Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

From Традиция
Jump to navigation Jump to search
В этой статье вектора и их величины выделены жирным шрифтом и курсивом, например, | A | = A \left| \mathbf{A} \right| = A .
Рис. 1: Вектор Лапласа — Рунге — Ленца A (показанный красным цветом) в четырёх точках (обозначенных 1, 2, 3 и 4) на эллиптической орбите связанной точечной частицы, движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния. Маленький чёрный круг обозначает центр притяжения. От него начинаются радиус-векторы (выделены чёрным цветом), направленные в точки 1, 2, 3 и 4. Вектор углового момента L направлен перпендикулярно орбите. Компланарные векторы p×L, (mk/r)r и A изображены синим, зелёным и красным цветами, соответственно; эти переменные определены ниже. Вектор A является постоянным по направлению и величине.

В классической механике ве́ктор Лапла́са — Ру́нге — Ле́нца — вектор, который используется в основном для описания формы и ориентации орбиты движения одного астрономического тела вокруг другого, наподобие планеты, вращающейся вокруг солнца. Для двух тел, гравитационная сила взаимодействия которых описывается законом всемирного тяготения Ньютона, вектор Лапласа — Рунге — Ленца — интеграл движения, то есть он не изменяется от времени [1], что эквивалентно сохранению вектора Лапласа — Рунге — Ленца. Более широко этот вектор сохраняется во всех задачах с двумя телами, взаимодействующими посредством центральной силы, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Такие задачи называют задачами Кеплера [2]. Например, такой потенциал возникает при рассмотрении классических орбит (без учёта квантования) в задаче о движении отрицательно заряженного электрона движущегося в электрическом поле положительно заряженного ядра. Если вектор Лапласа — Рунге — Ленца задан, то форма их относительного движения может быть получена из простых геометрических соображений, с использованием законов сохранения этого вектора и энергии.

Согласно принципу соответствия у вектора Лапласа — Рунге — Ленца имеется квантовый аналог, который был использован в первом выводе спектра атома водорода [3], ещё перед открытием уравнения Шрёдингера.

В задаче Кеплера имеется необычная особенность: конец вектора импульса p всегда движется по кругу [4]. Из-за расположения этих кругов для заданной полной энергии E, проблема Кеплера математически эквивалентна частице, свободно перемещающейся в четырёхмерной сфере [5]. По этой математической аналогии, сохраняющийся вектор Лапласа — Рунге — Ленца эквивалентен дополнительным компонентам углового момента в четырёхмерном пространстве [6].

Вектор Лапласа — Рунге — Ленца также известен как вектор Лапласа, вектор Рунге-Ленца и вектор Ленца, хотя ни один из этих ученых не вывел его впервые. Вектор Лапласа — Рунге — Ленца открывался вновь несколько раз [7]. Он также эквивалентен безразмерному вектору эксцентриситета в небесной механике [8]. Точно так же для него нет никакого общепринятого обозначения, хотя обычно используется A. Для различных обобщений вектора Лапласа — Рунге — Ленца, которые определены ниже, используется символ A \mathcal{A} .

Контекст[edit | edit source]

Одиночная частица, движущаяся под воздействием любой консервативной центральной силы, имеет, по крайней мере, четыре интеграла движения (сохраняющиеся при движении величины): полная энергия E и три компоненты углового момента (вектора L). Орбита частицы лежит в плоскости, которая определяется начальным импульсом частицы, p (или, что эквивалентно, скоростью v) и координатами, то есть радиус-вектором r между центром силы и частицей (см. рис. 1). Эта плоскость перпендикулярна постоянному вектору L и её уравнение может быть выражено математически с помощью скалярного произведения r·L = 0.

Как определено ниже, вектор Лапласа-Рунге-Ленца A всегда находится в плоскости движения — то есть, A·L = 0 — для любой центральной силы. Также A является постоянным только для силы зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [2]. Если центральная сила приблизительно зависит как обратный квадрат расстояния, вектор A является приблизительно постоянным по длине, но медленно вращается. Для большинства центральных сил, однако, этот вектор A не постоянный, а изменяет длину и направление. Обобщённый сохраняющийся вектор Лапласа-Рунге-Ленца A \mathcal{A} может быть определен для всех центральных сил, но этот вектор — сложная функция положения, и обычно не выражается аналитически в элементарных или специальных функциях [9][10].

История[edit | edit source]

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца A является сохраняющейся величиной в задаче Кеплера и полезен при описании астрономических орбит, наподобие движения планеты вокруг Солнца. Однако он никогда не был широко известен среди физиков, возможно, потому что является менее интуитивно понятным вектором, чем импульс и угловой момент. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца независимо открывали несколько раз за прошедшие три столетия [7]. Яков Герман был первым, кто показал, что A сохраняется для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния [11], и нашёл его связь с эксцентриситетом эллиптической орбиты. Работа Херманна была обобщена до её современной формы Иоганном Бернулли в 1710 [12]. В свою очередь Пьер-Симон Лаплас в конце XVIII столетия, открыл сохранение A вновь, доказав это аналитически, а не геометрически, как его предшественники [13].

В середине XIX века, Уильям Гамильтон получил эквивалент вектора эксцентриситета определенный ниже [8], использовав его, чтобы показать, что конец вектора импульса p двигается по кругу под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния (Рис. 3) [4]. В начале XX столетия, Уиллард Гиббс получил тот же самый вектор с помощью векторного анализа [14]. Вывод Гиббса использовал Карл Рунге в популярном немецком учебнике по векторам в качестве примера [15], на который ссылался Вильгельм Ленц в своей статье о квантовомеханическом (старом) рассмотрении атома водорода [16].

В 1926, этот вектор использовал Вольфганг Паули, чтобы вывести спектр атома водорода, используя современную матричную квантовую механику, а не уравнение Шрёдингера [3]. После публикации Паули, вектор стал, главным образом, известен как вектор Рунге-Ленца.

Математическое определение[edit | edit source]

Для одиночной частицы движущейся под действием центральной силы, зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния описываемой уравнением F ( r ) = k r 2 r ^ \mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}} , вектор Лапласа-Рунге-Ленца A определен математически по формуле [2] A = p × L m k r ^ , \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} ,

где

  • m m\!\, масса точечной частицы, движущейся вод воздействием центральной силы,
  • p \mathbf{p}\!\, — вектор импульса,
  • L = r × p \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\!\, — вектор углового момента,
  • k k\!\, — параметр, описывающий величину центральной силы,
  • r ^ \mathbf{\hat{r}}\!\, — единичный вектор, то есть r ^ = r r \mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r} , где r \mathbf{r}\!\, — радиус-вектор положения частицы, и r его длина.

Поскольку мы предположили, что сила консервативная, то полная энергия E сохраняется E = p 2 2 m k r = 1 2 m v 2 k r E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}

Из центральности силы следует, что вектор углового момента L также сохраняется и определяет плоскость, в которой частица совершает движение. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца A перпендикулярен вектору углового момента L и, таким образом, находится в плоскости орбиты. Уравнение A•L = 0 верно, потому что вектора p×L и r перпендикулярны L.

Это определение вектора Лапласа-Рунге-Ленца A применимо для единственной точечной частицы с массой m, движущейся в стационарном (не зависящем от времени) потенциале. Кроме того, то же самое определение может быть расширено на проблему с двумя телами, наподобие проблемы Кеплера, если заменить m на приведённую массу этих двух тел и r на вектор между этими телами.

Круговой годограф импульса[edit | edit source]

Рис. 2: Конец вектора импульса p (показанный синим цветом) двигается по кругу, когда частица совершает движение по эллипсу. Четыре помеченные точки соответствуют точкам на рис. 1. Центр круга находится на оси y в точке A/L (показан пурпурным), с радиусом mk/L (показан зелёным). Угол η определяет эксцентриситет e эллиптической орбиты (cos η = e). Из теоремы о вписанном угле для круга следует, что η является также углом между любой точкой на окружности и двумя точками пересечения окружности с осью px, pxp0.

Сохранение вектора Лапласа-Рунге-Ленца A и вектора углового момента L используется в доказательстве того, что вектор импульса p движется по кругу под действием центральной силы обратно пропорциональной квадрату расстояния. Вычисляя векторное произведение A и L, приходим к уравнению для p L 2 p = L × A m k r ^ × L L^{2} \mathbf{p} = \mathbf{L} \times \mathbf{A} - mk \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{L}

Направляя вектор L вдоль оси z, а главную полуось — по оси x приходим к уравнению p x 2 + ( p y A / L ) 2 = ( m k / L ) 2 . p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = \left( mk/L \right)^{2}.

Другими словами, вектор импульса p ограничен окружностью радиуса mk/L, центр которой расположен в точке с координатами (0, A/L). Эксцентриситет e соответствует косинусу угла η, показанного на рис. 2. Для краткости можно ввести переменную p 0 = 2 m | E | p_{0} = \sqrt{2m\left| E \right|} . Круговой годограф полезен для описания симметрии проблемы Кеплера.

Интегралы движения и суперинтегрируемость[edit | edit source]

Семь скалярных величин: энергия E, и компоненты векторов Лапласа-Рунге-Ленца A и момента импульса L связаны двумя соотношениями. Для векторов выполняется условие ортогональности A•L=0, а энергия входит в выражение для квадрата длины вектора Лапласа-Рунге-Ленца, полученного выше A2 = m2k2 + 2 m E L2. Тогда существует пять независимых сохраняющихся величин, или интегралов движения. Это совместимо с шестью начальными условиями (начальное положение частицы и её скорость являются векторами с тремя компонентами), которые определяют орбиту частицы, так как начальное время не определено интегралами движения. Поскольку величину A (и эксцентриситет e орбиты) можно определить из полного углового момента L и энергии E, то утверждается, что только направление A сохраняется независимо. Кроме того, вектор A должен быть перпендикулярным L — это приводит к одной дополнительной сохраняющейся величине.

Механическая система с d степенями свободы может обладать максимум 2d-1 интегралами движения, поскольку 2d начальных условия и начальное время не могут быть определены из интегралов движения. Система с более чем d интегралами движения называется суперинтегрируемой, а система с 2d-1 интегралами называется максимально суперинтегрируемой [17]. Поскольку решение уравнения Гамильтона-Якоби в одной системе координат может привести только к d интегралам движения, то переменные должны разделяться для суперинтегрируемых систем в больше чем одной системе координат [18]. Проблема Кеплера — максимально суперинтегрируема, так как она имеет три степени свободы (d=3) и пять независимых интегралов движения; переменные в уравнении Гамильтона-Якоби разделяются в сферических координатах и параболических координатах [19], как описано ниже. Максимально суперинтегрируемые системы могут быть квантованы с использованием только коммутационных соотношений, как показано ниже [20].

Уравнение Гамильтона-Якоби в параболических координатах[edit | edit source]

Постоянство вектора Лапласа-Рунге-Ленца можно вывести, используя уравнение Гамильтона-Якоби в параболических координатах (ξ, η), которые определяются следующим образом ξ = r + x \xi = r + x η = r x \eta = r - x

где r — радиус в плоскости орбиты r = x 2 + y 2 r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Обратное преобразование этих координат запишется в виде x = 1 2 ( ξ η ) x = \frac{1}{2} \left( \xi - \eta \right) y = ξ η . y = \sqrt{\xi\eta}.

Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби в этих координатах даёт два эквивалентных уравнения [19][21] 2 ξ p ξ 2 m k m E ξ = β 2\xi p_{\xi}^{2} - mk - mE\xi = -\beta 2 η p η 2 m k m E η = β , 2\eta p_{\eta}^{2} - mk - mE\eta = \beta,

где β — интеграл движения. Посредством вычитания этих уравнений и выражения в терминах декартовых координат импульса px и Py можно показать, что β эквивалентен вектору Лапласа-Рунге-Ленца β = p y ( x p y y p x ) m k x r = A x . \beta = p_{y} \left( x p_{y} - y p_{x} \right) - mk\frac{x}{r} = A_{x}.

Этот подход Гамильтона-Якоби может использоваться, чтобы вывести сохраняющийся обобщённый вектор Лапласа-Рунге-Ленца A \mathcal{A} в присутствии электрического поля E [19][22] A = A + m q 2 [ ( r × E ) × r ] , \mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right] ,

где qзаряд обращающейся частицы.

Альтернативная формулировка[edit | edit source]

В отличие от импульса p и углового момента L, у вектора Лапласа-Рунге-Ленца нет общепринятого определения. В научной литературе используются несколько различных множителей и символов. Самое общее определение дается выше, но другое определение возникает после деления на постоянную mk, чтобы получить безразмерный сохраняющийся вектор эксцентриситета e = 1 m k ( p × L ) r ^ = m k ( v × r × v ) r ^ , \mathbf{e} = \frac{1}{mk} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \mathbf{\hat{r}} = \frac{m}{k} \left(\mathbf{v} \times \mathbf{r} \times \mathbf{v}\right) - \mathbf{\hat{r}} ,

где v — вектор скорости. Направление этого скалированного вектора e совпадает с направлением A и его амплитуда равна эксцентриситету орбиты. Мы получим другие определения, если поделить A на m, M = v × L k r ^ \mathbf{M} = \mathbf{v} \times \mathbf{L} - k\mathbf{\hat{r}}

или на p0 D = A p 0 = 1 2 m | E | { p × L m k r ^ } \mathbf{D} = \frac{\mathbf{A}}{p_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2m\left| E \right|}} \left\{ \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}} \right\}

который имеет ту же размерность, что и угловой момент (вектор L). В редких случаях, знак вектора Лапласа-Рунге-Ленца может быть изменён на противоположный. Другие общие символы для вектора Лапласа-Рунге-Ленца включают a, R, F, J и V. Однако выбор множителя и символа для вектора Лапласа-Рунге-Ленца, конечно же, не влияет на его сохранение.

Рис. 3: Вектор углового момента L, вектор Лапласа-Рунге-Ленца A и вектор Гамильтона, бинормаль B, является взаимно перпендикулярными; A и B указывают на большую и на малую полуоси, соответственно, эллиптической орбиты в задаче Кеплера.

Альтернативный сохраняющийся вектор: бинормаль — вектор B изучен Уильямом Гамильтоном [8] B = p ( m k L 2 r )   ( L × r ) , \mathbf{B} = \mathbf{p} - \left(\frac{mk}{L^{2}r} \right) \ \left( \mathbf{L} \times \mathbf{r} \right),

который сохраняется и указывает вдоль малой полуоси эллипса. Вектор Лапласа-Рунге-Ленца A = B×L является векторным произведением B и L (Рис. 3). Вектор B обозначен как бинормаль, так как он перпендикулярен как A, так и L. Подобно вектору Лапласа-Рунге-Ленца, вектор бинормали можно определить с различными множителями.

Два сохраняющиеся вектора, A и B можно объединить в сохраняющийся двухэлементный тензор W W = α A A + β B B , , \mathbf{W} = \alpha \mathbf{A} \otimes \mathbf{A} + \beta \, \mathbf{B} \otimes \mathbf{B}, ,

где \otimes обозначает тензорное произведение, а α и β — произвольные множители [9]. Записанное в компонетной записи это уравнение читается так W i j = α A i A j + β B i B j W_{ij} = \alpha A_{i} A_{j} + \beta B_{i} B_{j}

Векторы A и B ортогональны друг другу и их можно представить, как главные оси сохраняющегося тензора W, то есть как его собственные вектора. W перпендикулярен L L W = α ( L A ) A + β ( L B ) B = 0 , \mathbf{L} \cdot \mathbf{W} = \alpha \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} \right) \mathbf{A} + \beta \left( \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} \right) \mathbf{B} = 0,

поскольку A и B перпендикалярны, то L A = L B = 0 \mathbf{L} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{L} \cdot \mathbf{B} = 0 .

Вывод орбит Кеплера[edit | edit source]

Рис. 4: Упрощенная версия Рис. 1. Определяется угол θ между A и r в одной точке орбиты.

Форма и ориентация орбиты в задаче Кеплера, зная вектор Лапласа-Рунге-Ленца A, можно определить следующим образом. Рассмотрим скалярное произведение векторов A и r (положения планеты): A r = A r cos  Косинус  θ = r ( p × L ) m k r , \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = Ar \cos\theta = \mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - mkr ,

где θ является углом между r и A (Рис. 4). Поменяем порядок множителей в смешанном произведении r•(p×L)=L•(r×p)=L•L=L2, и при помощи несложных преобразований получим определение для конического сечения: 1 r = m k L 2 ( 1 + A m k cos  Косинус  θ ) \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)

с эксцентриситетом e e\!\, заданным по формуле: e = A m k = | A | m k . e = \frac{A}{mk} = \frac{\left|\mathbf{A}\right|}{m k}.

Приходим к выражению квадрата модуля вектора A в виде A 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 , A^2= m^2 k^2 + 2 m E L^2,

которое можно переписать используя эксцентриситет орбиты e 2 1 = 2 L 2 m k 2 E e^{2} - 1= \frac{2L^{2}}{mk^{2}}E

Таким образом, если энергия отрицательна, что соответствует связанным орбитам, эксцентреситет меньше чем единица, и орбита имеет форму эллипса. Наоборот, если энергия положительна (несвязанные орбиты, также называемые орбитами рассеяния), эксцентриситет больше чем единица и орбита — гипербола. Наконец, если энергия точно равно нулю, эксцентриситет — единица, и орбита — парабола. Во всех случаях, вектор A направлен вдоль оси симметрии конического сечения и указывает на точку самого близкого положения точечной частицы от начала координат.

Сохранение под действием силы обратно пропорцинальной квадрату расстояния[edit | edit source]

Сила F \mathbf{F} , действующая на частицу предполагается центральной. Поэтому F = d p d t = f ( r ) r r = f ( r ) r ^ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = f(r) \frac{\mathbf{r}}{r} = f(r) \mathbf{\hat{r}}

для некоторой функции f ( r ) f(r) радиуса r r . Поскольку угловой момент L = r × p \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} сохраняется под действием центральных сил, то d d t L = 0 \frac{d}{dt}\mathbf{L} = 0 и d d t ( p × L ) = d p d t × L = f ( r ) r ^ × r × m d r d t = f ( r ) m r [ r ( r d r d t ) r 2 d r d t ] , , \frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \times \mathbf{L} = f(r) \mathbf{\hat{r}} \times \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{r}}{dt} = f(r) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) - r^{2} \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right], ,

где импульс записан в виде p = m d r d t \mathbf{p} = m \frac{d\mathbf{r}}{dt} , и тройное векторное произведение упростилось с помощью формулы Лагранжа r × r × d r d t = r ( r d r d t ) r 2 d r d t . \mathbf{r} \times \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) - r^{2} \frac{d\mathbf{r}}{dt}.

Тождество d d t ( r r ) = 2 r d r d t = d d t ( r 2 ) = 2 r d r d t \frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} \right) = 2 \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( r^{2} \right) = 2r\frac{dr}{dt}

приводит к уравнению d d t ( p × L ) = m f ( r ) r 2 [ 1 r d r d t r r 2 d r d t ] = m f ( r ) r 2 d d t ( r r ) . \frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = -m f(r) r^{2} \left[ \frac{1}{r} \frac{d\mathbf{r}}{dt} - \frac{\mathbf{r}}{r^{2}} \frac{dr}{dt}\right] = -m f(r) r^{2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right).

Для специального случая центральной силы, зависящей обратно пропорцинальной квадрату расстояния f ( r ) = k r 2 f(r)=\frac{-k}{r^{2}} , последнее выражение равно d d t ( p × L ) = m k d d t ( r r ) = d d t ( m k r ^ ) \frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = m k \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right) = \frac{d}{dt} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right)

Тогда A сохраняется в этом случае d d t A = d d t ( p × L ) d d t ( m k r ^ ) = 0 \frac{d}{dt} \mathbf{A} = \frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{d}{dt} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = 0

Как показано ниже, вектор Лапласа-Рунге-Ленца A является частным случаем обобщённого сохраняющегося вектора A \mathcal{A} , который может быть определён для любой центральной силы [9][10]. Однако большинство центральных сил не формируют замкнутых орбит (см. теорема Бернарда), аналогичный вектор A \mathcal{A} редко имеет простое определение и в общем случае представляет собой многозначную функцию угла θ между r и A \mathcal{A} .

Изменение под действием возмущающих центральных сил[edit | edit source]

Рис. 5: Медленно прецессирующая эллиптическая орбита, с эксцентриситетом e=0.9. Такая прецессия возникает в проблеме Кеплера, если притягивающая центральная сила немного отличается от закона тяготения Ньютона. Скорость прецессии можно вычислить, используя приведенные в параграфе формулы.

Во многих практических проблемах, типа планетарного движения, взаимодействие между двумя телами только приблизительно зависит обратно пропорционально квадрату расстояния. В таких случаях, вектор Лапласа-Рунге-Ленца A не постоянен. Однако, если возмущающий потенциал h (r) зависит только от расстояния, то полная энергия E и вектор углового момента L, сохраняются. Поэтому, траектория движение все ещё находится в перпендикулярной к L плоскости и величина A сохраняется, согласно уравнению A 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 A^2= m^2 k^2 +2 m E L^2 \!\, . Следовательно, направление A медленно вращается по орбите в плоскости. Используя каноническую теорию возмущений и координаты действие-угол, можно прямо показать [2], что A вращается со скоростью L h ( r ) = L { 1 T 0 T h ( r )   d t } = L { m L 2 0 2 π r 2 h ( r ) d θ } , \frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} h(r) \ dt \right\} = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{m}{L^{2}} \int_{0}^{2\pi} r^{2} h(r) d\theta \right\},

где T — период орбитального движения и равенство L dt = m r2 использовалось, чтобы преобразовать интеграл по времени в интеграл по углу (Рис. 5). Например, принимая во внимание эффекты общей теории относительности, приходим к добавке, которая в отличие от обычной гравитационной силы Ньютона зависит обратно пропорционально кубу расстояния [23]: h ( r ) = k L 2 m 2 c 2 ( 1 r 3 ) . h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right).

Подставляя эту функцию в интеграл и используя уравнение 1 r = m k L 2 ( 1 + A m k cos  Косинус  θ ) , \frac{1}{r} = \frac{mk}{L^{2}} \left( 1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right),

чтобы выразить r в терминах θ, скорость прецессии перицентра, вызванная этим возмущением, запишется в виде [23] 6 π k 2 T L 2 c 2 . \frac{6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}.

которая близка по значению к величине прецессии для Меркурия необъяснённой ньютоновской теорией гравитации [24]. Это выражение используется для оценки прецессии связанной с поправками общей теории относительности для двойных пульсаров [25]. Это согласие с экспериментом является сильным аргументом в пользу общей теории относительности [26].

Теория групп[edit | edit source]

Преобразование Ли[edit | edit source]

Рис. 6: Преобразование Ли, из которого выводится сохранение вектора Лапласа-Рунге-Ленца A. Когда скалируемый параметр λ изменяется, энергия и угловой момент тоже меняются, но эксцентриситет e и вектор A не изменяются.

Существует другой метод вывода вектора Лапласа-Рунге-Ленца, использующий вариацию координат без привлечения скоростей [27]. Скалирование координат r и времени t с разной степенью параметра λ (Рис. 6) t λ 3 t ,   r λ 2 r ,   p 1 λ p . t \rightarrow \lambda^{3}t, \ \mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r}, \ \mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p}.

Это преобразование изменяет полный угловой момент L и энергию E L λ L ,   E 1 λ 2 E , L \rightarrow \lambda L, \ E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E,

но сохраняет произведение EL2. Отсюда следует, что эксцентриситет e и величина A сохраняются в уже упомянутом ранее уравнении A 2 = m 2 k 2 e 2 = m 2 k 2 + 2 m E L 2 . A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2.

Направление A также сохраняется, поскольку полуоси не изменяются при скалировании. Это преобразование оставляет верным третий закон Кеплера, а именно то, что полуось a и период T формируют константу 'T2/a3.

Скобки Пуассона[edit | edit source]

Для трёх компонент Li вектора углового момента L можно определить скобки Пуассона [ L i , L j ] = s = 1 3 ϵ i j s L s , \left[ L_{i}, L_{j}\right] = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s} ,

где индекс i пробегает значения = 1, 2, 3 и εijs — абсолютно антисимметричный тензор, то есть символ Леви-Чивита (третий индекс суммирования s, чтобы не путать с силовым параметром k, определённым выше). В качестве скобок Пуассона используются квадратные скобки (а не фигурные), как и в литературе и, в том числе, чтобы интерпретировать их как квантовомеханические коммутационные соотношения в следующем разделе.

Как показано выше, изменённый вектор Лапласа-Рунге-Ленца D можно определить с той же размерностью, что и угловой момент разделив A на p0. Скобка Пуассона D с вектором углового момента L запишется в похожем виде [ D i , L j ] = s = 1 3 ϵ i j s D s \left[ D_{i}, L_{j}\right] = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} D_{s}

Скобка Пуассона D с D зависит от знака E, то есть когда полная энергия E отрицательна (эллиптические орбиты под действием центральной силы зависящей обратно пропорционально квадрату расстояния) или положительная (гиперболические орбиты). Для отрицательных энергий скобки Пуассона примут вид [ D i , D j ] = s = 1 3 ϵ i j s L s . \left[ D_{i}, D_{j}\right] = \sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}.

В то время как для положительных энергий скобки Пуассона имеют противоположный знак [ D i , D j ] = s = 1 3 ϵ i j s L s . \left[ D_{i}, D_{j}\right] = -\sum_{s=1}^{3} \epsilon_{ijs} L_{s}.

Инварианты Казимира для отрицательных энергий определяются посредством следующих соотношений C 1 = D D + L L = m k 2 2 | E | C_{1} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^{2}}{2\left|E\right|} C 2 = D L = 0 C_{2} = \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0

и мы имеем нулевые скобки Пуассона для всех компонент D и L [ C 1 , L i ] = [ C 1 , D i ] = [ C 2 , L i ] = [ C 2 , D i ] = 0 \left[ C_{1}, L_{i} \right] = \left[ C_{1}, D_{i} \right] = \left[ C_{2}, L_{i} \right] = \left[ C_{2}, D_{i} \right] = 0

C2 равен нулю, из-за ортогональности векторов. Однако другой инвариант C1 нетривиален и зависит только от m, k и E. Этот инвариант можно использовать для вывода спектра атома водорода, используя только квантовомеханическое каноническое коммутационное соотношение, вместо более сложного уравнения Шрёдингера.

Теорема Нётер[edit | edit source]

Теорема Нётер утверждает, что инфинитезимальная вариация обобщённых координат физической системы δ q i = ϵ g i ( q , q ˙ , t ) \delta q_{i} = \epsilon g_{i}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)

вызывает изменение функции Лагранжа в первом порядке на полную производную по времени δ L = ϵ d d t G ( q , t ) \delta L = \epsilon \frac{d}{dt} G(\mathbf{q}, t)

соответствует сохранению величины J = G + i g i ( L q ˙ i ) . J = -G + \sum_{i} g_{i} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right).

Сохранённая компонента вектора Лапласа-Рунге-Ленца As соответствует вариации координат [28] δ x i = ϵ 2 [ 2 p i x s x i p s δ i s ( r p ) , ] \delta x_{i} = \frac{\epsilon}{2} \left[ 2 p_{i} x_{s} - x_{i} p_{s} - \delta_{is} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{p} \right), \right]

где i равняется 1, 2 и 3, а xi и pii-ые компоненты векторов положения r и импульса p, соответственно. Как обычно, δisсимвол Кронекера. Получающееся изменение в первом порядке функции Лагранжа запишем как δ L = ϵ m k d d t ( x s r ) . \delta L = \epsilon mk\frac{d}{dt} \left( \frac{x_{s}}{r} \right).

Это приводит к сохранению компоненты As A s = [ p 2 x s p s   ( r p ) ] m k ( x s r ) = [ p × r × p ] s m k ( x s r ) . A_{s} = \left[ p^{2} x_{s} - p_{s} \ \left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) \right] - mk \left( \frac{x_{s}}{r} \right) = \left[ \mathbf{p} \times \mathbf{r} \times \mathbf{p} \right]_{s} - mk \left( \frac{x_{s}}{r} \right).

Законы сохранения и симметрия[edit | edit source]

Вариация координаты, которая приводит к сохранению вектора Лапласа-Рунге-Ленца (см. теорема Нётер), можно рассматривать как некоторую симметрию системы. В классической механике, симметрии — непрерывные операции, которые отображают одну орбиту на другую, не изменяя энергию системы; в квантовой механике, симметрии — непрерывные операции, которые смешивают атомные орбитали, не изменяя полную энергию. Например, любая центральная сила является симметрической при действии группы вращения SO(3), приводя к сохранению углового момента L. Классически, полное вращение системы не затрагивает энергию орбиты; квантовомеханически, вращения смешивают сферические гармоники с тем же самым квантовым числом l (вырожденные состояния), не изменяя энергию.

Рис. 7: Семейство кругов годографа импульса для заданной энергии l. Все круги проходят через две точки ± p 0 = ± 2 m | E | \pm p_{0} = \pm \sqrt{2m\left| E \right|} на оси px (сравните с рис. 3). Это семейство годографов соответствует семейству кругов Аполлона, и σ изоповерхностям биполярных координат.

Симметрия для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния, является выше и более тонкой. Специфическая симметрия проблемы Кеплера приводит к сохранению как вектора углового момента L, так и вектора Лапласа-Рунге-Ленца A (как определено выше) и квантовомеханически гарантирует, что уровни энергии атома водорода не зависят от квантовых чисел углового момента l и m. Симметрия является более тонкой, потому что операция симметрии должна иметь место в пространстве большей размерности; такие симметрии часто называют скрытыми симметриями [27]. Классически, более высокая симметрия проблемы Кеплера учитывает непрерывные изменения орбит, которые сохраняют энергию, но не угловой момент; другими словами орбиты с одинаковой энергией, но различными угловыми моментами (эксцентриситетом) могут быть преобразованы непрерывно друг в друга. Квантовомеханически это соответствует смешиванию орбиталей, которые отличаются квантовыми числами l и m, атомные орбитали типа s (l = 0) и p (l = 1). Такое смешивание нельзя произвести с обычными трёхмерными трансляциями или вращениями, но оно эквивалентно вращению в пространстве с более высоким измерением.

Для отрицательных энергий — то есть связанная система — симметрия SO(4), которая сохраняет длину четырёхмерных векторов | e | 2 = e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + e 4 2 \left| \mathbf{e} \right|^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} + e_{4}^{2}

В 1935, Владимир Фок показал, что квантовомеханическая проблема Кеплера, эквивалентна проблеме свободной частицы, ограниченной четырёхмерной гиперсферой [5]. В частности, Фок показал, что волновая функция уравнения Шрёдингера в пространстве импульсов для проблемы Кеплера представляет собой стереографическую проекцию сферических гармоник на гиперсферу. Вращение гиперсферы и перепроектирование приводит к непрерывному преобразованию эллиптических орбит, не изменяющего энергию; квантовомеханически это соответствует смешиванию всех орбиталей с одинаковым главным квантовым числом n. Валентин Баргман отметил впоследствии, что скобки Пуассона для вектора углового момента L и скалированного вектора Лапласа-Рунге-Ленца D формируют алгебру Ли для SO(4). [6] Проще говоря, эти шесть величин D и L соответствуют шести сохраняющимся угловым импульсам в четырёх измерениях, связанных с шестью, возможными простыми вращениями в этом пространстве (есть шесть способов выбрать две оси из четырёх). Это заключение не подразумевает, что наша вселенная — четырёхмерная гиперсфера; это просто означает, что эта специфическая проблема физики (проблема двух тел для центральной силы, зависящей обратно квадрату расстояния) математически эквивалентна свободной частице на четырёхмерной гиперсфере.

Для положительных энергий — то есть, для рассеянных систем — более высокая симметрия — SO(3,1), которая сохраняет длину 4 вектора в пространстве с метрикой Минковского d s 2 = e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 e 4 2 ds^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} + e_{3}^{2} - e_{4}^{2}

Фок [5] и Баргман [6] рассмотрели как отрицательные, так и положительные энергии. Они также были рассмотрены энциклопедически Бендером и Ициксоном [29][30].

Симметрия вращений в 4-хмерном пространстве[edit | edit source]

Рис. 8: Годограф импульса на рис. 7 соответствует стереографической проекции больших кругов на четырёхмерную η сферу единичного радиуса. Все большие круги пересекают ηx ось, которая направлена перпендикулярно странице. Проекция из северного полюса (единичный вектор w) к ηxy плоскости, как показано для пурпурного годографа пунктирной чёрной линией. Большой круг на широте α соответствует эксцентриситету e = sin α. Цвета больших кругов, показанных здесь соответствуют цветам их годографов на рис 7.

Связь между проблемой Кеплера и вращениями в четырёхмерном пространстве SO(4) можно достаточно просто визуализировать [29][31][32]. Пусть в четырехмерном пространстве заданы декартовы координаты, которые обозначены (w, x, y, z), где (x, y, z) представляют декартовы координаты обычного положения трёхмерного вектора r. Трёхмерный вектор импульса p связан с четырёхмерным вектором η \boldsymbol\eta на четырёхмерной единичной сфере посредством η = p 2 p 0 2 p 2 + p 0 2 w ^ + 2 p 0 p 2 + p 0 2 p = m k r p 0 2 m k w ^ + r p 0 m k p , \boldsymbol\eta = \frac{p^{2} - p_{0}^{2}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_{0}}{p^{2} + p_{0}^{2}} \mathbf{p} = \frac{mk - r p_{0}^{2}}{mk} \mathbf{\hat{w}} + \frac{rp_{0}}{mk} \mathbf{p} ,

где w ^ \mathbf{\hat{w}} — единичный вектор вдоль новой оси w. Поскольку η \boldsymbol\eta имеет только три независимые компоненты, то этот вектор можно обратить, получив выражение для p. Например, для компененты x p x = p 0 η x 1 η w p_{x} = p_{0} \frac{\eta_{x}}{1 - \eta_{w}}

и аналогично для py и pz. Другими словами, трёхмерный вектор p является стереографической проекцией четырёхмерного вектора η \boldsymbol\eta , умноженному на p0 (Рис. 8).

Без потери общности, мы можем устранить нормальную вращательную симметрию, выбирая декартовы координаты, где ось z направлена вдоль вектора углового момента L, и годограф импульса расположен как показано на рисунке 7, с центрами кругов на оси y. Так как движение происходит в плоскости, а p и L ортогональны, pz = ηz = 0 и внимание можно сосредоточить на трехмерном векторе η \boldsymbol\eta = (ηw, ηx, ηy). Семейство кругов Аполлона годографов импульса (Рис. 7) соответствует множеству больших кругов на трехмерной сфере η \boldsymbol\eta , все из которых пересекаются ось ηx в этих двух фокусах ηx = ±1, соответствующих фокусам годографа импульса при px = ±p0. Большие круги связаны простым вращением вокруг оси ηx (Рис. 8). Эта вращательная симметрия преобразовывает все орбиты с той же самой энергией в друг друга; однако, такое вращение ортогонально к обычным трёхмерным вращениям, так как она преобразовывает четвёртое измерение ηw. Эта более высокая симметрия характерна для проблемы Кеплера и соответствует сохранению вектора Лапласа-Рунге-Ленца.

Изящное решение для проблемы Кеплера с использованием переменных угол-действие можно получить, избавляясь от избыточной четырехмерной координаты η \boldsymbol\eta и используя эллиптические цилиндрические координат (α, β, φ) [33] η w = cn α   cn β \eta_{w} = \mathrm{cn}\, \alpha \ \mathrm{cn}\, \beta η x = sn α   dn β   cos  Косинус  ϕ \eta_{x} = \mathrm{sn}\, \alpha \ \mathrm{dn}\, \beta \ \cos \phi η y = sn α   dn β   sin  Синус  ϕ \eta_{y} = \mathrm{sn}\, \alpha \ \mathrm{dn}\, \beta \ \sin \phi η z = dn α   sn β , \eta_{z} = \mathrm{dn}\, \alpha \ \mathrm{sn}\, \beta ,

где используются эллиптические функции Якоби: sn, cn и dn.

Применение и обобщения[edit | edit source]

Квантовая механика атома водорода[edit | edit source]

Рис. 9: Уровни энергии водородного атома, предсказанные с использованием коммутационных соотношений углового момента и векторных операторов Лапласа-Рунге-Ленца; эти уровни энергии были проверены экспериментально.

Скобки Пуассона дают простой способ для квантования классической системы. Коммутационное соотношение двух квантовомеханических операторов равняется скобке Пуассона соответствующих классических переменных, умноженных на i i\hbar [34]. Выполняя это квантование и вычисляя собственные значения C 1 C_{1} оператора Казимира для проблемы Кеплера, Вольфганг Паули вывел энергетический спектр водородоподобного атома (Рис. 9) и, таким образом, его атомный эмиссионный спектр [3]. Это изящное решение было получено до изобретения уравнения Шрёдингера [35].

Особенность квантовомеханического оператора для вектора Лапласа-Рунге-Ленца A то, что импульс и операторы углового момента не коммутируют друг с другом, следовательно, векторное произведение p и L должно быть определено тщательно [36]. Как правило, операторы в декартовой системе координат As определены с помощью симметризованного произведения A s = m k r ^ s + 1 2 i = 1 3 j = 1 3 ϵ s i j ( p i l j + l j p i ) , A_{s} = - m k \hat{r}_{s} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{sij} \left( p_{i} l_{j} + l_{j} p_{i} \right),

из которого определяются соответствующие лестничные операторы A 0 = A 3 , A_{0} = A_{3}, A ± 1 = 1 2 ( A 1 ± i A 2 ) . A_{\pm 1} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \left( A_{1} \pm i A_{2} \right).

Нормированный оператор первого инварианта Казимира может быть определён подобным образом C 1 = m k 2 2 2 H 1 I , , C_{1} = - \frac{m k^{2}}{2 \hbar^{2}} H^{-1} - I, ,

где H-1 — оператор обратный к оператору энергии (гамильтониан) и I — единичный оператор. Применяя эти лестничные операторы к собственным состояниям | l m n \left| l m n \right.\rangle операторов полного углового момента, азимутального углового момента и энергии, можно показать, что собственные состояния первого оператора Казимира задаются формулой n2 — 1. Следовательно, уровни энергии даются выражением E n = m k 2 2 2 n 2 , E_{n} = - \frac{m k^{2}}{2\hbar^{2} n^{2}},

которое идентично формуле Ридберга для атома водорода (Рис 9).

Обобщение на другие потенциалы и СТО[edit | edit source]

Вектор Лапласа-Рунге-Ленца был обобщён на другие потенциалы и даже на специальную теорию относительности. Наиболее общую форму этого вектора можно записать в виде [9] A = ( ξ u ) ( p × L ) + [ ξ u ( ξ u ) ] L 2 r ^ , , \mathcal{A} = \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) + \left[ \xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2} \mathbf{\hat{r}}, ,

где u = 1/r (см. теорема Бертрана) и ξ = cos θ, с углом θ определённым как θ = L u d u m 2 c 2 ( γ 2 1 ) L 2 u 2 . \theta = L \int^{u} \frac{du}{\sqrt{m^{2} c^{2} \left(\gamma^{2} - 1 \right) - L^{2} u^{2}}}.

Здесь γ — релятивистский фактор. Как и раньше, можно получить, сохраняющийся вектор бинормали B взяв векторное произведение с сохраняющимся вектором углового момента B = L × A . \mathcal{B} = \mathbf{L} \times \mathcal{A}.

Эти два вектора можно соединить в сохраняющийся двухкомпонентный тензор W W = α A A + β B B . \mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}.

Для примера вычислим вектор Лапласа-Рунге-Ленца для нерелятивистского изотропного гармонического осциллятора. [9] Рассмотрим центральную силу: F ( r ) = k r \mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}

вектор углового момента сохраняется и поэтому движение происходит в плоскости. Сохраняющийся тензор можно переписать в более простом виде: W = 1 2 m p p + k 2 r r , \mathbf{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r},

хотя нужно заметить, чтоp и r не перпендикулярны, как A и B. Соответствующий вектор Лапласа-Рунге-Ленца имеет более сложную запись A = 1 m r 2 ω 0 A m r 2 E + L 2 { ( p × L ) + ( m r ω 0 A m r E ) r ^ } , \mathbf{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^{2}\omega_{0} A - mr^{2}E + L^{2}}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_{0} A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\} ,

где ω 0 = k m \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} — частота осциллятора.

См. также[edit | edit source]

Литература[edit | edit source]

  1. В. И. Арнольд Математические методы классической механики, 5-е изд.. — Москва: Едиториал УРСС, 2003. — С. 416. — ISBN 5-354-00341-5о книге"ISBN5354003415" was classified as invalid by the "ISBN" regular expression.
  2. а б в г Г. Голдштейн Классическая механика. — Наука, 1975. — С. 416.о книге
  3. а б в Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik 36: 336–363.
  4. а б Hamilton, WR (1847). "The Hodograph, or a new Method of expressing in symbolical Language the Newtonian Law of Attraction". Proceedings of the Royal Irish Academy 3: 344–353.
  5. а б в Fock, V (1935). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms". Zeitschrift für Physik 98: 145–154.
  6. а б в Bargmann, V (1936). "Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock". Zeitschrift für Physik 99: 576–582.
  7. а б Goldstein, H. (1975). "Prehistory of the Runge-Lenz vector". American Journal of Physics 43: 735–738.
    Goldstein, H. (1976). "More on the prehistory of the Runge-Lenz vector". American Journal of Physics 44: 1123–1124.
  8. а б в Hamilton, WR (1847). "On the Application of the Method of Quaternions to some Dynamical Questions". Proceedings of the Royal Irish Academy 3: Appendix III, pp. xxxvi-l.
  9. а б в г д Fradkin, DM (1967). "Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems". Progress of Theoretical Physics 37: 798–812.
  10. а б Yoshida, T (1987). "Two methods of generalisation of the Laplace-Runge-Lenz vector". European Journal of Physics 8: 258–259.
  11. Hermann, J (1710). "Metodo d'investigare l'orbite de' pianeti". Giornale de Letterati D'Italia 2: 447–467.
    Hermann, J (1710). "Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710". Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 519–521.
  12. Bernoulli, J (1710). "Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710". Histoire de l'academie royale des sciences (Paris) 1732: 521–544.
  13. PS Laplace Traité de mécanique celeste. — 1799. — С. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.о книге
  14. JW Gibbs Vector Analysis. — New York: Scribners, 1901. — С. p. 135.о книге
  15. C Runge Vektoranalysis. — Leipzig: Hirzel, 1919. — С. Volume I.о книге
  16. Lenz, W (1924). "Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung". Zeitschrift für Physik 24: 197–207.
  17. Evans, NW (1990). "Superintegrability in classical mechanics". Physical Review A 41: 5666–5676.
  18. A Sommerfeld Atomic Structure and Spectral Lines. — London: Methuen, 1923. — С. 118.о книге
  19. а б в LD Landau Mechanics. — 3rd edition. — Pergamon Press, 1976. — С. p. 154. — ISBN 0-08-021022-8о книге"ISBN0080210228(hardcover)andISBN0080291414(softcover)" was classified as invalid by the "ISBN" regular expression.
  20. Evans, NW (1991). "Group theory of the Smorodinsky-Winternitz system". Journal of Mathematical Physics 32: 3369–3375.
  21. Dulock, VA; McIntosh HV (1966). "On the Degeneracy of the Kepler Problem". Pacific Journal of Mathematics 19: 39–55.
  22. Redmond, PJ (1964). "Generalization of the Runge-Lenz Vector in the Presence of an Electric Field". Physical Review 133: B1352–B1353.
  23. а б Einstein, A (1915). "Erklärung der Perihelbeivegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie.". Sitzungsberichte der der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften 47 (2): 831–839.
  24. Le Verrier, UJJ (1859). "Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète; Lettre de M. Le Verrier à M. Faye.". Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris) 49: 379–383.[1]
  25. CM Will General Relativity, an Einstein Century Survey. — SW Hawking and W Israel, eds.. — Cambridge: Cambridge University Press, 1979. — С. Chapter 2.о книге
  26. A. Pais Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. — Oxford University Press, 1982.о книге
    Пайс, Абрахам. (1989) Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. Пер. с англ. В. И. и О. И. Мацарских; Под ред. А. А. Логунова. — М.: Наука, 1989. — 566,[1] с., [4] л. ил., 22 см. — ISBN 5-02-014028-7.
  27. а б Prince, GE; Eliezer CJ (1981). "On the Lie symmetries of the classical Kepler problem". Journal of Physics A: Mathematical and General 14: 587–596.
  28. Lévy-Leblond, JM (1971). "Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics". American Journal of Physics 39: 502–506.
  29. а б Bander, M; Itzykson C (1966). "Group Theory and the Hydrogen Atom (I)". Reviews of Modern Physics 38: 330–345.
  30. Bander, M; Itzykson C (1966). "Group Theory and the Hydrogen Atom (II)". Reviews of Modern Physics 38: 346–358.
  31. Rogers, HH (1973). "Symmetry transformations of the classical Kepler problem". Journal of Mathematical Physics 14: 1125–1129.
  32. V Guillemin Variations on a Theme by Kepler. — American Mathematical Society Colloquium Publications, volume 42, 1990. — ISBN 0-8218-1042-1о книге"ISBN0821810421" was classified as invalid by the "ISBN" regular expression.
  33. Lakshmanan, M; Hasegawa H. "On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces". Journal of Physics A 17: L889–L893.
  34. PAM Dirac Principles of Quantum Mechanics, 4th revised edition. — Oxford University Press, 1958.о книге
  35. Schrödinger, E (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem". Annalen der Physik 384: 361–376.
  36. A. Bohm Quantum Mechanics: Foundations and Applications. — 2nd edition. — Springer Verlag, 1986. — С. 208–222.о книге

Дополнительное чтение[edit | edit source]

  • Leach, P.G.L.; G.P. Flessas (2003). "Generalisations of the Laplace-Runge-Lenz vector". J. Nonlinear Math. Phys. 10: 340–423. Статья посвящена обобщению вектора Лапласа—Рунге—Ленца на потенциалы отличные от кулоновского. arxiv.org

Первоисточник этой статьи был признан «избранной статьёй» в русском разделе Википедии