Квантованность параметров космических систем

Квантованность параметров космических систем есть свойство наблюдаемых в космосе систем, в которых имеются относительно устойчивые фиксированные стационарные состояния и возможны переходы между этими состояниями под действием внешних возмущений либо при потере энергии. Результатом перехода между стационарными состояниями является квантованное изменение энергии и характерного момента импульса системы. Типичными примерами являются спутниковые системы — атомы, планетные системы звёзд, системы из нормальных и карликовых галактик. По определению считается, что спутники менее массивные, чем основные объекты. В предельном случае массы компонент системы могут быть одинаковы, как в двухатомной молекуле из атомов одного химического элемента или в соответствующих двойных звёздах. В системах со множеством объектов квантованность может приобрести динамический характер и определяться дальнодействующими силами между объектами.

Наиболее ярко квантованность проявляется в системах, содержащих компактные объекты с вырожденным состоянием вещества, такими, как атомные ядра и нейтронные звёзды. Данные объекты обладают дискретностью своих физических свойств и обычно являются основными объектами спутниковых систем. В частности, масса атомного ядра пропорциональна количеству нуклонов, а на уровне звёзд наблюдается дискретность параметров звёзд и подобие между атомами и звёздами, включая соответствие между массами и распространённостью в природе.

Заряд и масса электронов в атомах не являются произвольными величинами, а в значительной мере определяются самой историей возникновения электронов. Анализ бета-распада в субстанциональной модели электрона и в субстанциональной модели нейтрона показывает, что свойства электронов являются вторичными по отношению к свойствам нуклонов. В то же время между массой, зарядом и радиусом протона существуют связи, определяемые свойствами вещества и уравнением его состояния, и приводящие к дискретности свойств протона.

Отсюда вытекает, что дискретность свойств основных объектов и их спутников, возникающая в ходе совместной эволюции под действием фундаментальных сил, приводит к повторяющейся структуре спутниковых систем на разных уровнях материи и к квантованности их параметров. Проявлением дискретности свойств объектов является существование в космосе иерархически вложенных друг в друга уровней материи, массы и размеры носителей которых относятся друг к другу по закону геометрической прогрессии. Согласно подобию уровней материи и SPФ-симметрии, между соответствующими объектами и явлениями можно установить соотношения подобия и предсказывать характеризующие их физические величины. Это позволяет связать между собой различные формы квантованности в рамках теории бесконечной вложенности материи.

Квантованность в атомных системах

Идея квантов является основной в квантовой физике, описывающей поведение атомов и элементарных частиц. Исторически первой квантовой моделью была модель Бора, основную роль в которой играет квант действия в виде постоянной Дирака $~\hbar=1,054 \cdot 10^{-34}$ Дж∙с. Атом водорода в модели Бора является представителем водородной системы на уровне атомов, в которой электрон в основном состоянии имеет орбитальный момент импульса, равный $~\hbar$. В атомах и ионах квантуются следующие величины:

• Количество нуклонов в атомных ядрах.
• Массы и заряды атомных ядер.
• Количество электронов.
• Массы и заряды электронных оболочек.
• Энергии электронов в различных состояниях.
• Орбитальные и спиновые моменты импульса атомных ядер и электронов и их проекции на выделенное направление.
• Магнитные моменты атомных ядер и электронов и их проекции на выделенное направление.

Квантованность обычно проявляется в тех случаях, когда возможны переходы системы из одного состояния в другое и обратно, причём сами состояния должны быть каким-то образом зафиксированы. Высокая стабильность спектральных линий при излучении фотонов из атомов показывает, что стационарные состояния атомов контролируются специальными механизмами. В результате их действия атом не может перейти из одного состояния в другое возбуждённое состояние, если энергия падающего фотона или возбуждения не достаточны для перехода между состояниями. В качестве условий появления стационарных состояний называются:

1. Совпадение по величине потоков электромагнитной и гравитационной энергии полей и потока кинетической энергии вещества электронного облака. В этом случае импульс энергии поля не передаётся импульсу кинетической энергии вращения вещества электрона вокруг ядра и вращение устойчиво. Одновременно вследствие отсутствия изменения вращения вещества электрона излучение от электрона отсутствует.
2. Осесимметричная форма электронного облака, при которой несмотря на вращение облака электромагнитное излучение от него не возникает.
3. Структура различных электронных оболочек в виде набора параллельных дисков приблизительно одинаковых размеров внутри каждой оболочки. Это позволяет электронам, как замагниченным и заряженным дискам из вещества малой плотности, взаимодействовать между собой с учётом принципа Паули, а также изменять конфигурацию при химических взаимодействиях.
4. Равновесие электронных облаков в атомах, которое обуславливается: электростатическими силами между ядром и каждым облаком, между соседними электронными облаками; собственными электростатическими силами внутри каждого заряженного облака; сильной гравитацией, в основном между электронами и ядром; центростремительными силами от вращения. Равенство кулоновской силы и сильной гравитации позволяет оценить постоянную сильной гравитации.

Существование стационарных состояний атомов приводит к квантованию энергии и момента импульса электронных состояний и к дискретности атомных спектров. Рассмотрение многоэлектронных атомов показывает, что с увеличением массы и заряда ядра электронные оболочки становятся всё теснее друг к другу, создавая взаимное давление, а внутренние оболочки приближаются к ядру с одновременным увеличением энергии электронов. При переходе электрона из одного энергетического состояния в нижележащее другое состояние угловая частота электромагнитного излучения связана со скоростью изменения энергии $~E$ при изменении момента импульса $~L$: $$\omega = \frac {dE}{dL} .$$

Типичное изменение момента импульса электрона при переходе между уровнями энергии равно $~\hbar$, в связи с чем принимается, что энергия излучаемого фотона как кванта излучения равна $E = \hbar \omega$.

Квантованность количества нуклонов в атомных ядрах тесно связана с дискретностью масс ядер и с правилом запрета Маттауха-Щукарева, согласно которому при замене в ядре стабильного изотопа нейтрона на протон (или протона на нейтрон) возникает радиоактивный изотоп.

Закон сохранения заряда выполняется практически точно во всех известных явлениях, причём минимальное значение электрического заряда на уровне атомов есть элементарный заряд $~e=1,602\cdot 10^{-19}$ Кл. С помощью постоянной Планка и элементарного заряда вычисляется квант магнитного потока $~\Phi_0 = \frac {h}{2e} =2,067\cdot 10^{-15}$ Вб, обнаруживаемый в экспериментах со сверхпроводниками. В квантовой механике данный квант связывается с движением зарядов в виде куперовских пар электронов, но имеет и классическое объяснение.

С квантованностью в физике ассоциируются также магнетон Бора, ядерный магнетон, мультиплетность, радиоактивный распад, ядерный магнитный резонанс, электронный парамагнитный резонанс, эффект Зеемана, и многие другие явления.

В химии идея квантов проявляется как валентность, и выражается в законе сохранения количества вещества, в законах электролиза Фарадея, и в других закономерностях.

Планетные системы

Если на микроуровне квантованность обнаруживается во многих явлениях, то на макроуровне или на уровне звёзд она может показаться неожиданной. Однако условия для возникновения квантов могут периодически возникать на самых различных уровнях материи. Примером являются планетные системы звёзд и спутниковые системы планет, оказывающиеся подобными атомам по количеству объектов и характеру действующих сил.

Правило Тициуса — Боде

Правило Тициуса — Боде описывает эмпирическую зависимость среднего орбитального радиуса планет Солнечной системы от номера планеты: $$~r_n =0,1 \cdot (4+3\cdot 2^n)$$а.е., где $~n= - \infty$ для Меркурия, $~n= 0{,}1{,}2$ для Венеры, Земли и Марса, $~n= 3{,}4{,}5{,}6$ для пояса астероидов, Юпитера, Сатурна и Урана соответственно. Хотя правило нарушается для Нептуна, давая вместо расстояния до него расстояние до Плутона при $~n= 7$, из правила видно, что расстояния до планет нарастают приблизительно в геометрической прогрессии. Зависимость от $~n$ может рассматриваться как одна из форм квантования допустимых орбитальных радиусов планет. В качестве одного из обоснований правила используется идея о том, что границы зон, в которых когда-то образовались планеты, начиная с Венеры, определяются по формуле: $$~r_k =0,1 \cdot (4+ 2^k)$$а.е. , где $~k=1{,} 2{,} 3 ...$

Тогда положения планет из правила Тициуса — Боде находятся как средние арифметические значения между двумя соседними границами: $$~r_n = \frac {r_k + r_{k+1}}{2} ,$$ при $~n=k-1$.

Другое объяснение подразумевает влияние потоков гравитационной энергии, возникающих от статического гравитационного поля Солнца и его поля кручения от собственного вращения, на потоки кинетической энергии вращения газо-пылевого вещества протопланет при их аккумуляции.

На некоторых орбитах потоки энергии выравниваются, что приводит к стационарным устойчивым состояниям, в которых вещество может накапливаться наиболее эффективно, образуя впоследствии планеты. Данный процесс эквивалентен возникновению стационарных состояний в атомах, приводящих к квантованию уровней энергии и момента импульса электронов. Как следствие квантования состояний, между близкими планетами возможен орбитальный резонанс, при котором их орбитальные периоды соотносятся друг с другом как небольшие натуральные числа.

Использование уравнения Шрёдингера

Поскольку состояния атома водорода в квантовой механике точно рассчитываются путём решения уравнения Шрёдингера, такой же подход был применён для моделирования допустимых радиусов орбит планет возле Солнца и звёзд. Почти для всех планет оказалось возможным подобрать соответствующие квантовые числа $~n$ и $~l$, характеризующие энергию и момент импульса. При этом выясняется, что многие планетные системы у различных звёзд в отношении распределения орбитальных радиусов планет построены приблизительно одинаково.

Приблизительно такие же результаты получены в ряде работ при решении обобщённого уравнения Шрёдингера. Для орбитальных радиусов планетных систем была найдена формула: $$~r_n= \frac {G M n^2}{\omega^2} ,$$ где $~ G$ — гравитационная постоянная, $~M$ — масса центрального тела (звезды в планетной системе, планеты в спутниковой системе), $~ \omega$ — постоянная с размерностью скорости, зависящая от свойств системы, и равняющаяся орбитальной скорости на основной (первой) орбите. В Солнечной системе $~\omega =144,7$ км/с для внутренних планет Меркурия, Венеры, Земли и Марса, для которых $~ n =3{,}4{,}5{,}6$ соответственно. У Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона $~n=2{,}3{,}4{,}5{,}6$ при меньшем значении $~\omega=28$ км/с. Различие величины $~ \omega$ для внутренних и больших планет в данной теории объясняется ходом процесса аккумуляции вещества протопланет — вначале образовались достаточно большие зоны аккумуляции, затем во внутренней зоне произошло вторичное разделение на более мелкие зоны, из которых возникли небольшие планеты.

Квантование орбитальных радиусов планет

Принцип квантования орбитального момента и увеличения его пропорционально числу $~n$ используется для демонстрации того, что внутренние и внешние планеты Солнечной системы разбиваются на две отдельные группы. Одним из результатов является формула для орбитальных радиусов планет вида: $$~r_n= r_1 n^2, \qquad \qquad (1)$$

где $~ r_1$ есть радиус при $~n=1$. У внутренних планет земной группы $~ r_1\approx 6,36 \cdot 10^9$ м и орбиты при $~n=1$ и $~n=2$ пустые из-за предполагаемого влияния Солнца, у Меркурия $~n=3$, у Венеры $~n=4$, у Земли $~n=5$, у Марса $~n=6$, у астероида Церера $~n=8$. Для внешних планет, начиная с Юпитера, предполагается, что $~ r_1 \approx 1,75 \cdot 10^{11}$ м, $~n=2{,}3{,}4{,}5{,}6$.

Если обозначить орбитальный момент импульса планеты $~L_n= M_n V_n r_n$, удельный орбитальный момент импульса $~L_{ns}= \frac { L_n}{ M_n }= V_n r_n$, и использовать выражение для орбитальной скорости в виде $~V_n= \sqrt {\frac {G M_c}{r_n}}$, где $~M_c$ масса Солнца, то с учётом (1) получится: $$~L_{ns}= V_n r_n = \sqrt {G M_c r_n}= const \times n.$$ Данное равенство означает, что у планет квантуется их удельный орбитальный момент импульса, как квантуется орбитальный момент импульса электрона в модели Бора для водородной системы. Для периода орбитального вращения планет находится соотношение: $~T^{1/3}_n= const \times n$.

Спутники планет

Спутниковые системы Юпитера, Сатурна и Урана достаточно населённы, чтобы их можно было сравнивать с распределением планет в Солнечной системе. Для спутников планет также справедливо правило Тициуса — Боде, но с уменьшенным базовым расстоянием, когда вместо 0,1 а.е. используется величина порядка 60 тысяч км.

Для описания квантования орбит спутников может быть использован тот же подход, который применяется для орбитального движения планет. При этом орбитальные радиусы будут пропорциональны уже не квадрату номера планеты, а квадрату номера спутника.

Подобие с атомами

Коэффициенты подобия

Рассматривая соответствие между атомами и звёздами главной последовательности, Сергей Федосин обнаружил, что Солнечная система подобна изотопу атому кислорода с массовым числом $~A=18$ и зарядовым числом $~Z=8$. Отношение массы Солнца к массе ядра изотопа атома кислорода $~M_O$ задаёт коэффициент подобия по массе: $$~\Phi = \frac {M_c}{M_O} =6,654 \cdot 10^{55}.$$ Умножая $~\Phi$ на массу электрона, можно найти массу планеты, соответствующей электрону: $~M_{\Pi}=6,06 \cdot 10^{25}$ кг или 10,1 масс Земли.

Коэффициент подобия по скоростям определяется выражением: $$~S= S_0 \frac {A} {Z},$$ где $~S_0= \frac {C_s} {c}=7,34 \cdot 10^{-4}$ есть коэффициент подобия по скоростям для водородной системы, $~C_s=220$ км/с — характерная скорость частиц вещества в звезде главной последовательности с минимальной массой $~M_{sp}=0,056 M_c$, $~c$ — скорость света, как характерная скорость вещества в протоне.

Поскольку вещество звёзд удерживается гравитационными силами, характерная скорость вещества $~C_x$ определяется через половину гравитационной энергии, абсолютная величина которой задаёт полную энергию звезды с массой $~M_s$: $$~E_s=M_s C^2_x=\frac {\delta G M^2_s}{2R_s},\qquad \qquad (2)$$ где $~R_s$ — радиус звезды, $~\delta$ зависит от распределения вещества в звезде и равна 0,6 в однородном случае.

Умножая на коэффициенты подобия энергию покоя атомного ядра $~m c^2$, где $~m$ — масса ядра, можно найти абсолютную величину полной энергии звезды главной последовательности: $$~E_s= m c^2 \Phi S^2= M_s c^2 S^2_0 \frac {A^2} {Z^2}= M_s C^2_s \frac {A^2} {Z^2}.$$

Коэффициент подобия по энергиям между атомом кислорода и Солнечной системой определяется произведением $~\Phi S^2$. Сравнение энергий ионизации электронов в атоме кислорода с удельной энергией планет в Солнечной системе за счёт их притяжения к Солнцу даёт отношение этих энергий, которое не более чем в три раза отличается от коэффициента подобия по энергиям.

Коэффициент подобия по размерам находится по формуле: $$~P= P_0 \frac {Z} {A},$$ где $~P_0 = 5,437 \cdot 10^{22}$ вычисляется из соотношений для водородной системы. Если умножить радиус Бора в атоме водорода на $~P_0$, получится значение 19,25 а.е., достаточно близкое к орбите Урана. Существует несколько способов оценки коэффициента подобия по размерам, дающих схожие результаты: 1) Сравнение полуосей орбит двойных звёзд и длин связи в молекулах. 2) Сравнение размеров Солнечной системы и атома кислорода. 3) Сравнение орбиты Меркурия и водородоподобного иона кислорода. 4) Сравнение размеров атомных ядер и звёзд.

Коэффициент подобия по времени: $$~\Pi= \frac {P}{S}= \Pi_0 \frac {Z^2} {A^2},$$ где $~\Pi_0 =\frac { P_0}{ S_0} =7,41 \cdot 10^{25}$.

С помощью коэффициентов подобия определяется звёздная постоянная Дирака для планетных систем звёзд главной последовательности: $$~\hbar_s =\hbar \Phi S P=\hbar \Phi S_0 P_0=2,8 \cdot 10^{41}$$Дж∙с., где $~\hbar$ — постоянная Дирака. Величина $~\frac {\hbar_s}{2}$ практически совпадает с собственным моментом импульса вращения Солнца.

Орбитальное движение планет

В квантовой механике считается, что атом кислорода имеет две электронных слоя. K-слой содержит 1s-оболочку и содержит два электрона. L-слой включает в себя 2s-оболочку с двумя электронами, и 2p-оболочку с четырьмя электронами. Предполагается, что электроны в s-состояниях не имеют орбитального момента импульса. Из формального сопоставления атома кислорода и Солнечной системы следует, что Меркурий и Венера эквивалентны 1s-оболочке, Земля и Марс — 2s-оболочке, а большие планеты, орбитальные моменты импульса которых намного больше, чем у планет земной группы, подобны 2p-оболочке атома кислорода.

В модели Бора атома водорода орбитальный момент импульса электрона квантуется: $$~L= n \hbar.$$

Если считать, что планеты при своём вращении вокруг Солнца мало влияют друг на друга и находятся на орбитах, разрешённых в водородоподобном атоме, то для удельных орбитальных моментов импульса планет c точностью до 25 % получается квантовое соотношение: $$~L_{ns}= \frac { L_n}{ M_n }= V_n R_n = K_1 n \frac {\hbar_s }{ M_{\Pi}},$$ где $~M_{\Pi}=6,06 \cdot 10^{25}$ кг — масса планеты, соответствующей электрону, $~ K_1= 0,5$ из соответствия с эмпирическими данными.

При подстановке сюда выражения для орбитальной скорости в виде $~V_n= \sqrt {\frac {G M_c}{R_n}}$ определяются орбитальные радиусы планет: $$~R_n= \frac { K^2_1 n^2 \hbar^2_s } {G M_c M^2_{\Pi} }.$$

Величина $~ K_1 \frac {\hbar_s }{ M_{\Pi}}=2,31 \cdot 10^{15}$ м²/c разграничивает планеты от спутников планет. Например, карликовая планета Церера, имеющая орбиту между Марсом и Юпитером, имеет удельный орбитальный момент импульса $~ 7,4 \cdot 10^{15}$ м²/c, тогда как у спутника Юпитера Каллисто эта величина значительно меньше: $~ 1,7 \cdot 10^{13}$ м²/c.

Орбитальные моменты импульса спутников планет

В спутниковых системах Юпитера, Сатурна и Урана, по аналогии с удельными орбитальными моментами планет, применяется квантовая формула Бора в виде: $$~\frac {L}{M}= V R = \frac {2 \pi R^2 }{T}= n K,$$ где $~L$ и $~M$ — орбитальный момент и масса спутника на круговой орбите, $~ V$ и $~ R$ — средняя скорость на орбите и средний радиус орбиты спутника, $~ T$ — период обращения по орбите с номером $~ n$, $~ K$ — некоторая константа, зависящая от спутниковой системы.

Во всех спутниковых системах отсутствует спутник с номером $~ n=1$, его роль играют кольца, расположенные вблизи каждой из планет.

В системе Юпитера имеется восемь регулярных спутников, начиная с Метиса ($~ n=2$) и кончая Каллисто с $~ n=8$. Остальные внешние восемь спутников от Леды до Синопе небольшие по размерам, имеют значительные эксцентриситеты и наклоны к экватору Юпитера, причём последние 4 спутника вращаются в обратную сторону. Их можно считать астероидами, захваченными Юпитером. Величина $~ K_1=1,65 \cdot 10^{12}$ м²/c целом характеризует регулярную спутниковую систему Юпитера, возникшую в период образования самой планеты.

Аналогичная ситуация имеет место для Сатурна (одиннадцать регулярных спутников от Атласа, Прометея и Пандоры с $~ n=2$ до Япета с $~ n=11$), и Урана (регулярные спутники от Корделии (1986 U7) с $~ n=2$ до Оберона с $~ n=9$), для которых $~ K_2=0,74 \cdot 10^{12}$ м²/c и $~ K_3=1,97 \cdot 10^{11}$ м²/c соответственно.

Смысл величин $~ K_1$,$~ K_2$ и $~ K_3$ заключается в том, что они отражают удельный орбитальный момент импульса той части облака, из которой начинается формирование той или иной планетной системы. Это подтверждается тем, что произведения экваториальных скоростей Юпитера, Сатурна и Урана на соответствующие радиусы планет близки к значениям $~ K_1$,$~ K_2$ и $~ K_3$ соответственно.

Суммарный момент импульса планетных систем

С помощью квантового подхода можно оценить, действительно ли планетные системы вокруг звёзд образуются из слабовращающихся газово-пылевых облаков. Если в первом приближении принять, что распределение масс планет в планетных системах таково, что орбитальные моменты импульса планет на орбите $~ n$ равны $~ L_n=n \hbar_s$, как в теории Бора для электрона, то для суммарного орбитального момента импульса получается: $$~L= \sum {L_n} = \hbar_s \sum^Z_{n=1} {n} = \hbar_s \frac {Z (Z+1)}{2},$$ где $~ Z$ — зарядовое число звезды, определяющее количество планет.

Суммарный момент импульса планетной системы складывается из собственного момента импульса вращения звезды $~ I_s$ и суммарного орбитального момента импульса планет: $~ L_0=I_s+L$. Величины $~ L_0$ были подсчитаны для планетных систем звёзд главной последовательности, исходя из наблюдаемых типичных скоростей вращения звёзд вокруг собственной оси, их масс и радиусов, а также с учётом массовых чисел $~A$ и зарядовых чисел $~Z$ звёзд, определяемых на основе их подобия с химическими элементами (смотри дискретность параметров звёзд). Поскольку планетные системы образуются из газово-пылевых облаков, то $~ L_0$ должны равняться моменту импульса таких облаков. Для облака с массой $~ M_s$ и радиусом $~ R$ оценка скорости общего вращения на экваторе даёт $~ V= \sqrt {\frac {G M_s}{R}}$. Тогда момент импульса облака равен: $$~ I= 0,4 D M_s V R =0,4 D M_s \sqrt {G M_s R},$$ где коэффициент $~ D$ отражает изменение момента импульса за счёт неоднородности плотности вещества и дифференциального вращения облака.

Между массой и радиусом облака существует зависимость: $~ M_s= \frac {4 \pi R^3 \rho}{3}$, где $~ \rho$ есть средняя плотность вещества облака. Кроме этого, по аналогии с массой атомных ядер, масса звезды связывается с массовым числом и массой звезды минимальной массы: $~ M_s=A M_{sp}.$ С учётом этого получается: $$~ I= 0,4 D G^{1/2} (\frac {3}{4 \pi \rho})^{1/6} M^{5/3}_{sp} A^{5/3}= B A^{5/3} = L_0. \qquad \qquad (3)$$

Значение $~ B=3 \cdot 10^{41}$ Дж∙с определяется из графика зависимости момента импульса $~ L_0$ планетной системы от массового числа $~ A$ и оказывается близким к значению звёздной постоянной Дирака $~\hbar_s$, что и должно быть для планетной системы из одной планеты и звезды главной последовательности минимальной массы.

Собственные моменты импульса планет

По аналогии с квантованием орбитальных и спиновых моментов импульса электронов в атомах, делается предположение и о квантовании собственных моментов импульса планет.

Для каждого гравитационно-связанного объекта массы $~ M$ и радиуса $~ R$ можно ввести свой характерный момент импульса по формуле: $$~L_x=M R C_x = M R \sqrt {\frac {\delta G M}{2R}}, \qquad \qquad (4)$$ где характерная скорость $~ C_x$ находится из соотношения для энергий, аналогичного (2).

Спин электрона обычно определяют через постоянную Планка в виде $~\frac {h}{4 \pi}$. Аналогично для планет собственные моменты импульса оказываются пропорциональны величине $~\frac {L_x}{4 \pi}$ и номеру планеты как квантовому числу $~ n$: $$~I_{\Pi}=\frac {K_2}{4 \pi } \sqrt {\frac {\delta G M}{2R}} M R n , \qquad \qquad (5)$$ где $~ K_2= 0,25$ из соответствия с эмпирическими данными.

В Таблице 1 сравниваются собственные моменты импульса планет с величинами, вычисленными по соотношению (5); видно, что лишь заторможенные планеты Меркурий и Венера заметно отклоняются от данной зависимости.

Таблица 1.

Планета	-	Меркурий	$7,97 \cdot 10^{29}$	$2,67 \cdot 10^{31}$
Венера	$1,78 \cdot 10^{31}$	$4,74 \cdot 10^{33}$
Земля	$5,87 \cdot 10^{33}$	$9,82 \cdot 10^{33}$
Марс	$2,0 \cdot 10^{32}$	$3,49 \cdot 10^{32}$
Юпитер	$4,1 \cdot 10^{38}$	$3,1 \cdot 10^{38}$
Сатурн	$7,1 \cdot 10^{37}$	$5,6 \cdot 10^{37}$
Уран	$1,4 \cdot 10^{36}$	$2,57 \cdot 10^{36}$
Нептун	$2,1 \cdot 10^{36}$	$3,72 \cdot 10^{36}$
Плутон	$7,8 \cdot 10^{28}$	$1,4 \cdot 10^{29}$

Большие и малые планеты

Квантование масс атомных ядер связывается с дискретностью масс нуклонов, входящих в состав ядер. Для планет также может быть обоснована дискретность масс, включая наличие минимальной и максимальной масс. Для расчёта значения максимальной массы используется равенство между гравитационной энергией планеты и электростатической энергией в расчёте на один атом. Если энергия гравитации слишком велика, электронные оболочки атомов вещества начинают сдавливаться и планета может превратиться в белый карлик, в котором силе гравитации противостоит давление вырожденных электронов. Для вещества планеты водородного состава максимальной электростатической энергии приблизительно соответствует энергия электрона в атоме водорода в основном состоянии. Равенство энергий имеет вид: $$~\frac {\delta G M^2} {NR} = \frac {e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_B } ,$$ где $~M$ и $~ R$ — масса и радиус планеты, $~N= \frac {M}{M_p}$ — число нуклонов в веществе планеты, $~ M_p$ — масса протона, $~ \varepsilon_0$ — электрическая постоянная, $~r_B$ — Боровский радиус.

Объём планеты можно вычислить как через радиус, так и через суммарный объём атомов водорода: $$~ \frac {4 \pi R^3} {3} = \frac {4 \pi N r^3_B} {3} .$$ С учётом этого при $~ \delta =0,6$ определяются масса и радиус массивной планеты, несколько превышающие массу и радиус Юпитера: $$~ M=\frac {e^3} {M^2_p (4 \pi \varepsilon_0 \delta G)^{1,5} } = 4,9 \cdot 10^{27}$$кг $~= 2,6 M_J$. $$~ R=\frac {e r_B} {M_p (4 \pi \varepsilon_0 \delta G)^{0,5} } = 7,6 \cdot 10^{7}$$м $~= 1,06 R_J$.

Для оценки минимальной массы планеты используется равенство половины гравитационной энергии и внутренней тепловой энергии согласно теореме вириала: $$~\frac {\delta G M^2} {2R} = \frac {3N kT}{2} ,$$ где $~k$ — постоянная Больцмана, $~ T$ — средняя внутренняя температура. Выражая массу планеты через плотность и радиус в виде $~ M=\frac {4 \pi \rho R^3 }{3}$, и используя равенство $~N= \frac {M}{M_p}$, находится масса и радиус: $$~ M=\frac {9 \pi \rho } {2} (\frac {kT}{\pi \delta G \rho M_p })^{1,5} .$$ $$~ R=\frac {3 } {2} (\frac {kT}{\pi \delta G \rho M_p })^{0,5} .$$

Подставляя сюда плотность вещества такую же, как у карликовой планеты Цереры $~2,1\cdot 10^{3}$ кг/м³, и температуру $~T=2,7$ К (температура фонового излучения), можно оценить минимальную массу и радиус планеты: $~M=7,3\cdot 10^{20}$ кг, $~R=440$ км, что несколько меньше параметров Цереры.

Звёздные постоянные

Для планетных систем звёзд главной последовательности звёздными постоянными являются:

1. Минимальная масса звезды главной последовательности, являющейся аналогом протона: $~M_{sp}=0,056 M_c=1,11\cdot 10^{29}$ кг.
2. Масса планеты, являющейся аналогом электрона: $~M_{\Pi}=6,06 \cdot 10^{25}$ кг или 10,1 масс Земли.
3. Звёздная скорость $~C_s=220$ км/с как характерная скорость частиц вещества в звезде главной последовательности с минимальной массой.
4. Звёздный радиус Бора в звёздной водородной системе: $~R_F=2,88 \cdot 10^{12}$ м = 19,25 а.е.
5. Орбитальная скорость планеты-аналога электрона на звёздном радиусе Бора в звёздной водородной системе: $~ V_{\Pi}=1,6$ км/с.
6. Звёздная постоянная тонкой структуры $~ \alpha_s =\frac { V_{\Pi}}{ C_s }=0,007297$.
7. Звёздная постоянная Дирака для планетных систем звёзд главной последовательности: $~\hbar_s =\hbar \Phi S P=\hbar \Phi S_0 P_0=2,8 \cdot 10^{41}$ Дж∙с.
8. Звёздная постоянная Больцмана:$~K_s = K_{ps} A$, где $~A$ массовое число звезды, $~K_{ps}= 1,18 \cdot 10^{33}$ Дж/К.
9. Звёздный моль определяется как количество вещества, состоящего из звёзд, число которых численно равно $~ N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ (звёздный моль)^-1, где $~ N_A$ есть число Авогадро.
10. Звёздная газовая постоянная для газа из звёзд: $~ R_{st} = K_s N_A = A K_{ps} N_A =A R_{pst}$, где $~ R_{pst}= K_{ps} N_A = 7,1 \cdot 10^{56}$ Дж/(К∙звёздный моль) — звёздная газовая постоянная для звёзд главной последовательности минимальной массы.
11. Гиромагнитное отношение для объекта-аналога электрона: $~ \frac {e }{ M_e } \frac { P^{0,5}_0 S_0}{\Phi^{0,5}}=3,69 \cdot 10^{-9}$ Кл/кг (или 1/(Тл∙с)), где $~e$ — элементарный заряд.
12. Гиромагнитное отношение для звёздного объекта-аналога атомного ядра: $~ \frac {e }{ M_p } \frac { P^{0,5}_0 S_0}{\Phi^{0,5}}=2,01 \cdot 10^{-12}$ Кл/кг (или 1/(Тл∙с)).
13. Звёздная постоянная Стефана-Больцмана: $~ \Sigma_s= \frac {\sigma \Phi }{ \Pi^3_0 } =9,3 \cdot 10^{-30}$ Вт/(м² ∙К⁴), где $~\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана.
14. Звёздная постоянная плотности излучения: $~ A_s= \frac {a \Phi S^2_0}{P^3_0} =1,69 \cdot 10^{-34}$ Дж/(м³∙К⁴), где $~a = \frac {4 \sigma}{c}$ — постоянная плотности излучения.
15. Ускорение свободного падения на поверхности звезды главной последовательности минимальной массы: $~g_s = \frac {G M_{sp}}{R^2_{sp}}= 3,1 \cdot 10^3$ м/с², при радиусе звезды $~ R_{sp}= 0,07$ радиуса Солнца.
16. Абсолютная величина полной энергии звезды главной последовательности с минимальной массой в собственном гравитационном поле: $~ E_s= M_{sp} C^2_s =5,4 \cdot 10^{39}$ Дж.

Системы с нейтронными звёздами

Подобие между нейтронными звёздами и нуклонами

Коэффициенты подобия в модели Федосина

Отношения массы (радиуса) типичной нейтронной звезды к массе (радиусу) протона определяют коэффициенты подобия по массе и размерам соответственно: $$~\Phi' = \frac {M_s}{M_p}=1,62 \cdot 10^{57} .$$ $$~P' = \frac {R_s}{R_p}=1,4 \cdot 10^{19} .$$

Из соотношения (2) оценивается характерная скорость частиц вещества рассматриваемой нейтронной звезды: $$~E_s=M_s {C'}^2_s=\frac {\delta G M^2_s}{2R_s}, \qquad C'_s= 6,8 \cdot 10^{7}$$м/с. Коэффициент подобия по скоростям равен: $$~S' = \frac { C'_s}{c}=0,23 ,$$ здесь $~c$ — скорость света.

Коэффициент подобия по времени, как отношение скоростей течения времени между элементарными частицами и нейтронными звёздами: $$~\Pi' = \frac {P'}{S'}=6,1 \cdot 10^{19} .$$

Величина звёздной постоянной Дирака для нейтронных звёзд: $$~\hbar'_s= \hbar \Phi' P' S' =5,5 \cdot 10^{41}$$Дж∙с. Данная величина близка к предельному моменту импульса собственного вращения нейтронных звёзд.

При умножении радиуса Бора в атоме водорода на $~P'$ получается значение $~R'_F =7,4 \cdot 10^{8}$ м. Это расстояние практически совпадает с пределом Роша, при котором планеты разрушаются в сильном гравитационном поле нейтронной звезды. Открытые возле нейтронных звёзд диски также имеют характерный радиус $~R_d$ порядка $~ R'_F$. С точки зрения подобия уровней материи и субстанциональной модели электрона, диски возле нейтронных звёзд подобны электронным дискам в атомах. Если умножить массу электрона на $~\Phi'$, получится оценка массы диска: $~ M_d= 1,5 \cdot 10^{27}$ кг. Модель электрона в виде диска даёт возможность объяснить происхождение электронного спина в атоме.

Магнитары

Исходя из подобия между атомами и звёздами, магнитары как сильно замагниченные нейтронные звёзды рассматриваются как аналоги протона. Подобие этих объектов показывается в субстанциональной модели протона, а эволюция — в субстанциональной модели нейтрона. Магнитары совместно с вращающимися вокруг них дисками образуют водородную систему для вырожденных объектов на уровне звёзд, причём момент импульса дисков в основном состоянии равен звёздной постоянной Дирака $~\hbar'_s$. Ожидается, что долговременная эволюция звёзд приведёт в конце концов к превращению всех звёзд в белые карлики, нейтронные звёзды и магнитары, причём последние будут образовывать группы звёзд наподобие атомных ядер и станут основой вещества на звёздном уровне. В таком случае масса каждой порции звёздного вещества будет квантованной с точностью до массы одного магнитара.

С помощью коэффициентов подобия и соотношений размерности физических величин определяются электрический заряд и магнитный момент магнитара, являющегося аналогом протона: $$Q_s = e (\Phi' P')^{0,5} S' = 5,5 \cdot 10^{18}$$Кл, $$P_{ms} = P_{mp} {\Phi'}^{0,5} {P'}^{1,5} {S'}^2 = 1,6 \cdot 10^{30}$$Дж/Тл. где $~e$ и $~P_{mp}$ — элементарный заряд и магнитный момент протона соответственно.

Значения электрического потенциала и индукции магнитного поля на полюсе магнитара: $$\psi_s = \frac { Q_s }{4 \pi \varepsilon_0 R_s}= 4,2\cdot 10^{24}$$В, $$B_s = \frac { \mu_0 P_{ms} }{2 \pi R^3_s}= 1,8\cdot 10^{11}$$Тл, здесь $~\mu_0$ — магнитная постоянная.

Отношение заряда магнитара к его массе согласно теории подобия даётся формулой: $$\frac {Q_s}{ M_s} = \sqrt {\frac {4 \pi \varepsilon_0 G M_e}{M_p} }.$$ где $~M_e$ и $~M_p$ — массы электрона и протона.

В водородной системе магнитар и диск заряжены одинаково и противоположно по знаку, как протон и электрон. Вращение диска создаёт магнитный момент, находимый по формуле: $$P_{md } = P_{me} {\Phi'}^{0,5} {P'}^{1,5} {S'}^2 = \frac {Q_s \hbar'_s }{2 M_d}= \sqrt {\frac {4 \pi \varepsilon_0 G M_p}{M_e} } \frac {\hbar'_s }{2} =1,03 \cdot 10^{33}$$Дж/Тл, где $~P_{me}$ — магнитный момент электрона.

Если исходить из оценок появления магнитаров и нейтронных звёзд в нашей Галактике: один магнитар за 10³ — 10⁵ лет, что даёт при возрасте Галактики более 13 миллиардов лет 10⁵ — 10⁷ магнитаров и на порядок большее количество нейтронных звёзд, то это позволяет объяснить причину космических лучей большой энергии. По одному из предположений, протоны и лёгкие ядра, из которых состоят космические лучи, ускоряются электрическими полями, возникающими за счёт быстрого вращения магнитного дипольного поля магнитаров. В отличие от этого, присутствие собственного электрического заряда и постоянного электрического поля у магнитара согласно подобию с протоном означает, что магнитары могут ускорять частицы космических лучей почти без затрат своей вращательной или магнитной энергий. Появление отрицательно заряженных дисков возле магнитаров приводит к электронейтральности системы и к уменьшению количества излучаемых космических лучей. Наличие большого количества магнитаров и нейтронных звёзд в центрах большинства галактик позволяет также не привлекать гипотезу массивных чёрных дыр для объяснения эффектов активных галактических ядер.

Значения звёздных постоянных

Для систем с нейтронными звёздами звёздные постоянные следующие:

1. Масса типичной нейтронной звезды, являющейся аналогом протона: $~M_s=1,35 M_c=2,7\cdot 10^{30}$ кг.
2. Масса диска, являющегося аналогом электрона: $~ M_d= 1,5 \cdot 10^{27}$ кг, что равно 250 массы Земли или 0,78 массы Юпитера.
3. Звёздная скорость $~ C'_s= 6,8 \cdot 10^{7}$ м/с как характерная скорость частиц вещества в типичной нейтронной звезде.
4. Звёздный радиус Бора в звёздной водородной системе: $~ R'_F = \frac {{\hbar'}^2_s }{G M_s M^2_d }=7,4 \cdot 10^{8}$ м.
5. Орбитальная скорость вещества диска на звёздном радиусе Бора в звёздной водородной системе: $~ V_d= \frac {G M_s M_d }{\hbar'_s }=496$ км/с.
6. Звёздная постоянная тонкой структуры $~ \alpha_s =\frac { V_d}{ C'_s } = \frac {G M_s M_d }{\hbar'_s C'_s }=0,007297$.
7. Звёздная постоянная Дирака: $~\hbar'_s= \hbar \Phi' P' S' =5,5 \cdot 10^{41}$ Дж∙с.
8. Звёздный заряд: $Q_s = e (\Phi' P')^{0,5} S' = 5,5 \cdot 10^{18}$ Кл.
9. Магнитный момент магнитара: $P_{ms} = P_{mp} {\Phi'}^{0,5} {P'}^{1,5} {S'}^2 = 1,6 \cdot 10^{30}$ Дж/Тл.
10. Магнитный момент диска-аналога электрона: $P_{md } = P_{me} {\Phi'}^{0,5} {P'}^{1,5} {S'}^2 =\frac {Q_s \hbar'_s }{ 2 M_d }=1,03 \cdot 10^{33}$ Дж/Тл.
11. Ускорение свободного падения на поверхности магнитара: $~g_m = \frac {G M_{s}}{R^2_{s}}= 1,2 \cdot 10^{12}$ м/с², при радиусе звезды $~ R_{s}= 12$ км.
12. Абсолютная величина полной энергии магнитара в собственном гравитационном поле: $~ E_m= M_s {C'}^2_s =1,2 \cdot 10^{46}$ Дж.

Переменные звёзды

Существует несколько видов звёзд, которые обнаруживают себя тем, что периодически изменяют свой блеск. К ним относятся:

1. Долгопериодические переменные звёзды типа Миры Кита (о Сet), периоды колебаний блеска от 90 до 1000 суток, преимущественно около 260—340 суток. Эти звёзды являются красными гигантами и сверхгигантами спектральных классов М, R, N, S, C и имеют массу порядка солнечной.
2. Полуправильные переменные типа SR, минимальные периоды — менее 50 суток, максимальные — до 1000 суток. Спектральные классы звёзд — F,G, K, M , а по светимости они являются гигантами и сверхгигантами.
3. Переменные звёзды типа α² Гончих Псов, имеющие сильные магнитные поля и вследствие этого разную яркость поверхности, изменяют свой блеск с периодами от 0,5 до 160 дней за счёт собственного вращения.
4. Звёзды типа RV Тельца, жёлтые супергиганты с периодами от 30 до 150 суток и спектральными классами F, G, K, M.
5. Классические или долгопериодические цефеиды, отличаются очень устойчивыми по амплитуде и периоду колебаниями блеска. Периоды от 1 до 70 суток (найдены также цефеиды с периодом более 100 суток в Магеллановых Облаках и в туманности Андромеды). Характерные представители цефеид — δ Цефея (принадлежит населению I) и W Девы (представитель населения II). Звёзды типа δ Цефея — сверхгиганты, в основном класса светимости Ib и спектральных классов от F5 до К0. Радиусы этих звёзд велики — от $~ 5 \cdot 10^{6}$ до $~ 10^{8}$ км при массе от 3 до 16 $M_c$. Массы звёзд типа W Девы порядка $0,55 M_c$.
6. Переменные типа Альфы Лебедя с периодами от нескольких суток до нескольких недель. Эти звёзды являются сверхгигантами спектральных классов B и A, изменения блеска возникают за счёт нерадиальных пульсаций.
7. Короткопериодические цефеиды типа RR Лиры с периодами от 0,2 до 1 суток с максимумом при 0,5 суток, принадлежат сферической составляющей (население II). Звёзды типа RRab с периодами более 0,44 суток имеют радиус $5,5 R_c$ и массу $0,5M_c$, а звёзды RRc (выделяются более гладкой формой кривой блеска) с периодами > 0,36 суток имеют радиус $4,5 R_c$ и массу $0,6 M_c$.
8. Звёзды типа β Цефея (а также типа β СМа) имеют класс светимости IV или III (субгиганты, гиганты), спектральные классы В0,5 — В2 , массы более $10M_c$ и периоды пульсаций 3 — 7 часов.
9. Звёзды типа δ Щита (карликовые цефеиды) спектральных классов А или F, периоды пульсаций 1,3 — 7,2 часа. Принадлежат населению I . При периоде 3,36 часа радиус звёзд достигает $3R_c$, а масса $2 M_c$.
10. Звёзды типа χ Сеn, спектры В2 IV или III , периоды 29 — 43 минуты с очень маленькой амплитудой.
11. Пульсирующие белые карлики типа ZZ Ceti, с периодами от сотен до тысяч секунд.

За каждый период пульсаций звёзды излучают следующие кванты энергии: о Сеt (Мира) за период 331 суток — до $10^{38}$ Дж, звёзды типа δ Щита за 3 часа — порядка $10^{33}$ Дж. Причинами изменения блеска периодических переменных звёзд являются обычно радиальные и нерадиальные пульсации, хромосферная активность, периодические затмения звёзд в тесной двойной системе. Соответственно все переменные звезды разделяются на три больших класса: пульсирующие переменные, эруптивные переменные и затменные переменные. Классы подразделяются на типы, некоторые типы — на подтипы. Механизм пульсаций цефеид связан с сильной зависимостью непрозрачности гелиевых и водородных слоёв звёзд от степени их ионизации. При сжатии звезды увеличивается ионизация вещества, излучение сильнее задерживается в веществе, нагревает его и останавливает возникшее сжатие. При расширении звезды, наоборот, ионизация уменьшается, а звезда охлаждается за счёт уходящего излучения. В некоторый момент звезда начинает сжиматься за счёт сил тяготения, проскакивает положение равновесия и затем повторяется новый цикл.

Нейтронные звёзды-пульсары обладают наиболее высокой точностью повторения периодов своего вращения, что обнаруживается по импульсам радиоизлучения от их активных зон, находящихся вероятно вблизи магнитных полюсов и вращающихся вместе со звездой. В частности, период следования импульсов от пульсара PSR 1937+214 равен 0,0015578064488724 секунды и известен с точностью до 13 значащих цифр, что сравнимо с точностью лучших атомных стандартов частоты.

Галактические системы

Подобие между звёздами главной последовательности и галактиками

Галактические коэффициенты подобия

Учитывая разделение уровней материи на основные и промежуточные, и дискретность коэффициентов подобия (смотри соответствующий раздел в статье подобие уровней материи), когда массы и размеры объектов нарастают согласно геометрической прогрессии, Сергей Федосин определил, что наша Галактика подобна изотопу атому с массовым числом $~A=18-20$. Отношение масс галактик к соответствующим им массам звёзд главной последовательности равно $~D^2_{\Phi}$, где $D_{\Phi } = \Phi^{1/10} =3,8222 \cdot 10^{5}$ — коэффициент подобия по массе между соседними уровнями материи.

Масса нормальной галактики минимальной массы, соответствующей минимальной массе звезды главной последовательности, получается путём умножения массы звезды на $~D^2_{\Phi}$: $$~M_{gp}= M_{sp} D^2_{\Phi} =8,15 \cdot 10^{9} M_c,$$ где $~ M_c$ — масса Солнца.

Повторное умножение на $~D^2_{\Phi}$ даёт массу нормальной метагалактики минимальной массы: $$~M_{mp}= M_{gp} D^2_{\Phi} =1,19 \cdot 10^{21} M_c.$$

Планете-аналогу электрона соответствует карликовая галактика с массой $~M_{ge}= M_{\Pi} D^2_{\Phi} =4,43 \cdot 10^{6} M_c$.

Отношение радиусов галактик к соответствующим радиусам звёзд главной последовательности равно $~D^6_P$, где $D_P = P^{1/12}_0 =78,4538$ — коэффициент подобия по размерам между соседними уровнями материи. Путём умножения радиуса звезды главной последовательности минимальной массы 0,07 радиуса Солнца на $~D^6_P$ получается радиус нормальной галактики минимальной массы: $~R_{gp}=370$ пк. Данный радиус является средним по объёму радиусом, но поскольку нормальные галактики являются обычно плоскими спиральными системами, радиус диска галактик минимальной массы достигает 2,5 кпк. Тем же способом, умножая радиус планеты-аналога электрона $~ 2 \cdot 10^{7}$ м на $~D^6_P$, делается оценка среднего радиуса карликовой галактики: 151 пк.

Значение характерной скорости галактики $~C_g$ может быть найдено из соотношения (2): $~C_g= \sqrt {\frac {\delta G M_{gp}}{2R_{gp}}}=169$ км/с. Отношение галактической скорости $~C_g$ к звёздной скорости $~C_s$ даёт коэффициент подобия по скоростям: $~ D_s =\frac {C_g}{ C_s}=0,77$.

Путём умножения звёздной постоянной Дирака на коэффициенты подобия определяется галактическая постоянная Дирака: $$~\hbar_g =\hbar_s D^2_{\Phi} D_s D^6_P =6,1 \cdot 10^{63}$$Дж∙с.

Собственный момент импульса спиральных галактик в зависимости от их массы в системе физических единиц СИ может быть аппроксимирован выражением: $$~I_g= 1,2 \cdot 10^{-2} M^{5/3}_g .$$ Отсюда при массе $~M_{gp}$ находится момент импульса нормальной галактики минимальной массы: $~I_{gp}=1,2 \cdot 10^{65}$ Дж∙с. По данным из других источников $~I_{gp}=7 \cdot 10^{64}$ Дж∙с. Таким образом, вследствие своей сплюснутой формы спиральные галактики имеют момент импульса, более чем на порядок превышающий момент импульс $~\hbar_g /2$, который они имели бы при сферической форме согласно теории подобия.

Образование галактик из газо-пылевых облаков

Предполагая подобными процессы образования звёзд и галактик из газо-пылевых водородных облаков, можно приравнять соотношение (3) в применении к моменту импульса галактик, и эмпирическую зависимость спина галактик от массы: $$~ I= 0,4 D G^{1/2} (\frac {3}{4 \pi \rho})^{1/6} M^{5/3}_g= 1,2 \cdot 10^{-2} M^{5/3}_g,$$ откуда следует соотношение $~ \rho = D^6 \cdot 9,2 \cdot 10^{-23}$ кг/м³. Между радиусом родительского облака нашей Галактики, плотностью вещества и массой существует стандартное соотношение, подставляя в которое плотность вещества $~ \rho$ и массу Галактики $~ M_g$, можно получить: $$~ R = (\frac {3 M_g}{4 \pi \rho })^{1/3}$$= 30 кпк/$D^2$. Радиус короны Галактики достигает 40 кпк, а старые звёзды обнаруживаются на расстояниях до 46 кпк. Если считать последний радиус радиусом звездообразования в первичном облаке, то средняя плотность облака в этот момент получается порядка $~ 2,5 \cdot 10^{-23}$ кг/м³.

Соотношение Гейзенберга

Принцип неопределённости Гейзенберга связывает характерные изменения энергии атомов и промежутки времени изменения энергии формулой: $$~ \Delta E \Delta t \geq h ,$$ где $~h$ — постоянная Планка.

Для звёздных и галактических систем аналогично можно записать: $$~ \Delta E \Delta t \geq L_x ,$$ где $~L_x$ — характерный момент импульса, связанный либо с собственным моментом импульса объекта $~ I$ соотношением вида $~L_x =4 \pi I$, либо с орбитальным моментом соотношением вида $~L_x =2 \pi L$.

Если считать, что для Галактики изменение энергии равно полной энергии в поле гравитации: $~ \Delta E=2 \cdot 10^{52}$ Дж, а промежуток времени равен времени релаксации в поле регулярных сил $~ \Delta t=\frac {2}{\sqrt {G \rho} }=3 \cdot 10^8 - 10^9$ лет, где $~ \rho$ — плотность вещества, то это позволяет сделать оценку характерного момента импульса Галактики: $$~ L_x \approx \Delta E \Delta t = (2-6) \cdot 10^{68}$$Дж∙с.

Данную величину можно сравнить с моментом импульса Галактики порядка $~ I = 1,8 \cdot 10^{67}$ Дж∙с.

С момента обособления Галактики как отдельного объекта в ней начинается образование звёзд, для которых также справедливо соотношение Гейзенберга. Заменяя в нём изменение энергии на полную энергию звезды $~ \Delta E=E_s$, и считая промежуток времени равным времени образования звезды (время Кельвина-Гельмгольца) $~ \Delta t=t_{KH}$, приходим к следующему: $$~ E_s t_{KH} \approx h_o ,$$ где $~ h_o$ характерный орбитальный момент импульса звезды в Галактике. Для вращения Солнца в Галактике орбитальный момент импульса приблизительно равен $~ L_c = (1,15-1,53) \cdot 10^{56}$ Дж∙с. Характерный орбитальный момент импульса звезды превышает в 2π раз её орбитальный момент импульса при вращении в Галактике, при этом чем больше масса звёзд, тем меньше для них получается величина $~h_o$. Это связано с тем, что массивные звёзды тяготеют к центру Галактики, где меньше орбитальный момент импульса, с другой стороны, массивные звёзды быстрее формируются и эволюционируют. Для наиболее распространенных маломассивных звёзд $~h_o =2,1 \cdot 10^{57}$ Дж/с.

Волны плотности

Большое количество наблюдаемых галактик являются существенно плоскими спиральными системами. Например, отношение диаметра нашей Галактики к её толщине равно приблизительно 30. Если рассматривать Галактику как плоский диск, то с помощью статистического подхода можно качественно понять возникновение в ней спиральных рукавов как некоторой формы пространственного квантования. В стационарном случае для гравитационного потенциала $~\varphi$ справедливо уравнение Пуассона: $$~ \Delta\varphi = \frac {d^2 \varphi }{dr^2} =4 \pi G \rho ,$$ где $~\rho$ плотность вещества, зависящая от радиуса $~r$.

Плотность вещества можно рассматривать в виде $~\rho = \rho_0 + \rho'$, где $~\rho'$ является малой добавкой к основной плотности вещества $~\rho_0$. Аналогично потенциал будет состоять из двух частей: $~\varphi = \varphi_0 + \varphi'$. Благодаря добавке потенциала, звезда с массой $~M$ будет обладать дополнительной энергией $~U=M \varphi'$. Звёзды, вращающиеся вокруг ядра Галактики, образуют звёздный газ, который характеризуется температурой $~T$. Можно считать, что для зависимости отклонения распределения плотности от среднего значения справедлива статистическая формула: $$~\rho' = \varrho \exp {(- \frac {U}{K_s T})} =\varrho \exp {(- \frac { M \varphi'}{K_s T})},$$ где $~\varrho$ есть амплитуда изменения плотности, $~ K_s$ — звёздная постоянная Больцмана.

Раскладывая экспоненту для плотности в виде: $$~\rho' = \varrho - \frac { \varrho M \varphi'}{K_s T},$$ и решая уравнение Пуассона только лишь для $~ \rho'$, находим добавку потенциала: $$~\varphi' = \frac { K_s T }{M} + A \sin {(r \sqrt {\frac {4 \pi G \varrho M}{ K_s T } } + \beta)},$$ где $~ A$ и $~ \beta$ — некоторые константы.

С учётом этой добавки потенциала, добавка плотности имеет вид: $$~~\rho' = -\frac { A \varrho M }{ K_s T } \sin {(r \sqrt {\frac {4 \pi G \varrho M}{ K_s T } } + \beta )}.$$ Колебания плотности $~\rho'$ на фоне средней плотности выглядят как кольца в диске Галактики. С учётом периодичности синуса, для изменения радиуса $~\delta r$ между соседними максимумами получается: $$~~\delta r = \sqrt {\frac {\pi K_s T }{G \varrho M } }.$$

При значении $~ K_s \approx 10^{33}$ Дж/К, кинетической температуре движения звёзд $~T \approx 10^{6}$ К, $~\varrho = 5 \cdot 10^{-21}$ кг/м³ как средней плотности вещества на галактической орбите Солнца, и средней массе звезды порядка половины массы Солнца, будет $~~\delta r = 3$ пк. Это совпадает с наблюдаемой величиной шага между спиралями, в которые вытягиваются кольца вследствие вращения Галактики.

См. также

Дискретность параметров звёзд Звёздные постоянные Водородная система Бесконечная вложенность материи Подобие уровней материи SPФ-симметрия Сильная гравитация Постоянная сильной гравитации Теория систем Системология Эквивалентность массы и энергии

Принцип неопределённости Гейзенберга Звёздная постоянная Планка Звёздная постоянная Дирака Звёздная постоянная Больцмана Звёздная постоянная Стефана-Больцмана Модель кварковых квазичастиц Субстанциональная модель нейтрона Субстанциональная модель протона Субстанциональная модель электрона Спин

Внешние ссылки

• Quantization of parameters of cosmic systems