Тензор энергии-импульса поля давления

From Традиция
Jump to navigation Jump to search

Тензор энергии-импульса поля давления — симметричный четырёхмерный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса поля давления в веществе. Данный тензор в ковариантной теории гравитации входит в уравнение для определения метрики наравне с тензором энергии-импульса гравитационного поля, с тензором энергии-импульса поля ускорений, с тензором энергии-импульса поля диссипации, и с аналогичным тензором электромагнитного поля. Ковариантная производная тензора энергии-импульса поля давления задаёт плотность силы давления, действующей в веществе.

Тензор энергии-импульса поля давления является релятивистским обобщением трёхмерного тензора напряжений, используемого в механике сплошных сред. В отличие от тензора напряжений, который применяется обычно для описания относительных напряжений, появляющихся при деформациях тел, тензор энергии-импульса поля давления описывает любые внутренние напряжения, в том числе и в отсутствие деформации тел от внешних воздействий.

Механика сплошных сред[edit | edit source]

Существование различных вариантов тензора энергии-импульса давления показывает отсутствие какого-то однозначного определения этого тензора. Кроме 4-скорости, плотности и давления, в данный тензор часто добавляют функцию с заданными свойствами такими, чтобы тензор мог описывать энергию и напряжения в веществе. Произвол выбора подобной функции связан с тем, что когда полагают давление простой скалярной функцией, то возникает необходимость восполнить векторные свойства сил давления какой-то дополнительной функцией.

Примеры тензоров[edit | edit source]

Для вещества, находящегося в равновесии при однородном давлении, простейший тензор энергии-импульса давления в метрике (+ – – –) записывается так:   P i k = p c 2 u i u k g i k p , ~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p , где   p ~ p – давление,   c ~ c – скорость света,   u i ~ u^i – 4-скорость,   g i k ~ g^{ik} – метрический тензор.

Ввиду своей простоты тензор в таком виде часто используется не только в механике, но и в общей теории относительности.

Фок вводит в рассмотрение плотность упругой энергии на единицу массы   Π ~ \Pi и добавляет эту величину в тензор энергии-импульса давления: [1]   P i k = p + ρ Π c 2 u i u k g i k p , ~ P^{ik} = \frac{p+ \rho^{*} \Pi } {c^2 }u^i u^k - g^{ik}p , здесь   ρ ~ \rho^{*} обозначает ту плотность массы, которая не зависит от давления, и связана с полной инвариантной плотностью массы   ρ 0 ~ \rho_0 соотношением:   ρ = ρ 0 1 + Π / c 2 . ~ \rho^{*}= \frac{ \rho_0 } {1+\Pi /c^2 }.

Вместо этого Федосин использовал функцию сжатия   L ~ L  : [2]   P i k = p c 2 u i u k + ( L p ) g i k . ~ P^{ik} = \frac{p} {c^2 }u^i u^k + (L-p) g^{ik}.

Известны и другие формы тензора энергии-импульса давления, отличающиеся друг от друга способом введения в тензор некоторой дополнительной к давлению скалярной функции. [3] [4] [5]

Описание движения и метрики[edit | edit source]

Стандартный подход предполагает вначале определение тензора энергии-импульса системы   T i k = ϕ i k + P i k + W i k , ~ T^{ik}= \phi^{ik}+ P^{ik}+ W^{ik}, где   ϕ i k = ρ 0 u i u k ~ \phi^{ik}= \rho_0 u^i u^k представляет тензор энергии-импульса вещества, а   W i k ~ W^{ik} является тензором энергии-импульса электромагнитного поля. После этого уравнение движения с учётом давления и других полей следует из равенства нулю ковариантной производной тензора энергии-импульса системы:   k T i k = 0. ~ - \nabla_k T^{ik}=0. При этом в общей теории относительности (ОТО) учёт гравитационного поля в уравнении движения осуществляется через зависимость компонент метрического тензора от координат и времени.

Тензор   T i k ~ T^{ik} используется в ОТО также для нахождения метрики из уравнения Гильберта-Эйнштейна :   R i k 1 2 g i k R + g i k Λ = 8 π G c 4 T i k , ~ R_{ik} - \frac{1} {2 }g_{ik}R + g_{ik} \Lambda = \frac{8 \pi G } { c^4} T_{ik}, где   R i k = R n i n k ~ R_{ik}={R^n}_{ink} тензор Риччи,   R = R i k g i k ~ R=R_{ik}g^{ik} скалярная кривизна,   G ~ G гравитационная постоянная.

Таким образом, тензор энергии-импульса давления изменяет метрику внутри тел.

Ковариантная теория гравитации[edit | edit source]

Определение[edit | edit source]

В отличие от механики сплошной среды, в ковариантной теории гравитации (КТГ) поле давления считается не скалярным, а 4-векторным полем, состоящим из скалярной и 3-векторной компонент. Поэтому в КТГ тензор энергии-импульса поля давления определяется через тензор поля давления   f i k ~f_{ik} и метрический тензор   g i k ~ g^{ik} из принципа наименьшего действия: [6]   P i k = c 2 4 π σ ( g i m f n m f n k + 1 4 g i k f m r f m r ) , ~ P^{ik} = \frac{c^2} {4 \pi \sigma } \left( - g^{im} f_{nm} f^{nk}+ \frac {1} {4} g^{ik}f_{mr}f^{mr}\right) ,

где   σ ~ \sigma – постоянная, имеющая своё собственное значение в каждой задаче. То, что   σ ~ \sigma не определена однозначно, является следствием того факта, что давление внутри тел может быть вызвано действием любых причин и сил как внутреннего, так и внешнего характера. Поле давления рассматривается как компонента общего поля.

Компоненты тензора энергии-импульса поля давления[edit | edit source]

В пределе слабого поля, когда метрика пространства-времени переходит в метрику пространства Минковского специальной теории относительности, метрический тензор   g i k ~ g^{ik} переходит в тензор   η i k ~ \eta^{ik} , состоящий из чисел 0, 1, –1. В этом случае вид тензора энергии-импульса поля давления существенно упрощается и его можно выразить через компоненты тензора поля давления, то есть через напряжённость поля давления   C ~\mathbf{ C} и соленоидальный вектор   I ~\mathbf{I}  :   P i k = | ε p F x c F y c F z c c P p x ε p C x 2 + c 2 I x 2 4 π σ C x C y + c 2 I x I y 4 π σ C x C z + c 2 I x I z 4 π σ c P p y C x C y + c 2 I x I y 4 π σ ε p C y 2 + c 2 I y 2 4 π σ C y C z + c 2 I y I z 4 π σ c P p z C x C z + c 2 I x I z 4 π σ C y C z + c 2 I y I z 4 π σ ε p C z 2 + c 2 I z 2 4 π σ | . ~ P^{ik} = \begin{vmatrix} \varepsilon_p & \frac {F_x}{c} & \frac {F_y}{c} & \frac {F_z}{c} \\ c P_{px} & \varepsilon_p - \frac{C^2_x+c^2 I^2_x}{4\pi \sigma } & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{py} & -\frac{C_x C_y+c^2 I_x I_y }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_y+c^2 I^2_y }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } \\ c P_{pz} & -\frac{C_x C_z+c^2 I_x I_z }{4\pi\sigma } & -\frac{C_y C_z+c^2 I_y I_z }{4\pi\sigma } & \varepsilon_p -\frac{C^2_z+c^2 I^2_z }{4\pi\sigma } \end{vmatrix}.

Временные компоненты тензора обозначают:

1) объёмная плотность энергии поля давления   P 00 = ε p = 1 8 π σ ( C 2 + c 2 I 2 ) . ~ P^{00} = \varepsilon_p = \frac{1}{8 \pi \sigma }\left(C^2+ c^2 I^2 \right).

2) вектор плотности импульса поля давления   P p = 1 c 2 F , ~\mathbf{P_p} =\frac{ 1}{ c^2} \mathbf{F}, где вектор плотности потока энергии поля давления:   F = c 2 4 π σ [ C × I ] . ~\mathbf{F} = \frac{ c^2 }{4 \pi \sigma }[\mathbf{C}\times \mathbf{I}].

Компоненты вектора   F ~\mathbf{F} входят в соответствующие компоненты тензора P 01 , P 02 , P 03 P^{01}, P^{02}, P^{03} , а компоненты вектора   P p ~\mathbf{P_p} – в компоненты тензора P 10 , P 20 , P 30 P^{10}, P^{20}, P^{30} , при этом вследствие симметрии тензора по индексам P 01 = P 10 , P 02 = P 20 , P 03 = P 30 P^{01}= P^{10}, P^{02}= P^{20}, P^{03}= P^{30} .

3) Пространственные компоненты тензора образуют 3 x 3 подматрицу, являющуюся 3-мерным тензором плотности потока импульса поля, или тензором напряжений поля давления, взятым со знаком минус. Тензор напряжений можно записать в следующем виде:   σ p q = 1 4 π σ ( C p C q + c 2 I p I q 1 2 δ p q ( C 2 + c 2 I 2 ) ) , ~ \sigma^{p q} = \frac {1}{4 \pi \sigma } \left( C^p C^q + c^2 I^p I^q - \frac {1}{2} \delta^{pq} (C^2 + c^2 I^2 ) \right) ,

где p , q = 1 , 2 , 3 , p,q =1,2,3, компоненты C 1 = C x , C^1=C_x, C 2 = C y , C^2=C_y, C 3 = C z , C^3=C_z, I 1 = I x , I^1=I_x, I 2 = I y , I^2=I_y, I 3 = I z , I^3=I_z, символ Кронекера δ p q \delta^{pq} равен 1 при p = q , p=q, и равен нулю при p q . p \not=q.

Представленный тензор напряжений является конкретным выражением тензора напряжений Коши.

Трёхмерная дивергенция тензора напряжений поля давления связывает плотность силы давления и скорость изменения плотности импульса поля давления:   q σ p q = f p + 1 c 2 F p t , ~ \partial_q \sigma^{p q} = f^p +\frac {1}{c^2} \frac{ \partial F^p}{\partial t}, где   f p ~ f^p обозначают компоненты трёхмерной плотности силы давления,   F p ~ F^p – компоненты вектора плотности потока энергии поля давления.

Cила давления и уравнения поля давления[edit | edit source]

Из принципа наименьшего действия следует, что 4-вектор плотности силы давления   f α ~ f^\alpha может быть найден через тензор энергии-импульса поля давления, либо через произведение тензора поля давления и массового 4-тока:   f α = β P α β = f α i J i . ( 1 ) ~ f^\alpha = -\nabla_\beta P^{\alpha \beta} = {f^\alpha}_{i} J^i . \qquad (1)

Соотношение (1) тесно связано с уравнениями поля давления:   n f i k + i f k n + k f n i = 0 , ~ \nabla_n f_{ik} + \nabla_i f_{kn} + \nabla_k f_{ni}=0,   k f i k = 4 π σ c 2 J i . ~\nabla_k f^{ik} = -\frac {4 \pi \sigma }{c^2} J^i .

В рамках специальной теории относительности согласно (1) для компонент плотности 4-силы давления можно записать:   f α = ( C J c , f ) , ~ f^\alpha = (\frac {\mathbf{C} \cdot \mathbf{J} }{c}, \mathbf{f} ), где   f = ρ C + [ J × I ] ~ \mathbf{f}= \rho \mathbf{C} + [\mathbf{J} \times \mathbf{I} ] – 3-вектор плотности силы давления,   ρ ~\rho – плотность движущегося вещества,   J = ρ v ~\mathbf{J} =\rho \mathbf{v} – 3-вектор плотности массового тока,   v ~\mathbf{v} – 3-вектор скорости движения элемента вещества.

В пространстве Минковского уравнения поля давления преобразуются в 4 уравнения для напряжённости поля давления   C ~\mathbf{ C} и соленоидального вектора   I ~\mathbf{I}  :   C = 4 π σ ρ , ~\nabla \cdot \mathbf{ C} = 4 \pi \sigma \rho,   × I = 1 c 2 C t + 4 π σ ρ v c 2 , ~\nabla \times \mathbf{ I} = \frac {1 }{c^2}\frac{\partial \mathbf{ C}}{\partial t}+\frac {4 \pi \sigma \rho \mathbf{ v}}{c^2},   I = 0 , ~\nabla \cdot \mathbf{ I} = 0,   × C = I t . ~\nabla \times \mathbf{ C} = - \frac{\partial \mathbf{ I}}{\partial t}.

Уравнение для метрики[edit | edit source]

В ковариантной теории гравитации тензор энергии-импульса поля давления в соответствии с принципами метрической теории относительности является одним из тензоров, определяющих метрику внутри тел посредством уравнения для метрики:   R i k 1 4 g i k R = 8 π G β c 4 ( B i k + P i k + U i k + W i k ) , ~ R_{ik} - \frac{1} {4 }g_{ik}R = \frac{8 \pi G \beta }{ c^4} \left( B_{ik}+ P_{ik}+ U_{ik}+ W_{ik} \right),

где   β ~ \beta – коэффициент, подлежащий определению,   B i k ~ B_{ik} ,   P i k ~ P_{ik} ,   U i k ~ U_{ik} и   W i k ~ W_{ik} – соответственно тензоры плотности энергии-импульса поля ускорений, поля давления, гравитационного и электромагнитного полей.

Уравнение движения[edit | edit source]

Уравнение движения точечной частицы внутри или за пределами вещества может быть представлено в тензорном виде, с участием тензора энергии-импульса давления P i k P^{ik} или тензора поля давления f n k f_{nk}  :   k ( B i k + U i k + W i k + P i k ) = g i n ( u n k J k + Φ n k J k + F n k j k + f n k J k ) = 0. ( 2 ) ~ - \nabla_k \left( B^{ik}+ U^{ik} +W^{ik}+ P^{ik} \right) = g^{in}\left(u_{nk} J^k + \Phi_{nk} J^k + F_{nk} j^k + f_{nk} J^k \right) =0. \qquad (2)

где   u n k ~ u_{nk} тензор ускорений,   Φ n k ~ \Phi_{nk} тензор гравитационного поля,   F n k ~F_{nk} – тензор электромагнитного поля,   j k = ρ 0 q u k ~j^k = \rho_{0q} u^k – зарядовый 4-ток,   ρ 0 q ~\rho_{0q} – плотность электрического заряда элемента вещества в системе его покоя,   u k ~ u^k – 4-скорость.

Временная компонента уравнения (2) при   i = 0 ~ i=0 описывает изменение энергии, а пространственная компонента при   i = 1 , 2 , 3 ~ i=1{,}2{,}3 связывает ускорение с плотностями действующих сил.

Законы сохранения[edit | edit source]

Временную компоненту в (2) можно рассматривать как локальный закон сохранения энергии-импульса. В пределе специальной теории относительности, когда ковариантная производная становится 4-градиентом, а символы Кристоффеля обращаются в нуль, этот закон сохранения приобретает простой вид: [7] [8]   ( K + H + P + F ) = ( B 00 + U 00 + W 00 + P 00 ) t , ~ \nabla \cdot (\mathbf{ K }+ \mathbf{H}+\mathbf{P}+ \mathbf{F} ) = -\frac{\partial (B^{00}+U^{00}+W^{00}+P^{00} )}{\partial t},

где   K ~ \mathbf{K} – вектор плотности потока энергии поля ускорений,   H ~ \mathbf{H} вектор Хевисайда,   P ~ \mathbf{P} вектор Пойнтинга,   F ~ \mathbf{F} – вектор плотности потока энергии поля давления.

Согласно данному закону, работа поля по ускорению масс и зарядов компенсируется работой вещества по созданию поля. В результате изменение во времени суммарной энергии в некотором объёме возможно только за счёт втекания в этот объём потоков энергии.

Интегральная форма закона сохранения энергии-импульса получается путём интегрирования уравнения (2) по всему 4-объёму, чтобы учесть энергию-импульс гравитационного и электромагнитного полей, простирающихся далеко за пределы рассматриваемой физической системы. При интегрировании (2) применяется формула Гаусса-Остроградского, которая заменяет интегрирование дивергенции суммы тензоров по 4-объёму на интегрирование суммы временных компонент тензоров по 3-объёму. В результате в лоренцевых координатах получается интегральный вектор, равный нулю:   Q i = ( B i 0 + U i 0 + W i 0 + P i 0 ) d V . ~ \mathbb{Q}^i= \int{ \left( B^{i0}+ U^{i0} +W^{i0}+P^{i0} \right) dV }.

Равенство нулю интегрального вектора позволяет объяснить проблему 4/3, согласно которой масса-энергия поля в импульсе поля движущейся системы в 4/3 больше, чем в энергии поля неподвижной системы. С другой стороны, согласно [8] обобщённая теорема Пойнтинга и интегральный вектор должны рассматриваться по разному в веществе и за его пределами. В результате возникновение проблемы 4/3 связывается с тем, что временные компоненты тензоров энергии-импульса не образуют 4-векторы и потому принципиально не могут задавать одну и ту же массу в энергии и в импульсе полей.

См. также[edit | edit source]

Ссылки[edit | edit source]

  1. Фок В.А. Теория пространства, времени и гравитации. 2-е издание. – М.: Физматгиз, 1961. – 568 с.
  2. Федосин С. Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв. ISBN 5-8131-0012-1.
  3. Herglotz G. // Ann. d. Phys. 1911, Bd 36, S. 493.
  4. Ignatowsky W.V. // Phys. Ztschr. 1911, Bd 12, S. 441.
  5. Lamla E. // Berl. Diss., 1911; Ann. d. Phys. 1912, Bd 37, S. 772.
  6. Fedosin S.G. About the cosmological constant, acceleration field, pressure field and energy. Jordan Journal of Physics. Vol. 9 (No. 1), pp. 1-30 (2016). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.889304; статья на русском языке: О космологической постоянной, поле ускорения, поле давления и об энергии.
  7. Fedosin S.G. The Integral Energy-Momentum 4-Vector and Analysis of 4/3 Problem Based on the Pressure Field and Acceleration Field. American Journal of Modern Physics. Vol. 3, No. 4, 2014, pp. 152-167. http://dx.doi.org/10.11648/j.ajmp.20140304.12 ; статья на русском языке: Интегральный 4-вектор энергии-импульса и анализ проблемы 4/3 на основе поля давления и поля ускорений.
  8. а б Fedosin S.G. The generalized Poynting theorem for the general field and solution of the 4/3 problem. International Frontier Science Letters, Vol. 14, pp. 19-40 (2019). https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IFSL.14.19. // Обобщённая теорема Пойнтинга для общего поля и решение проблемы 4/3.

Внешние ссылки[edit | edit source]