Гравитационный фазовый сдвиг

Гравитационный фазовый сдвиг представляет собой явление, в котором компоненты гравитационного 4-потенциала и тензора гравитационного поля независимо друг от друга изменяют фазу и частоту периодических процессов, а также скорость течения времени. Данное явление может быть зарегистрировано путём сравнения результатов двух экспериментов, проводимых в гравитационном поле с разными потенциалами или несовпадающими по величине напряжённостями поля.

Исторически вначале были предсказаны такие эффекты, как гравитационное замедление времени и гравитационное красное смещение. В первом из них обнаруживается замедление хода часов, помещённых в гравитационное поле, что может быть объяснено влиянием на часы скалярного гравитационного потенциала. Во втором эффекте возникает отличие длины волны принимаемого излучения от стандартного значения в том случае, когда источник излучения и приёмник излучения находятся либо помещаются в области с различными гравитационными потенциалами. Как в общей теории относительности, так и в ковариантной теории гравитации данные эффекты обусловлены влиянием поля на собственное время в точке наблюдения и вычисляются с помощью метрического тензора.

В случае, когда напряжённость гравитационного поля и поле кручения в ковариантной теории гравитации (гравитомагнитное поле в общей теории относительности) равны нулю, фазовый сдвиг за счёт действия потенциалов гравитационного поля можно рассматривать как гравитационный аналог эффекта Эренберга — Сидая — Ааронова — Бома.

Представление о том, что функция действия имеет физический смысл функции, описывающей изменение таких внутренних свойств тел и систем отсчёта, как скорость течения собственного времени и скорость нарастания фазового угла периодических процессов, появилось в работах Сергея Федосина в 2012 г.

Теоретическое описание

Ковариантная теория гравитации

Для сравнения, представленные далее формулы для расчёта гравитационного фазового сдвига сопровождаются аналогичными формулами для фазового сдвига за счёт электромагнитного поля.

Влияние 4-потенциалов полей

Для гравитационного и электромагнитного полей разность показаний часов в приближении слабого поля описывается соответственно формулами: $$~ \tau_1 - \tau_2 = \frac {m}{mc^2} \int_{1}^{2} D_\mu \, dx^\mu , \qquad \tau_1 - \tau_2 = \frac {q}{mc^2} \int_{1}^{2} A_\mu \, dx^\mu .$$

Здесь гравитационный 4-потенциал $~D_\mu = \left( \frac {\psi }{ c}, -\mathbf{D}\right)$, где $~\psi$ есть скалярный потенциал, а $~\mathbf{D}$ является векторным потенциалом гравитационного поля; электромагнитный 4-потенциал $~ A_\mu = \left( \frac {\varphi }{ c}, -\mathbf{A}\right)$, где $~\varphi$ есть скалярный потенциал, $~\mathbf{A}$ – векторный потенциал электромагнитного поля; $~ dx^\mu$ обозначает 4-перемещение, $~ c$ – скорость света, а величины $~ m$ и $~ q$ задают массу и заряд часов.

При этом часы 2, измеряющие время $~\tau_2$, являются контрольными и находятся вне поля, а часы 1 измеряют время $~\tau_1$ и находятся под воздействием 4-потенциалов поля $~ D_\mu$ или $~ A_\mu$. Временные точки 1 и 2 в пределах интегралов обозначают начало и конец действия поля.

От разности времени можно перейти к сдвигу фаз для однотипных процессов, происходящих в поле и за его пределами, или протекающих в разных состояниях движения. Для этого необходимо в знаменателях заменить энергию $~ mc^2$ на величину характерного момента импульса. Для уровня атомов это будет постоянная Дирака $~ \hbar$: $$~ \theta_1 - \theta_2 = \frac {m}{\hbar } \int_{1}^{2} D_\mu \, dx^\mu , \qquad \theta_1 - \theta_2 = \frac {q}{\hbar } \int_{1}^{2} A_\mu \, dx^\mu .$$

Сдвиг фазы, получающийся за счёт электромагнитного 4-потенциала $~ A_\mu$, действующего на частицу с зарядом $~ q$, подтверждается эффектом Ааронова-Бома в квантовой физике. Сдвиг фазы в гравитационном 4-потенциале подтверждается также в статьях, где было найдено, что сдвиг фазы пропорционален криволинейному интегралу от векторного гравитационного потенциала $~ \mathbf{D}$ : $$~ \theta_1 - \theta_2 \sim \int_{1}^{2} \mathbf{D}\cdot d\mathbf{\ell}.$$

От интегральных равенств, приведённых выше, можно перейти к дифференциальным равенствам. Обозначим через $~ t$ координатное время внешнего наблюдателя, находящегося за пределами досягаемости поля системы. Если $~ d\mathbf{r}$ есть перемещение часов 1 в поле и $~ \mathbf{v}$ есть скорость этих часов, то для гравитационного и электромагнитного полей соответственно можно записать: $$~ D_\mu \, dx^\mu = \psi dt - \mathbf{D}\cdot d\mathbf{r} = (\psi - \mathbf{D}\cdot \mathbf{v}) dt .$$ $$~ A_\mu \, dx^\mu = \varphi dt - \mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = (\varphi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{v}) dt .$$ $$~ \frac {d\tau_1}{dt} = \frac {d\tau_2}{dt}+ \frac {1}{c^2} (\psi - \mathbf{D}\cdot \mathbf{v}) , \qquad \frac {d\tau_1}{dt}= \frac {d\tau_2}{dt} + \frac {q}{mc^2} (\varphi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{v}) .$$ $$~ \omega_1 - \omega_2 = \frac {m}{\hbar } (\psi - \mathbf{D}\cdot \mathbf{v}) , \qquad \omega_1 - \omega_2 = \frac {q}{\hbar } (\varphi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{v}) .$$

Здесь $~ \frac {d\tau_1}{dt}$ представляет собой скорость изменения времени часов 1 за счёт скалярного потенциала поля и движения в векторном потенциале соответствующего поля, $~ \frac {d\tau_2}{dt}$ обозначает скорость изменения времени контрольных часов 2 за счёт такого же движения, но без поля, а $~ \omega_2 =\frac {d\theta_2 }{dt}$ есть угловая частота некоторого процесса, связанная с контрольным объектом 2, находящимся за пределами поля.

В статических экспериментах в гравитационном или электрическом поле удобно рассматривать разность скорости хода часов или разность частот периодических процессов в двух соседних точках пространства, когда все часы или объекты неподвижны и их скорости равны нулю. Последние четыре равенства можно записать для часов 3 и объекта 3, находящихся в соседней точке 3, а затем вычесть их из равенств для часов 1 и объекта 1. При $~ \mathbf{v}=0$ имеем: $$~ \frac {d\tau_1}{dt} - \frac {d\tau_3}{dt} = \frac {\psi_1 -\psi_3 }{c^2}, \qquad \frac {d\tau_1}{dt} - \frac {d\tau_3}{dt}= \frac {q(\varphi_1-\varphi_3)}{mc^2} .$$ $$~ \omega_1 - \omega_3 = \frac {m(\psi_1 -\psi_3)} {\hbar } , \qquad \omega_1 - \omega_3 = \frac {q(\varphi_1-\varphi_3)}{\hbar }.$$

Отсюда видно, что скорости хода часов в точках с разными скалярными потенциалами поля не совпадают. В случае гравитационного поля это даёт гравитационное замедление времени, из которого вытекает гравитационное красное смещение. Аналогичные эффекты ожидаются также, если гравитационное поле заменить электромагнитным полем. Указанные эффекты в электромагнитном поле ещё не измерены ввиду их малости.

На поверхности Земли гравитационный потенциал определяется формулой: $$~\psi_1= - \frac {G M_e}{R_e},$$

где $~ M_e$ и $~ R_e$ есть масса и радиус Земли, $~ G$ – гравитационная постоянная.

В точке, которая выше поверхности Земли на расстояние $~ d=1$ метр, потенциал будет равен: $$~\psi_3= - \frac {G M_e}{R_e+d}.$$

Следовательно, для разности хода часов в точках 1 и 3, различающихся по высоте на 1 метр, можно записать: $$~ \frac {d\tau_1}{dt} - \frac {d\tau_3}{dt} \approx - \frac { G M_e d }{ R^2_e c^2}= \frac { \Gamma_e d }{ c^2}= - 1,1 \cdot 10^{-16}.$$

Здесь $~ \Gamma_e =- \frac { G M_e }{ R^2_e }$ есть напряжённость гравитационного поля, по модулю равная ускорению свободного падения 9,8 м/с². Как видно, если проходит период времени $~ dt =1$ секунда, нижние часы отстанут от верхних приблизительно на 10^-16 секунды.

Угловые частоты в последних двух равенствах имеют смысл локальной приведённой угловой частоты Комптона в той или иной точке поля и связаны со скоростью хода неподвижных часов, поскольку можно записать: $$~ \omega_1= \omega_C \frac {d\tau_1}{ dt}, \qquad \omega_3= \omega_C \frac {d\tau_3}{ dt},$$ здесь $~ \omega_C = \frac {m c^2}{\hbar }$ есть угловая приведённая частота Комптона в отсутствие гравитационного или электромагнитного поля.

Работа в гравитационном поле по перемещению массы между точками с разными скалярными потенциалами равна $~W_g= m(\psi_1 -\psi_3)$, а работа по переносу заряда в электрическом поле равна $~ W_e=q(\varphi_1-\varphi_3)$. При выполнении такой работы происходит изменение местоположения массы или заряда в поле, а также изменение локальный приведённой угловой частоты Комптона. Можно заметить, что при этом работа равна произведению постоянной Планка на изменение приведённой угловой частоты Комптона: $$~W = \hbar (\omega_1 - \omega_3) .$$

Влияние тензоров полей

Энергия полей, связанных с элементом вещества с массой $~ m$ , зависит не только от абсолютной величины 4-потенциалов, но и от скоростей их изменения в пространстве-времени, то есть от напряжённостей полей. Каждая дополнительная энергия должна влиять на внутренние свойства вещества, в том числе и на скорость течения собственного времени. В функцию действия напряжённости полей входят через тензоры полей, так что для соответствующих временных сдвигов в гравитационном и электромагнитном полях можно ожидать следующее: $$~ \tau_1 - \tau_2 = -\frac {1}{16 \pi G m} \int_{1}^{2} \left( \int \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 \right) dt .$$ $$~ \tau_1 - \tau_2 = \frac {1}{4 \mu_0 m c^2} \int_{1}^{2} \left( \int F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \sqrt {-g} dx^1 dx^2 dx^3 \right) dt .$$

Здесь $~ \mu_0$ – магнитная постоянная, $~ \Phi_{\mu \nu}$ – тензор гравитационного поля, $~ F_{\mu \nu}$ – тензор электромагнитного поля, $~ g$ – детерминант метрического тензора.

Из этих формул следует, что напряжённость гравитационного поля внутри объёма часов должна ускорять их ход, а напряжённость электромагнитного поля, наоборот, должна замедлять ход часов, по сравнению со случаем, когда поля нет.

Для оценки эффекта в гравитационном поле используем приближение слабого поля, в котором можно положить, что $~ \Phi_{\mu \nu} \Phi^{\mu \nu}= - \frac {2}{c^2} (\Gamma^2 - c^2 \Omega^2)$, $~ g=-1$, и элемент объёма $~ dV= dx^1 dx^2 dx^3$. Для двух часов, находящихся в соседних точках 1 и 3, в отсутствие поля кручения $~ \Omega$, дающего обычно малый вклад, можно записать: $$~ \frac {d\tau_1}{dt} - \frac {d\tau_3}{dt} \approx \frac {1}{8 \pi G m c^2}\int (\Gamma^2_1 -\Gamma^2_3 ) dV.$$

Пусть точки 1 и 3 находятся вблизи поверхности Земли и разделены по высоте расстоянием $~ d=1$ метр. Выберем массу $~ m$ и объём часов $~ V$ таким образом, чтобы выполнялось соотношение $~ m = \rho_e V$, где $~ \rho_e$ обозначает среднюю плотность Земли. При этих условиях находим: $$~ \frac {d\tau_1}{dt} - \frac {d\tau_3}{dt} \approx \frac {\Gamma^2_e d}{2 \pi G R_e \rho_e c^2} = 7,3 \cdot 10^{-17},$$

что по величине сравнимо с эффектом гравитационного замедления времени от действия гравитационного скалярного потенциала, но имеет противоположный знак.

На линии, соединяющей два тела, можно найти точку, где суммарная напряжённость гравитационного поля обращается в нуль, а суммарный скалярный потенциал становится равным сумме потенциалов данных тел. В этой точке гравитационное замедление времени не зависит от напряжённостей полей указанных тел.

См. также

Ковариантная теория гравитации Гравитоэлектромагнетизм Гравитационная индукция Скорость гравитации Напряжённость гравитационного поля

Поле кручения Гравитационный 4-потенциал Тензор гравитационного поля Тензор энергии-импульса гравитационного поля

Внешние ссылки

• Gravitational phase shift