Сфера

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объём цилиндра, объём вписанной в него сферы, касающейся обоих его оснований, и удвоенный объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3:2:1

Основные геометрические формулы

Площадь сферы

$$S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.$$

Объём шара, ограниченного сферой

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Площадь сегмента сферы

$$s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 - \cos ( \alpha ) ) ,$$ где H — высота сегмента, а $\alpha$ — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,$$ где $(x_0,y_0,z_0)$ — координаты центра сферы, $R$ — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке $(x_0,y_0,z_0)$: $$\begin{cases}x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\\end{cases}$$ где $\theta \in [0, \pi]$ и $\phi \in [0, 2\pi).$

Через четыре точки пространства $M_1(x_1,y_1,z_1)\,;\,M_2(x_2,y_2,z_2)\,;\,M_3(x_3,y_3,z_3)\,;\,M_4(x_4,y_4,z_4)\,$ может проходить единственная сфера с центром $$x_0=\frac 12 \cdot \frac{A_x-B_x+C_x-D_x}{U+V+W}$$ $$y_0=\frac 12 \cdot \frac{A_y-B_y+C_y-D_y}{U+V+W}$$ $$z_0=\frac 12 \cdot \frac{A_z-B_z+C_z-D_z}{U+V+W}$$ где: $$U=(z_1-z_2)(x_3 y_4-x_4 y_3)-(z_2-z_3)(x_4 y_1-x_1 y_4)$$ $$V=(z_3-z_4)(x_1 y_2-x_2 y_1)-(z_4-z_1)(x_2 y_3-x_3 y_2)$$ $$W=(z_1-z_3)(x_4 y_2-x_2 y_4)-(z_2-z_4)(x_1 y_3-x_3 y_1)$$ $$A_x=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [y_2(z_3-z_4)+y_3(z_4-z_2)+y_4(z_2-z_3)]$$ $$B_x=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [y_3(z_4-z_1)+y_4(z_1-z_3)+y_1(z_3-z_4)]$$ $$C_x=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [y_4(z_1-z_2)+y_1(z_2-z_4)+y_2(z_4-z_1)]$$ $$D_x=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [y_1(z_2-z_3)+y_2(z_3-z_1)+y_3(z_1-z_2)]$$ $$A_y=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [z_2(x_3-x_4)+z_3(x_4-x_2)+z_4(x_2-x_3)]$$ $$B_y=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [z_3(x_4-x_1)+z_4(x_1-x_3)+z_1(x_3-x_4)]$$ $$C_y=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [z_4(x_1-x_2)+z_1(x_2-x_4)+z_2(x_4-x_1)]$$ $$D_y=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [z_1(x_2-x_3)+z_2(x_3-x_1)+z_3(x_1-x_2)]$$ $$A_z=(x_1^2+y_1^2+z_1^2) [x_2(y_3-y_4)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_2-y_3)]$$ $$B_z=(x_2^2+y_2^2+z_2^2) [x_3(y_4-y_1)+x_4(y_1-y_3)+x_1(y_3-y_4)]$$ $$C_z=(x_3^2+y_3^2+z_3^2) [x_4(y_1-y_2)+x_1(y_2-y_4)+x_2(y_4-y_1)]$$ $$D_z=(x_4^2+y_4^2+z_4^2) [x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]$$ Радиус данной сферы: $$R=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2+(z_1-z_0)^2}$$

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так: $$L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$$

Однако, если угол $\theta$ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая: $$L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$$

В этом случае $\theta_1$ и $\theta_2$ называются широтами, а $\phi_1$ и $\phi_2$ долготами.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид: $$\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,$$ где $(a_1,...,a_n)$ — центр сферы, а $r$ — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также

• Тела вращения
• Шар
• Сфера Римана
• Псевдосфера
• Небесная сфера
• Дикая сфера
• Шар (метрическая геометрия)
• Шары Данделена
• Парадокс Банаха — Тарского
• Гиперсфера
• Метрическое пространство
• Парадокс Смейла
• Телесный угол
• Упаковка шаров
• Сферическая система координат
• Шаровой слой
• Сегмент
• Эллипс
• Эллипсоид
• Окружность
• Радиан
• Кривизна
• Сфера Дайсона
• Сферический слой

Примечания