Тензор энергии-импульса поля давления

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.

Тензор энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие деформации тел от внешних воздействий.

Механика сплошных сред[править]

Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.

Примеры тензоров[править]

Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так: $$~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p ,$$ где \(~ p\) – давление, \(~ c \) – скорость света, \(~ u^i \) – 4-скорость, \(~ g^{ik} \) – метрический тензор.

Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.

Фок вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы \(~ \Pi \) и добавляет эту величину в тензор энергии-импульса давления: [1] $$~ P^{ik} = \frac{p+ \rho^{*} \Pi } {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p ,$$ здесь \(~ \rho^{*}\) обозначает ту плотность массы, которая не зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы \(~ \rho_0\) соотношением: $$~ \rho^{*}= \frac{ \rho_0 } {1+\Pi /c^2 }.$$

Вместо этого Федосин использовал функцию сжатия \(~ L\) : [2] $$~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k + (L-p) g^{ik}.$$

Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]

Описание движения и метрики[править]

Стандартный подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы \(~ T^{ik}= \phi^{ik}+ P^{ik}+ W^{ik},\) где \(~ \phi^{ik}= \rho_0 u^i u^k \) представляет тензор энергии-импульса вещества, а \(~ W^{ik}\) является тензором энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса системы: \(~ - \nabla_k T^{ik}=0.\) При этом в общей теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и времени.

Тензор \(~ T^{ik}\) используется в ОТО также для нахождения метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна : $$~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G } { c^4} T_{ik}, $$ где \(~ R_{ik}={R^n}_{ink}\) – тензор Риччи, \(~ R=R_{ik}g^{ik}\) – скалярная кривизна, \(~ G \) – гравитационная постоянная.

Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.

Ковариантная теория гравитации[править]

Определение[править]

В отличие от механики сплошной среды, в ковариантной теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления \( ~f_{ik}\) и метрический тензор \(~ g^{ik}\) из принципа наименьшего действия: [6] $$~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma } \left( - g^{im} f_{nm} f^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}f_{mr}f^{mr}\right) ,$$

где \(~ \sigma \) – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что \(~ \sigma \) не определена однозначно, является следствием того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля давления[править]

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор \(~ g^{ik}\) переходит в тензор \(~ \eta^{ik}\), состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость поля давления \( ~\mathbf{ C}\) и соленоидальный вектор \( ~\mathbf{I}\) : $$~ P^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_p & \frac {F_x}{c} & \frac {F_y}{c} & \frac {F_z}{c} \\ c P_{px} & \varepsilon_p - \frac{C^2_x+c^2 I^2_x}{4\pi \sigma } & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{py} & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_y+c^2 I^2_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{pz} & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_z+c^2 I^2_z }{4\pi\sigma } \end{vmatrix}. $$

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля давления $$~ P^{00} = \varepsilon_p = \frac{1}{8 \pi \sigma }\left(C^2+ c^2 I^2 \right).$$

2) вектор плотности импульса поля давления \( ~\mathbf{P_p} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{F}, \) где вектор плотности потока энергии поля давления: $$~\mathbf{F} = \frac{ c^2 }{4 \pi \sigma }[\mathbf{C}\times \mathbf{I}].$$

Компоненты вектора \(~\mathbf{F} \) входят в соответствующие компоненты тензора \( P^{01}, P^{02}, P^{03}\), а компоненты вектора \(~\mathbf{P_p} \) – в компоненты тензора \( P^{10}, P^{20}, P^{30}\), при этом вследствие симметрии тензора по индексам \( P^{01}= P^{10}, P^{02}= P^{20}, P^{03}= P^{30}\).

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде: $$~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \sigma } \left( C^p C^q + c^2 I^p I^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (C^2 + c^2 I^2 ) \right) ,$$

где \(p,q =1,2,3, \) компоненты \(C^1=C_x, \) \(C^2=C_y, \) \(C^3=C_z, \) \( I^1=I_x, \) \(I^2=I_y, \) \(I^3=I_z, \) символ Кронекера \(\delta^{pq}\) равен 1 при \(p=q, \) и равен нулю при \(p \not=q. \)

Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности импульса поля давления: $$~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial F^p}{\partial t}, $$ где \(~ f^p \) обозначают компоненты трёхмерной плотности силы давления, \(~ F^p \) – компоненты вектора плотности потока энергии поля давления.

Cила давления и уравнения поля давления[править]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления \(~ f^\alpha \) может быть найден через тензор энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и массового 4-тока: $$~ f^\alpha = -\nabla_\beta P^{\alpha \beta} = f^{\alpha}_{i} J^i . \qquad (1) $$

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления: $$~ \nabla_n f_{ik} + \nabla_i f_{kn} + \nabla_k f_{ni}=0, $$ $$~\nabla_k f^{ik} = -\frac {4 \pi \sigma }{c^2} J^i .$$

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать: $$~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{C} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ),$$ где \(~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{C} + [\mathbf{J} \times \mathbf{I} ]\) – 3-вектор плотности силы давления, \(~\rho\) – плотность движущегося вещества, \(~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} \) – 3-вектор плотности массового тока, \(~\mathbf{v} \) – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля давления \( ~\mathbf{ C}\) и соленоидального вектора \( ~\mathbf{I}\) : $$~\nabla \cdot \mathbf{ C} = 4 \pi \sigma \rho,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ I} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ C}}{\partial t}+\frac {4 \pi \sigma \rho \mathbf{ v}}{c^2},$$ $$~\nabla \cdot \mathbf{ I} = 0,$$ $$~\nabla \times \mathbf{ C} = - \frac{\partial \mathbf{ I}}{\partial t}.$$

Уравнение для метрики[править]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики: $$~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right), $$

где \(~ \beta \) – коэффициент, подлежащий определению, \(~ B_{ik}\), \(~ P_{ik}\), \(~ U_{ik}\) и \(~ W_{ik}\) – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей.

Уравнение движения[править]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления \( P^{ik}\) или тензора поля давления \( f_{nk}\) : $$~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)$$

где \( ~ u_{nk}\) – тензор ускорений, \( ~ \Phi_{nk}\) – тензор гравитационного поля, \( ~F_{nk}\) – тензор электромагнитного поля, \(~j^k = \rho_{0q} u^k \) – зарядовый 4-ток, \(~\rho_{0q}\) – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя, \(~ u^k \) – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при \(~ i=0\) описывает изменение энергии, а пространственная компонента при \(~ i=1{,}2{,}3\) связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[править]

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [7] $$~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},$$

где \(~ \mathbf{K}\) – вектор плотности потока энергии поля ускорений, \(~ \mathbf{H}\) – вектор Хевисайда, \(~ \mathbf{P}\) – вектор Пойнтинга, \(~ \mathbf{F}\) – вектор плотности потока энергии поля давления.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается сохраняющийся 4-вектор, равный нулю: $$~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }. $$

Равенство нулю этого 4-вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы.

См. также[править]

Ссылки[править]

  1. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
  2. Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.
  3. Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.
  4. Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911, Bd 12, S. 441.
  5. Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37, S. 772.
  6. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016); статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  7. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.

Внешние ссылки[править]