Тензор энергии-импульса поля ускорений

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля ускорений — симметричный четырёхмерный тензор второго ранга, описывающий плотность и поток энергии и импульса поля ускорений в веществе. Данный тензор, а также тензор энергии-импульса гравитационного поля, тензор энергии-импульса электромагнитного поля, тензор энергии-импульса поля диссипации и тензор энергии-импульса поля давления входят в уравнение для определения метрики в ковариантной теории гравитации. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля ускорений позволяет вычислить плотность силы ускорений, действующей в веществе.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В ковариантной теории гравитации (КТГ) поле ускорений считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. В КТГ тензор энергии-импульса поля ускорений был определён Федосиным через тензор ускорений \( ~u_{ik}\) и метрический тензор \(~ g^{ik}\) из принципа наименьшего действия: [1] $$~ B^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \eta } \left( - g^{im} u_{nm} u^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}u_{mr}u^{mr}\right) ,$$

где \(~ \eta \) – некоторая постоянная, определяемая через фундаментальные постоянные и физические параметры системы. Поле ускорений рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля ускорений[править]

Так как тензор ускорений состоит из компонент напряжённости поля ускорений \( ~\mathbf{ S}\) и соленоидального вектора ускорений \( ~\mathbf{N}\), то тензор энергии-импульса поля ускорений можно выразить через эти компоненты. В пределе специальной теории относительности метрический тензор перестаёт зависеть от координат и времени и в этом случае тензор энергии-импульса поля ускорений приобретает наиболее простой вид: $$~ B^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_a & \frac {K_x}{c} & \frac {K_y}{c} & \frac {K_z}{c} \\ c P_{ax} & \varepsilon_a - \frac{S^2_x+c^2 N^2_x}{4\pi \eta } & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{ay} & -\frac{S_x S_y+c^2 N_x N_y }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_y+c^2 N^2_y }{4\pi\eta } & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } \\ c P_{az} & -\frac{S_x S_z+c^2 N_x N_z }{4\pi\eta } & -\frac{S_y S_z+c^2 N_y N_z }{4\pi\eta } & \varepsilon_a -\frac{S^2_z+c^2 N^2_z }{4\pi\eta } \end{vmatrix}. $$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля ускорений $$~ B^{00} = \varepsilon_a = \frac{1}{8 \pi \eta }\left(S^2+ c^2 N^2 \right).$$

2) вектор плотности импульса поля ускорений \( ~\mathbf{P_a} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{K}, \) где вектор плотности потока энергии поля ускорений: $$~\mathbf{K} = \frac{ c^2 }{4 \pi \eta }[\mathbf{S}\times \mathbf{N}].$$

Вследствие симметрии тензора по индексам \( P^{01}= P^{10}, P^{02}= P^{20}, P^{03}= P^{30}\), так что \( \frac{ 1}{ c} \mathbf{K}= c \mathbf{P_a} .\)

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля ускорений, взятым со знаком минус. Данный 3-мерный тензор можно записать в следующем виде: $$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \eta } \left( S^p S^q + c^2 N^p N^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (S^2 + c^2 N^2 ) \right) ,$$

где \(p,q =1,2,3, \) компоненты \(S^1=S_x, \) \(S^2=S_y, \) \(S^3=S_z, \) \( N^1=N_x, \) \(N^2=N_y, \) \(N^3=N_z, \) символ Кронекера \(\delta^{pq}\) равен 1 при \(p=q, \) и равен нулю при \(p \not=q. \)

Трёхмерная дивергенция тензора плотности потока импульса поля ускорений связывает плотность силы и скорость изменения плотности импульса поля ускорений: $$~ \partial_q \sigma^{p q} = - f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial K^p}{\partial t}, $$ где \(~ f^p \) обозначают компоненты трёхмерной плотности силы ускорения, \(~ K^p \) – компоненты вектора плотности потока энергии поля ускорений.

Плотность 4-силы и уравнения поля[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы \(~ f^\alpha \) может быть найден через тензор энергии-импульса поля ускорений, либо через произведение тензора поля ускорений и массового 4-тока: $$~ f^\alpha = \nabla_\beta B^{\alpha \beta} = -u^{\alpha}_{i} J^i . \qquad (1) $$

Уравнения поля ускорений записываются следующим образом: $$~ \nabla_n u_{ik} + \nabla_i u_{kn} + \nabla_k u_{ni}=0, $$ $$~\nabla_k u^{ik} = -\frac {4 \pi \eta }{c^2} J^i .$$

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы можно записать: $$~ f^\alpha = (- \frac {\mathbf{S} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),$$ где \(~ \mathbf{f}= - \rho \mathbf{S} - [\mathbf{J} \times \mathbf{N} ]\) – 3-вектор плотности силы, \(~ \rho \) – плотность движущегося вещества, \(~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} \) – 3-вектор плотности массового тока, \(~\mathbf{v} \) – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля ускорений превращаются в 4 уравнения для вектора напряжённости поля ускорений \( ~ \mathbf{ S}\) и соленоидального вектора ускорений \( ~\mathbf{N}\) : $$~\nabla \cdot \mathbf{ S} = 4 \pi \eta \rho,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ N} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ S}}{\partial t}+\frac {4 \pi \eta \rho \mathbf{ v}}{c^2},$$ $$~\nabla \cdot \mathbf{ N} = 0,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ S} = - \frac{\partial \mathbf{ N}}{\partial t}.$$

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля ускорений в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: $$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right), $$

где \(~ \beta \) – коэффициент, подлежащий определению, \(~ B_{ik}\), \(~ P_{ik}\), \(~ U_{ik}\) и \(~ W_{ik}\) – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей, \(~ G \) – гравитационная постоянная.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса поля ускорений \( B ^{ik}\) или тензора ускорений \( u _{nk}\) : $$~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)$$

где \( ~ \Phi_{nk}\) – тензор гравитационного поля, \( ~F_{nk}\) – тензор электромагнитного поля, \( ~ f _{nk}\) – тензор поля давления, \(~j^k = \rho_{0q} u^k \) – зарядовый 4-ток, \(~\rho_{0q}\) – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, \(~ u^k \) – 4-скорость.

Учтём теперь, что \(~J^k = \rho_{0} u^k \) есть массовый 4-ток, а тензор ускорений определяется через ковариантную 4-скорость в виде \(~ u _{nk}= \nabla_n u_k - \nabla_k u_n. \) Это даёт следующее: $$~ \nabla^\beta B_{n \beta} = -u_{n i} J^i = - \rho_{0} u^i (\nabla_n u_i - \nabla_i u_n)= \rho_{0} u^i \nabla_i u_n= \rho_{0} \frac {Du_n}{D \tau }. \qquad (3)$$

Здесь использован оператор производной по собственному времени \(~ u^i \nabla_i = \frac {D}{D \tau }\), где \(~ D \) – символ 4-дифференциала в искривлённом пространстве-времени, \(~ \tau \) – собственное время, \(~ \rho_0 \) есть плотность массы в сопутствующей системе отсчёта.

С учётом этого уравнение движения (2) приобретает вид: $$~ \rho_{0} \frac {Du_n}{D \tau } = - \nabla^k \left(U_{nk} +W_{nk}+ P_{nk} \right) = \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k. $$

Временная компонента данного уравнения при \(~ n=0\) описывает изменение энергии, а пространственная компонента при \(~ n=1{,}2{,}3\) связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

При индексе \(~ i=0\) в (2), то есть для временной компоненты уравнения, в пределе специальной теории относительности из равенства нулю левой части (2) следует: $$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},$$

где \(~ \mathbf{K}\) – вектор плотности потока энергии поля ускорений, \(~ \mathbf{H}\) – вектор Хевисайда, \(~ \mathbf{P}\) – вектор Пойнтинга, \(~ \mathbf{F}\) – вектор плотности потока энергии поля давления.

Это соотношение можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса всех четырёх полей.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: [2] $$~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }. $$

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

Релятивистская механика[править]

Как в релятивистской механике, так и в общей теории относительности (ОТО), тензор энергии-импульса поля ускорений не используется. Вместо него применяется так называемый тензор энергии-импульса вещества, имеющий в простейшем случае следующий вид: \(~ \phi_{ n \beta }= \rho_0 u_n u_\beta \). В ОТО тензор \(~ \phi_{ n \beta }\) подставляется в уравнение для метрики, а его ковариантная производная даёт следующее: $$~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \nabla^\beta (\rho_0 u_n u_\beta) = u_n \nabla^\beta J_\beta + \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n . $$

В ОТО предполагается, что выполняется уравнение непрерывности в виде \(~ \nabla^\beta J_\beta =0 .\) Тогда с учётом оператора производной по собственному времени ковариантная производная тензора \(~ \phi_{ n \beta }\) даёт произведение плотности на 4-ускорение, то есть плотность 4-силы: $$~ \nabla^\beta \phi _{n \beta} = \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n = \rho_0 \frac {Du_n}{D \tau }. \qquad (4)$$

Однако уравнение непрерывности справедливо лишь в рамках специальной теории относительности в виде \(~ \partial^\beta J_\beta = \partial_\beta J^\beta =0 .\) В искривлённом пространстве-времени вместо этого должно было бы быть уравнение \(~ \nabla^\beta J_\beta =0 \), однако вместо нуля в правой части в этом уравнении появляется дополнительный ненулевой член с тензором кривизны Римана. [1] Вследствие этого (4) не является точным выражением, и тензор \(~ \phi_{ n \beta }\) определяет свойства вещества лишь в специальной теории относительности. В противоположность этому, в ковариантной теории гравитации уравнение (3) записано в ковариантной форме, так что тензор энергии-импульса поля ускорений \(~ B_{ n \beta }\) описывает поле ускорений частиц вещества в том числе и в римановом пространстве-времени.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. а б Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  2. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки[править]