Сфера

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Сфе́ра (греч. σφαῖρα — мяч) — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны. Сфера является поверхностью шара.

Объём цилиндра, объём вписанной в него сферы, касающейся обоих его оснований, и удвоенный объём конуса, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3:2:1[1]

Основные геометрические формулы[править]

Площадь сферы

$$S = \ 4\pi r^2 = \pi d^2.$$

Объём шара, ограниченного сферой

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Площадь сегмента сферы

$$s = \ 2 \pi r H = 2 \pi r^2 ( 1 -{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} ( \alpha ) ) ,$$ где H — высота сегмента, а \( \alpha \) — зенитный угол

Сфера в трёхмерном пространстве[править]

Уравнение $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,$$ где \((x_0,y_0,z_0)\) — координаты центра сферы, \(R\) — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке \((x_0,y_0,z_0)\): $$\begin{cases} x = x_0 + R \cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \theta\cdot{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \phi,\\ y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\ z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\ \end{cases}$$ где \(\theta \in [0, \pi]\) и \(\phi \in [0, 2\pi).\)

Геометрия на сфере[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Сферическая геометрия

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется большим кругом (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые два из них пересекаются в двух точках.

Расстояние между двумя точками на сфере[править]

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так: $$L = R \cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \arccos}{ Арккосинус }}} ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$$

Однако, если угол \(\theta\) задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая: $$L = R \cdot{ \href {//traditio3trziwpn.onion/%D0%90%D1%80%D0%BA%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \arccos}{ Арккосинус }}} ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).$$

В этом случае \(\theta_1\) и \(\theta_2\) называются широтами, а \(\phi_1\) и \(\phi_2\) долготами.

n-мерная сфера[править]

Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Гиперсфера

В общем случае уравнение (n-1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид: $$\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,$$ где \((a_1,...,a_n)\) — центр сферы, а \(r\) — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является n-1-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит n-1-мерную сферу в n-1-мерную сферу или гиперплоскость.

См. также[править]

Примечания[править]

  1. 100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум