda := \frac{dJ^\lambda }{d\tau}, \qquad\qquad (2)

где   J λ = ρ 0 u λ ~ J^\lambda = \rho_0 u^\lambda есть массовый 4-ток,   ρ 0 ~ \rho_0  — плотность вещества в системе его покоя.

В специальной теории относительности справедливы соотношения:   u λ = ( γ c , γ v ) , ~ u^\lambda = \left(\gamma c, \gamma {\mathbf {v}}\right),   f λ = ( γ c d ε d t , γ f ) , ~f^\lambda = \left(\frac {\gamma }{c} \frac { d\varepsilon }{dt}, \gamma {\mathbf {f}}\right) ,

где   f = d d t ( γ ρ 0 v ) = d J d t ~ \mathbf{f} = {d \over dt} \left(\gamma \rho_0 {\mathbf {v}} \right)={d\mathbf{J} \over dt}  — 3-вектор плотности силы,   J ~ \mathbf{J}  — 3-вектор массового тока,   ε = γ ρ 0 c 2 ~ \varepsilon = \gamma \rho_0 c^2  — плотность релятивистской энергии.

Если проинтегрировать (2) по инвариантному объёму элемента вещества, измеряемому в сопутствующей системе отсчёта, то получится выражение для 4-силы (1):   f λ d V 0 = F λ = d ( ρ 0 u λ ) d τ d V 0 = d d τ ρ 0 u λ d V 0 = d d τ u λ d M = d p λ d τ . ~\int {f^\lambda dV_0}= F^\lambda = \int {\frac{d(\rho_0 u^\lambda ) }{d\tau} dV_0} = \frac {d}{ d\tau } \int {\rho_0 u^\lambda dV_0} =\frac {d}{ d\tau } \int { u^\lambda dM} =\frac{dp^\lambda }{d\tau}.

Данная формула и определение плотности 4-силы через массовый 4-ток   J λ ~ J^\lambda при учёте действующих в системе полей требуют коррекции, поскольку не содержат дополнительного вклада от 4-импульсов самих полей.[4]

4-сила в КТГ[edit | edit source]

Если частица находится в гравитационном поле, то согласно ковариантной теории гравитации (КТГ) гравитационная 4-сила равна:   F ν = M Φ ν μ u μ = Φ ν μ p μ , ~ F^\nu = M \Phi^{\nu \mu} u_\mu = \Phi^{\nu \mu} p_\mu ,

где   Φ ν μ ~\Phi^{\nu \mu}  — тензор гравитационного поля, выражаемый через напряжённость гравитационного поля и поле кручения,   p μ ~p_\mu  — 4-импульс c нижним (ковариантным) индексом, и масса частицы   M ~M включает в себя вклады от массы-энергии полей, связанных с веществом частицы.

В КТГ тензор гравитационного поля с ковариантными индексами   Φ r s ~ \Phi_{rs} определяется непосредственно, а для перехода к тензору с контравариантными индексами по обычному правилу используется метрический тензор, в общем случае являющийся функцией от времени и координат:   Φ ν μ = g ν r g s μ Φ r s . ~ \Phi^{\nu \mu}= g^{\nu r} g^{s \mu } \Phi_{rs} .

Вследствие этого 4-сила   F ν ~ F^\nu , зависящая от метрического тензора через   Φ ν μ ~ \Phi^{\nu \mu} , также становится функцией метрики. В то же время определение 4-силы с ковариантным индексом не требует знания метрики:   F μ = M Φ μ ν u ν = Φ μ ν p ν . ~ F_\mu = M \Phi_{\mu \nu} u^\nu = \Phi_{\mu \nu} p^\nu.

В ковариантной теории гравитации 4-вектор плотности силы определяется через поле ускорений:[5] [6] [7]   f α = β B α β = u α k J k = ρ 0 D U α D τ J k α U k = ρ 0 d U α d τ J k α U k , ( 3 ) ~ f_\alpha = \nabla_\beta {B_\alpha}^\beta = - u_{\alpha k} J^k = \rho_0 \frac {DU_\alpha }{D \tau}- J^k \nabla_\alpha U_k = \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} - J^k \partial_\alpha U_k ,\qquad \qquad (3)

где   B α β ~ {B_\alpha}^\beta  — тензор энергии-импульса поля ускорений со смешанными индексами,   u α k ~ u_{\alpha k}  — тензор ускорений, 4-потенциал поля ускорений выражается через скалярный   ϑ ~ \vartheta и векторный   U ~ \mathbf {U} потенциалы:   U α = ( ϑ c , U ) . ~U_\alpha = \left(\frac {\vartheta }{c},- \mathbf {U} \right) . В выражении (3) используется оператор производной по собственному времени   D D τ = u μ μ ~\frac{ D } {D \tau }= u^\mu \nabla_\mu , обобщающий производную Лагранжа (субстанциональную производную) на искривлённое пространство-время.[2]

Если есть только гравитационные и электромагнитные силы и силы давления, то справедливо выражение:   f α = Φ α μ J μ + F α μ j μ + f α μ J μ = μ ( U α μ + W α μ + P α μ ) , ( 4 ) ~f_\alpha = \Phi_{\alpha \mu } J^\mu + F_{\alpha \mu } j^\mu + f_{\alpha \mu } J^\mu = - \nabla_\mu \left( {U_\alpha }^\mu + {W_\alpha}^\mu + {P_\alpha}^\mu \right), \qquad \qquad (4)

где   j μ = ρ 0 q u μ ~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu есть 4-вектор плотности электромагнитного тока или зарядовый 4-ток,   ρ 0 q ~\rho_{0q}  — плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя,   f α μ ~ f_{\alpha \mu }  — тензор поля давления,   U α μ ~ {U_\alpha }^\mu  — тензор энергии-импульса гравитационного поля,   W α μ ~ {W_\alpha}^\mu  — тензор энергии-импульса электромагнитного поля,   P α μ ~ {P_\alpha}^\mu  — тензор энергии-импульса поля давления.

В ряде случаев вместо массового 4-тока используется величина   h λ = ρ u λ ~ h^\lambda = \rho u^\lambda , где   ρ ~ \rho  — плотность движущегося вещества в произвольной системе отсчёта. Величина   h λ ~ h^\lambda не является 4-вектором, так как плотность вещества не является инвариантной величиной при преобразованиях координат. При интегрировании по движущемуся объёму элемента вещества благодаря соотношениям   d M = ρ 0 d V 0 = ρ d V ~ dM= \rho_0 dV_0=\rho dV и    d V d t = d V 0 d τ ~ dV dt = dV_0 d\tau получается следующее:   d h λ d τ d V = d ( ρ u λ ) d τ d V = d d t ρ u λ d V 0 = d d t d t d τ u λ d M . ~ \int {\frac {dh^\lambda}{ d\tau } dV}= \int {\frac{d(\rho u^\lambda ) }{d\tau} dV} = \frac {d}{ dt } \int {\rho u^\lambda dV_0}= \frac {d}{ dt } \int {\frac {dt}{ d\tau }u^\lambda dM}.

Для инерциальных систем отсчёта в последнем выражении можно вынести величину   d t d τ ~ \frac {dt}{ d\tau } за знак интеграла. Это даёт 4-силу для таких систем отсчёта:   d d τ u λ d M = F λ . ~ \frac {d}{ d\tau } \int {u^\lambda dM}= F^\lambda .

Однако движущееся вещество кроме импульса частиц имеет ещё и импульс поля, связанного с веществом, что требует более общего определения 4-импульса и 4-силы.[8]

В общей теории относительности считается, что тензор энергии-импульса пылевидного вещества определяется выражением   t ν λ = J ν u λ ~ t^{\nu \lambda }= J^\nu u^\lambda , и для него   h λ = t 0 λ c ~ h^\lambda = \frac {t^{0 \lambda }}{c} , то есть величина   h λ = ρ u λ ~ h^\lambda = \rho u^\lambda состоит из четырёх временных компонент данного тензора. Интеграл от этих компонент по движущемуся объёму даёт соответственно энергию (с точностью до константы, равной   c ~ c ) и импульс элемента вещества. Однако такое решение справедливо лишь в приближении инерциального движения, как это показано выше. Кроме того, согласно выводам в статье,[9] интегрирование временных компонент тензора энергии-импульса для получения энергии и импульса системы в общем случае незаконно и приводит к парадоксам наподобие проблемы 4/3 для гравитационного и электромагнитного полей.

Вместо этого в ковариантной теории гравитации 4-импульс, содержащий энергию и импульс, выводится не из тензоров энергии-импульса, а путём вариации лагранжиана системы.

Компоненты плотности 4-силы[edit | edit source]

Выражение (4) для плотности 4-силы можно разделить на 2 части, одна из которых будет описывать объёмную плотность мощности энергии, а другая описывать суммарную плотность силы от имеющихся полей. Будем считать, что скорость распространения гравитации равна скорости света.

В выражении (4) произведём замену:   J μ = ρ 0 u μ = ρ 0 c d t d s d x μ d t = ρ d x μ d t , ~ J^\mu = \rho_0 u^\mu = \rho_0 \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho \frac {dx^\mu }{dt} , где   d s ~ ds обозначает интервал,   d t ~ dt есть дифференциал координатного времени,   ρ = ρ 0 c d t d s ~ \rho= \rho_0 \frac {cdt}{ds}  — плотность массы движущегося вещества, четырёхмерная величина   d x μ d t = ( c , v ) ~ \frac {dx^\mu }{dt}=(c, \mathbf{v} ) состоит из временной компоненты, равной скорости света   c ~ c , и пространственной компоненты в виде 3-вектора скорости частицы   v ~ \mathbf{v} .

Аналогично запишем зарядовый 4-ток через плотность заряда движущегося вещества   ρ q = ρ 0 q c d t d s ~ \rho_{q}= \rho_{0q} \frac {cdt}{ds} :   j μ = ρ 0 q u μ = ρ 0 q c d t d s d x μ d t = ρ q d x μ d t . ~ j^\mu = \rho_{0q} u^\mu = \rho_{0q} \frac {cdt}{ds} \frac {dx^\mu }{dt} = \rho_{q}\frac {dx^\mu }{dt}.

Кроме этого, выразим тензоры через их компоненты, то есть через соответствующие 3-векторы напряжённостей полей. Тогда для временной компоненты плотности 4-силы c ковариантным индексом находим:   f 0 = 1 c ( ρ Γ v + ρ q E v + ρ C v ) . ~ f_0 = \frac {1}{ c }( \rho \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \rho_{q} \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+\rho \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} ) .

где   Γ ~ \mathbf{\Gamma }  — напряжённость гравитационного поля,   E ~ \mathbf{E}  — напряжённость электромагнитного поля,   C ~ \mathbf{ C}  — напряжённость поля давления.

Пространственная компонента плотности ковариантной 4-силы является 3-вектором вида   f ~ - \mathbf{f} , то есть 4-сила   f λ = ( f 0 , f x , f y , f z ) , ~ f_\lambda = (f_0{,} -f_x{,}-f_y{,}-f_z),

при этом плотность 3-силы равна:   f = ρ Γ + ρ [ v × Ω ] + ρ q E + ρ q [ v × B ] + ρ C + ρ [ v × I ] , ~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{\Gamma }+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \rho_{q}\mathbf{E}+ \rho_{q} [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] + \rho \mathbf{C}+ \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{I}],

где   Ω ~ \mathbf{\Omega}  — поле кручения,   B ~ \mathbf{B}  — индукция магнитного поля,   I ~ \mathbf{ I }  — соленоидальный вектор поля давления.

Выражение для ковариантной плотности 4-силы можно также записать через компоненты тензора ускорений. Из (3) находим:   f 0 = u 0 k J k = ρ c S v , ~f_0 = - u_{0 k} J^k = - \frac {\rho }{ c } \mathbf{S} \cdot \mathbf{v},   f = ρ S ρ [ v × N ] , ~ \mathbf{f}= -\rho \mathbf{S} - \rho [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] ,

где   S ~ \mathbf{S}  — напряжённость поля ускорений,   N ~ \mathbf{ N }  — соленоидальный вектор поля ускорений.

Используя выражение 4-потенциала поля ускорений через скалярный   ϑ ~ \vartheta и векторный   U ~ \mathbf {U} потенциалы и определение производной Лагранжа, из (3) и (4) для скалярной и векторной компонент уравнения движения получается следующее:   d ϑ d t d x k d t U k t = v ϑ + v x U x t + v y U y t + v z U z t = S v = Γ v + ρ 0 q ρ 0 E v + C v . ( 5 ) ~ \frac { d \vartheta }{dt} - \frac {dx^k }{dt} \frac {\partial U_k }{\partial t} = \mathbf{v}\cdot \nabla \vartheta + v_x \frac { \partial U_x}{\partial t} + v_y \frac { \partial U_y}{\partial t} + v_z \frac { \partial U_z}{\partial t} = - \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}= \mathbf{\Gamma} \cdot \mathbf{v}+ \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } \mathbf{E} \cdot \mathbf{v}+ \mathbf{C} \cdot \mathbf{v} . \qquad (5)   d U d t + ϑ v x U x v y U y v z U z = S [ v × N ] = Γ + [ v × Ω ] + ρ 0 q ρ 0 ( E + [ v × B ] ) + C + [ v × I ] . ( 6 ) ~ \frac { d \mathbf {U} }{dt} + \nabla \vartheta - v_x \nabla U_x - v_y \nabla U_y - v_z \nabla U_z = - \mathbf{S} - [\mathbf{v} \times \mathbf{N}] = \mathbf{\Gamma }+ [\mathbf{v} \times \mathbf{\Omega}] + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } (\mathbf{E}+ [\mathbf{v} \times \mathbf{B}] ) + \mathbf{C}+ [\mathbf{v} \times \mathbf{I}]. \qquad (6)

Здесь   U x , U y , U z ~ U_x , U_y , U_z являются компонентами векторного потенциала   U ~ \mathbf {U} поля ускорений,   v x , v y , v z ~ v_x , v_y , v_z являются компонентами скорости   v ~ \mathbf {v} элемента вещества или частицы.

Уравнения движения вещества (5) и (6) получаются в ковариантной форме и справедливы в искривлённом пространстве-времени. В левой части этих уравнений присутствуют либо потенциалы, либо напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений. Правая часть уравнений движения выражается через напряжённости и соленоидальные векторы гравитационного и электромагнитного полей, и поля давления внутри вещества. Прежде чем решать данные уравнения движения, удобно найти вначале потенциалы всех полей через соответствующие волновые уравнения. Беря далее 4-ротор от 4-потенциалов полей, можно определить напряжённости и соленоидальные векторы всех полей. После подстановки их в (5) и (6) становится возможным найти соотношение между коэффициентами полей, выразить коэффициент поля ускорений и тем самым полностью определить это поле в веществе.

Связь с 4-ускорением[edit | edit source]

Особенностью уравнений движения (5) и (6) является то, что в них нет прямой связи с 4-ускорением рассматриваемой частицы вещества. Однако в ряде случаев возможно определить как ускорение и скорость движения, так и зависимость пройденного расстояния от времени. Простейшим примером является прямолинейное движение однородной твёрдой частицы в однородных внешних полях. В этом случае 4-потенциал поля ускорений точно совпадает с 4-скоростью частицы, так что скалярный потенциал   ϑ = γ c 2 ~ \vartheta = \gamma c^2 , векторный потенциал   U = γ v ~ \mathbf {U}= \gamma \mathbf {v} , где   γ ~ \gamma есть фактор Лоренца частицы. Подстановка равенства   U α = u α ~ U_\alpha = u_\alpha даёт в (3) следующее:   ρ 0 d U α d τ = ρ 0 d u α d τ = ρ 0 a α , ~ \rho_0 \frac {dU_\alpha }{d \tau} = \rho_0 \frac {du_\alpha }{d \tau}= \rho_0 a_\alpha,   J k α U k = ρ 0 u k α u k = ρ 0 2 α ( u k u k ) = ρ 0 2 α c 2 = 0 , ~ J^k \partial_\alpha U_k = \rho_0 u^k \partial_\alpha u_k =\frac {\rho_0 }{2} \partial_\alpha (u^k u_k) =\frac {\rho_0 }{2} \partial_\alpha c^2 =0,

где   a α = d u α d τ = u μ μ u α ~ a_\alpha = \frac {du_\alpha }{d \tau}= u^\mu \partial_\mu u_\alpha определяется как 4-ускорение.

Тогда из (3) и (4) следует уравнение для 4-ускорения частицы:   a α = Φ α μ u μ + ρ 0 q ρ 0 F α μ u μ + f α μ u μ . ~ a_\alpha = \Phi_{\alpha \mu } u^\mu + \frac {\rho_{0q} }{\rho_0 } F_{\alpha \mu } u^\mu + f_{\alpha \mu } u^\mu .

После умножения на массу частицы данное уравнение будет соответствовать уравнению (1) для 4-силы.

В рассматриваемом случае движения твёрдой частицы 4-ускорение с ковариантным индексом можно выразить через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений:   a α = c d t d s ( 1 c S v , S + [ v × N ] ) . ~ a_\alpha = \frac {cdt}{ds}\left(-\frac {1}{c} \mathbf{S} \cdot \mathbf{v}{,} \qquad \mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right).

В специальной теории относительности   c d t d s = γ = 1 1 ( v c ) 2 , ~ \frac {cdt}{ds}= \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}, и подставляя значения   S ~ \mathbf{S} и    N ~ \mathbf{ N } для одной частицы, для ковариантного 4-ускорения получается стандартное выражение:   S = c 2 γ ( γ v ) t , N = × ( γ v ) . ~ \mathbf {S} = - c^2 \nabla \gamma - \frac {\partial (\gamma \mathbf { v })}{\partial t},\qquad\qquad \mathbf {N} = \nabla \times (\gamma \mathbf { v }).   a α = γ ( d ( γ c ) d t , d ( γ v ) d t ) . ~ a_\alpha = \gamma \left( \frac {d(\gamma c)}{dt}{,} \qquad - \frac {d(\gamma \mathbf{v}) }{dt} \right).

Если масса   m ~ m частицы постоянна, то для силы, действующей на частицу, можно записать:   F = d p d t = m d ( γ v ) d t = m ( S + [ v × N ] ) = E + p t v × [ × p ] , ~ \mathbf F= \frac {d \mathbf p }{dt}= m \frac {d (\gamma \mathbf v )}{dt}= -m \left(\mathbf{S}+[\mathbf{v} \times \mathbf{N}] \right)= \nabla E + \frac {\partial \mathbf p }{\partial t} - \mathbf { v }\times [ \nabla \times \mathbf p ] ,

где   E = γ m c 2 ~ E = \gamma m c^2 есть релятивистская энергия,   p = γ m v ~ \mathbf p = \gamma m \mathbf v  — 3-вектор релятивистского импульса частицы.

Для тела с непрерывным распределением вещества векторы   S ~ \mathbf{S} и    N ~ \mathbf{ N } существенно отличаются от соответствующих мгновенных векторов конкретных частиц вблизи точки наблюдения. Эти вектора отражают усреднённую величину 4-ускорения внутри тел. В частности, внутри тел возникает 4-ускорение, генерируемое различными силами в веществе. Типичным примером являются релятивистская однородная система, а также космические тела, где основными силами являются силы гравитации и внутреннего давления, обычно направленные противоположно друг другу. При вращении этих тел плотность 4-силы, 4-ускорение, векторы   S ~ \mathbf{S} и    N ~ \mathbf{ N } становятся функциями не только радиуса, но и расстояния от оси вращения до точки наблюдения. В общем случае для протяжённых тел 4-ускорение в каждой точке тела становится некоторой функцией координат и времени. В качестве характеристики движения физической системы может быть выбрано 4-ускорение центра импульсов, для оценки которого следует проинтегрировать плотность силы по объёму всего вещества и разделить суммарную силу на инертную массу системы. Другой способ предполагает оценку 4-ускорения через напряжённость и соленоидальный вектор поля ускорений в центре импульсов в приближении специальной теории относительности, как это было показано выше.

См. также[edit | edit source]

Ссылки[edit | edit source]

  1. Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-853971-853951.
  2. а б Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи. Пермь, 2009‒2011, 858 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 293 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.
  3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  4. Fedosin S.G. Generalized four-momentum for continuously distributed matter. Preprint, 2019.
  5. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1‒30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  6. Fedosin S.G. The procedure of finding the stress-energy tensor and vector field equations of any form. Advanced Studies in Theoretical Physics, Vol. 8, No. 18, pp. 771‒779 (2014). http://dx.doi.org/10.12988/astp.2014.47101; статья на русском языке: Процедура для нахождения тензора энергии-импульса и уравнений векторного поля любого вида.
  7. Fedosin S.G. Equations of Motion in the Theory of Relativistic Vector Fields. International Letters of Chemistry, Physics and Astronomy, Vol. 83, pp. 12‒30 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/ILCPA.83.12. // Уравнения движения в теории релятивистских векторных полей.
  8. Fedosin S.G. What should we understand by the four-momentum of the physical system? Preprint, 2019.
  9. Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19‒40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

Внешние ссылки[edit | edit source]