Тригонометрические функции

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
(перенаправлено с «Тригонометрическая функция»)
Перейти к: навигация, поиск
Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции от величины угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как \(\operatorname{versin}\) и \(\operatorname{exsec}\), но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции
Функция Обозначение Соотношение
Си́нус \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}}\) \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Ко́синус \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}}\) \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Та́нгенс \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}}\)[1] \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} x=\frac{\sin x}{\cos x}=\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\ctg\frac{1}{x}\)
Кота́нгенс \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}}\)[2] \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} x=\frac{\cos x}{\sin x}=\tg \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg \frac{1}{x}\)
Се́канс \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\sec}{ Секанс }}}\) \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\sec}{ Секанс }}} x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)
Косе́канс \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}}\)[3] \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\)


Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике[править]

Рис. 2
Прямоугольный треугольник

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла \(\alpha,\) возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол \(\alpha\) (см. Рис. 2). Стороны этого треугольника мы будем называть так:

  • Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона \(c.\)
  • Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет \(a\) — противолежащий по отношению к углу \(A.\)
  • Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет \(b\) — прилежащий по отношению к углу \(A.\)

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна \(\pi.\) Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между \(0\) и \(\frac{\pi}{2}.\) Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: \(\sin\alpha=\frac{a}{c}.\) Это отношение не зависит от выбора треугольника \({ABC}\), содержащего угол \(\alpha,\) так как все такие треугольники подобны.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: \(\cos\alpha=\frac{b}{c}.\) Так как \(\sin\beta=\frac{b}{c},\) синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: \(\tg\,\alpha=\frac{a}{b}.\)

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: \(\ctg\,\alpha=\frac{b}{a}.\) Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Секанс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: \(\sec\alpha=\frac{c}{b}.\)

Косеканс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\alpha=\frac{c}{a}.\)

Из определений тригонометрических функций следует: $$a=c\sin\alpha\,,$$ $$b=c\cos\alpha\,,$$ $$a=b\,\tg\,\alpha,$$ $$b=a\,\ctg\,\alpha,$$ $$c=b\sec\alpha\,,$$ $$c=a\,{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\alpha,$$

и симметрично: $$b=c\sin\beta\,,$$ $$a=c\cos\beta\,,$$ $$b=a\,\tg\,\beta,$$ $$a=b\,\ctg\,\beta,$$ $$c=a\sec\beta\,,$$ $$c=b\,{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\beta.$$

Определение тригонометрических функций через окружность[править]

Рис. 3.
Определение тригонометрических функций через окружность.
Рис. 4.
Tригонометрическиe функций угла \(\alpha\) в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке \(O\) и с осями \({OX}\) и \({OY}\) (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке \(O\) и радиусом, равным единице. Пусть отрезок \({OA}\) поворачивается на произвольный угол \(\vartheta\) вокруг центра \(O.\)

Синусом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\sin\vartheta=\frac{AC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \(\sin\vartheta={AC}.\)

Косинусом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к длине отрезка \({OA}.\) Обозначают \(\cos\vartheta=\frac{OC}{OA}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\cos\vartheta={OC}.\)

Тангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение ординаты точки \(A\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\tg\,\vartheta=\frac{AC}{OC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{tan}\vartheta ).\) Так как \({AC}={ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\tg\,\vartheta=\frac{\sin\vartheta}{\cos\vartheta}.\)

Котангенсом угла \(\vartheta\) называется отношение абсциссы точки \(A\) к ординате точки \(A\). Обозначают \(\ctg\,\vartheta=\frac{OC}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{cot}\vartheta ).\) Так как \({AC}=\sin\vartheta\) и \({OC}=\cos\vartheta,\) то \(\ctg\,\vartheta=\frac{\cos\vartheta}{\sin\vartheta}.\) Котангенс равен обратному значению тангенса: \(\ctg\,\vartheta=\frac{1}{\tg\,\vartheta}.\)

Секансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к абсциссе точки \(A\). Обозначают \(\sec\vartheta=\frac{OA}{OC}.\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна 1, то \(\sec\vartheta=\frac{1}{OC}.\) Секанс равен обратному значению косинуса: \(\sec\vartheta=\frac{1}{\cos\vartheta}.\)

Косекансом угла \(\vartheta\) называется отношение длины отрезка \({OA}\) к ординате точки \(A\). Обозначают \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\vartheta=\frac{OA}{AC}\) (в англоязычной литературе \(\operatorname{csc}\vartheta ).\) Так как длина отрезка \({OA}\) равна \(1\), то \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\vartheta=\frac{1}{AC}.\) Косеканс равен обратному значению синуса: \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,\vartheta=\frac{1}{\sin\vartheta}.\)

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Определение тригонометрических функций через ряды[править]

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенных рядов: $${ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$$ $${ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$$
Пользуясь этими формулами, а также уравнениями \(\tg\,x=\frac{{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} x}{\cos x},\) \(\ctg\,x=\frac{{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x}{\sin x},\) \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\sec}{ Секанс }}} x=\frac{1}{\cos x}\) и \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\cosec}{ Косеканс }}} \,x=\frac{1}{\sin x},\) можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций: $$\tg\,x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}$$где \(B_n\) — числа Бернулли. $${ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\sec}{ Секанс }}} x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nE_{2n}}{(2n)!}x^{2n},$$где \(E_n\) — числа Эйлера.

Определение тригонометрических функций через экспоненту[править]

Определение тригонометрических функций через ряды эквивалентно следующему компактному определению тригонометрических функций, носящему имя формула Муавра: $$e^{ix} ={ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} x + i \sin x$$

Значения тригонометрических функций для некоторых углов[править]

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения тригонометрических функций на окружности.
\( \alpha \,\!\) 0°(0 рад) 30° (π/6) 45° (π/4) 60° (π/3) 90° (π/2) 180° (π) 270° (3π/2)
\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \alpha \,\!\) \({0} \,\!\) \( \frac{1}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\) \({1}\,\!\) \({0}\,\!\) \({-1}\,\!\)
\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \alpha \,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!\) \( \frac{ \sqrt{2}}{2}\,\!\) \( \frac{1}{2}\,\!\) \({0}\,\!\) \({-1}\,\!\) \({0}\,\!\)


\( \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!\) \({0} \,\!\) \( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( {1}\,\!\) \( \sqrt{3}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({0}\,\!\) \( \infty \,\!\)
\( \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!\) \( \infty \,\!\) \( \sqrt{3}\,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{1}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( {0}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({0}\,\!\)
\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \sec}{ Секанс }}} \alpha \,\!\) \({1} \,\!\) \( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\) \( \sqrt{2}\,\!\) \( {2}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({-1}\,\!\) \( \infty \,\!\)
\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \cosec}{ Косеканс }}} \, \alpha \,\!\) \( \infty \,\!\) \( {2}\,\!\) \( \sqrt{2}\,\!\) \( \frac{2}{ \sqrt{3}}\,\!\) \({1}\,\!\) \( \infty \,\!\) \({-1}\,\!\)

Значения тригонометрических функций нестандартных углов[править]

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} \frac{\pi}{10} = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} \frac{\pi}{120}= \tg 1.5^\circ =\sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \frac{\pi}{240}=\frac{1}{16}\left(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(2+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15} \right) + \sqrt{\sqrt{2+\sqrt{2}}+2} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right)\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \frac{\pi}{17} = \frac{1}{8} \sqrt{2 \left( \sqrt{2\sqrt{\frac{17(17-\sqrt{17})}{2}}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}+3\sqrt{17}+17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\sqrt{17}+15 \right)}\)

Свойства тригонометрических функций[править]

Функция y = cos α — чётная, функции: y = sin α, y = tg α, y = ctg α — нечётные, то есть: $${ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha\,,$$ $${ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left( - \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,.$$

Для острых углов \( \alpha < \frac{ \pi}{2}\,\!\) справедливо: $${ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha\,,$$ $${ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,.$$

Для углов \( 0 < \alpha < \pi \,\!\) справедливо: $${ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} \left( \pi - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$$ $${ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left( \pi - \alpha \right) = - \cos \alpha\,,$$ $$ \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( \pi - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha, \qquad \alpha \ne \frac{ \pi}{2}\,.$$

Рассмотрим треугольник ABO (см. Рис. 1). По теореме Пифагора: $$ \left(AB \right)^2 + \left(BO \right)^2 = \left(OA \right)^2 \,,$$ если OA = 1, то AB = sin α и OB = cos α, то есть $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \qquad \qquad (1)\,$$

Если разделить выражение (1) на \( \cos^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha}. \qquad \qquad (2) \,$$


Если разделить выражение (1) на \( \sin^2 \alpha \,,\) то получим следующее тождество: $$ 1 + \frac{1}{ \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha} = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}, \qquad \qquad (3) \,$$ или $$ 1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}. \qquad \qquad (4) \,$$

Полезные тождества[править]

\( 1\pm{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} x = 2 \sin^2 \left (\frac {\pi}{4} \pm \frac x2 \right )\)

\( 1+{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x = 2 \cos^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\( 1-{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x = 2 \sin^2 \left ( \frac x2 \right )\)

\(1\pm{ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \tg}{ Тангенс }}} x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\cos x}\)

\(1\pm{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \ctg}{ Котангенс }}} x=\frac{\sqrt{2} \sin \left (\frac{\pi}{4}\pm x \right )}{\sin x}\)

\(\sin^2(x)+\sin^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2y)-\cos(2x)\right ]\)

\(\cos^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2+ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\cos^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)-\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x)+\cos^2(y)=\frac 12 \left [ 2- \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\cos^2(x)-\sin^2(y)=\frac 12 \left [ \cos(2x)+\cos(2y)\right ]\)

\(\sin^2(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \sin(2y) - \cos(2x) \cos(2y) +1 \right ]\)

\(\cos^2(x+y)=\frac 12 \left [ \cos(2x) \cos(2y) - \sin(2x) \sin(2y)+1 \right ]\)

\(\sin^2(x-y)=\frac 12 \left [1-\sin(2x) \sin(2y)-\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\(\cos^2(x-y)=\frac 12 \left [1+\sin(2x) \sin(2y)+\cos(2x) \cos(2y) \right ]\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y)+\sin (x-y)=2\sin x \cos y\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x \sin y\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y)+\cos (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y)-\cos (x-y)=- 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\cos(2y)-\cos(2x)]\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y) \cos(x+y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)+\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)+\sin(2y)]\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y) \tg (x-y)= \frac {\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x-y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\sin(2x)+\sin(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} (x-y) \cos(x-y)=\frac 12 \left [ \sin(2x) \cos(2y)-\sin(2y) \cos(2x) \right ] \)

\(\cos(x+y)+\cos(x-y)=2{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x \cos y\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y)-\cos (x-y)=- 2\sin x \sin y\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y)+\sin (x-y)=2\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y)-\sin (x-y)= 2\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y) \cos(x-y)= \frac 12 [\cos(2x)+\cos(2y)]\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y) \sin(x-y)= \frac 12 [\sin(2x)-\sin(2y)]\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y) \tg (x-y)= \frac {\sin(2x)-\sin(2y)}{2\cos(x-y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} (x+y) \ctg (x-y)= \frac {\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x-y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2y)-\sin(2x)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y) \sin(x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{2\cos(x+y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y) \cos(x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{2\cos(x+y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y) \tg (x-y)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{\cos(2x)+\cos(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\sin(2x)+\sin(2y)}{\sin(2x)-\sin(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y)+ \tg (x-y)=\frac{2\cos(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y)- \tg (x-y)=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y)+ \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2x)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y)- \ctg (x-y)=\frac{2\sin(2y)}{\cos(2x)-\cos(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y) \sin(x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y) \cos(x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{2\sin(x+y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y) \tg (x-y)=\frac{\sin(2x)-\sin(2y)}{\sin(2x)+\sin(2y)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} (x+y) \ctg (x-y)=\frac{\cos(2x)+\cos(2y)}{\cos(2y)-\cos(2x)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} x+ \tg x=\frac{2}{\sin(2x)}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} x- \tg x=\frac{2 \cos(2x)}{\sin(2x)}\)

\(\tg^n x=\frac{\sin^n(2x)}{[1+\cos(2x)]^n}\)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (3x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{3}-x\right ) \)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (5x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{5}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{5}-x\right ) \)

\({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} (7x)=\tg x \cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{2\pi}{7}-x\right ) \cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}+x\right )\cdot \tg \left (\frac{3\pi}{7}-x\right ) \)

\(\prod \limits _{k=0}^n{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left (2^k x \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} x \right )}{2^{n+1} \cdot \sin x}\)

\(\prod \limits _{k=0}^n{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2^{n+1} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=1}^n{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{2^{n} \cdot \sin \left (\frac{x}{2^n}\right )}\)

\(\prod \limits _{k=0}^{\infty}{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin(2x)}{2x}\)

\(\prod \limits _{k=1}^{\infty}{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} \left (\frac{x}{2^k}\right )=\frac{\sin x}{x}\)

Производные и интегралы[править]

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

\(({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \sin}{ Синус }}} x )' = \cos x \,,\)

\(({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip { \cos}{ Косинус }}} x )' = -\sin x \,,\)

\(({ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \tg}{ Тангенс }}} x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},\)

\(({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip { \ctg}{ Котангенс }}} x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x}.\)

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

\(\int{ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}} x\, dx = -\cos x + C \,,\)

\(\int{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} x\, dx = \sin x + C \,,\)

\(\int{ \href {//traditio.wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\tg}{ Тангенс }}} x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,\)

\(\int{ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%81}{ \texttip {\ctg}{ Котангенс }}} x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,.\)

История[править]

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась अर्धज्या, ардха-джья̄ («полутетива»), затем слово ардха- (अर्ध) было отброшено и линию синуса стали называть просто джья̄ (ज्या). Но чаще использовался синоним джӣва, «живой» (जीबा). Арабские переводчики не перевели слово джӣва арабским словом ватар (وتر), обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса джӣба (произношение جيبا). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое ӣ в слове джӣба обозначается так же, как полугласная й (جيب), Герардо Кремонский интерпретировал слово как джайб, что буквально обозначает «впадина», «пазуха» и перевёл его на латынь словом sinus, имеющим то же значение.[4]

Современное обозначение синуса \({ \href {//traditio.wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\sin}{ Синус }}}\) и косинуса \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}}\) введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens, «касающийся») и «секанс» (secans, «секущий») были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

См. также[править]

Ссылки[править]

Примечания[править]

  1. В западной традиции tan.
  2. В западной традиции cot.
  3. В западной традиции csc.
  4. Online Etymology Dictionary. Sine.