Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, $\ f'(x)=f(f(x))$ не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные $y'(x), y''(x), ..., y^{(n)}(x)$ до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида $$F\left(t,x,x^\prime,x^{\prime\prime},...,x^{(n)}\right)=0\!$$или $F\left(t,x,\frac{dx}{dt},\frac{d^{2}x}{dt^2},...,\frac{d^{n}x}{dt^n}\right)=0$, где $~x=x(t)$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени $~t$, штрих означает дифференцирование по $~t$. Число $~n$ называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде: $$F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,$$ где $x_1, x_2,\dots, x_m$ — независимые переменные, а $z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m)$ — функция этих переменных.

Примеры

$y^{\prime\prime}+9y=0$ — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций $y = (C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения $m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t)$, где $m$ — масса тела, $x$ — его координата, $F(x,t)$ — сила, действующее на тело с координатой $x$ в момент времени $t$. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением $\frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$, где $u=u(x,t)$ — отклонение струны в точке с координатой $x$ в момент времени $t$, параметр $a$ задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения
• Частное решение дифференциального уравнения
• Особое решение
• Задача Коши
• Дифференциальное уравнение Бернулли
• Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро
• Уравнение Риккати
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Линейное дифференциальное уравнение

Ссылки

• Сайт под редакцией А. Д. Полянина «Мир математических уравнений» — EqWorld
• Русскоязычные ресурсы по дифференциальным уравнениям в Открытом Каталоге.
• Дифференциальные уравнения // Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы (MathML)
• Примеры решения дифференциальных уравнений
• Online решения дифференциальных уравнений

Литература

Учебники

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
• Л.С. Понтрягин Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974
• Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
• А. Н. Тихонов, Васильева А.Б., А.Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4е изд., Физматлит, 2005* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

Разделы математики