Математический вектор

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Вектор \(\overrightarrow{AB}\)

Математический ве́ктор — понятие, широко используемое в математике, изначально возникшее как геометрическая абстракция объектов, характеризуемых одновременно направлением и величиной (таких как скорость, момент силы) — направленный отрезок в евклидовом пространстве, обобщённое до представления в виде упорядоченной последовательности \(n\) компонент в \(n\)-мерном пространстве (и в развитие этой интерпретации используется в информатике для обозначения последовательности однородных элементов) и до произвольного элемента алгебры, определённой над полем. Во всех случаях вместе с вектором определяется сопутствующее понятие скаляра — объекта, характеризующегося только величиной (число, компонента \(n\)-мерного пространства, элемент поля), определяются операции умножения вектора на скаляр, скалярного произведения двух векторов (комбинации векторов, дающей в результате скаляр).

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении.

В геометрических интерпретациях векторы обозначаются буквами с чертой или стрелкой сверху (\(\bar a\), \(\vec a\)) или обозначением точек, объединёнными стрелкой сверху (\(\overrightarrow{AB}\)), в алгебраических интерпретациях — прямым жирным шрифтом (\(\mathbf a\)), встречаются и другие обозначения.

Набор всех физических цветов можно интерпретировать как математические векторы в бесконечномерном векторном пространстве, более узко — в гильбертовом пространстве (en:Hilbert_space). Его называют цветовым пространством, Hcolor.

Средняя точка треугольника X

Место физических цветов можно интерпретировать как симплексы (геометрические фигуры, являющаяся n-мерными обобщениями треугольников) в (математическом) конусе, вершины которого — спектральные цвета. Белый цвет (свет) располагается на оси (в точке пересечения оси и основания конуса) (en:Centroid) симплекса, черно-белый — только на оси конуса (внизу — чёрный, вверху — белый, между ними — оттенки серого), и монохроматические цвета, связанные с осью с любой данной вершиной где-нибудь по линии оси от этих вершин в любых плоскостях сечений конусов в зависимости от их яркости. (Максимально яркие цвета спектра располагаются в плоскости наибольшего диаметра сечений конусов, в середине оси).

Общее определение[править]

В евклидовом пространстве[править]

Вектор в арифметическом \(n\)-мерном пространстве является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре: если

  • в качестве поля \(\mathfrak F= \mathbb R = \langle \mathbb R;+,* \rangle \) взять поле вещественных чисел \(\mathbb R\) с их обычными операциями сложения и умножения;
  • n-мерное пространство \(\mathfrak V= \mathbb R^n= \langle \mathbb R^n;+ \rangle \) задать как декартову степень множества вещественных чисел \(\mathbb R\);
  • точку — как кортеж \((a_1,...,a_n)\) длины n из вещественных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек;
  • операцию «+» для \(\mathfrak V\) задать следующим образом: \((a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n)\),
  • нейтральный элемент: \(\mathbf 0\)=(0,…,0),
  • обратный элемент: \(-(a_1,...,a_n)=(-a_1,...,-a_n)\);
  • операцию умножения на скаляр задать выражением \(a(a_1,...,a_n)=(a*a_1,...,a*a_n)\)

— тогда алгебраический вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из вещественных чисел, является

арифметическим вектором векторного пространства \(\mathbb R^n\) над полем вещественных чисел \(\mathbb R\).

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве. Однако, прямую и отрезок можно задать через вектор, определённый алгебраически:

  • Прямая, на которой лежит ненулевой вектор \(\mathbf a\) с началом в точке \(M_0=(m_1,...,m_n)\), заданный свободным вектором с пространственными координатами \((a_1,...,a_n)\) — множество точек \((x_1,...,x_n)\), удовлетворяющее условию \(\frac{x_1-m_1}{a_1}=\frac{x_2-m_2}{a_2}=...=\frac{x_n-m_n}{a_n}\)
  • Отрезок MN — множество всех точек O (удовлетворяющих условию \(min(x_{i_M},x_{i_N}) \leqslant x_{i_O} \leqslant max(x_{i_M},x_{i_N}), 1 \leqslant i \leqslant n\)), все различные точки которого принадлежат одной прямой. Точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введении операций получения скалярного произведения двух векторов, угла между векторами и длины вектора, как расстояния между начальной и конечной точками вектора (см. ниже), векторное пространство \(\mathbb R^n\) становится евклидовым нормированным пространством и

  • при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства;
  • при n=2 — плоскости этого пространства;
  • при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю;
  • при n=0 существует только одна точка (задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор;
  • пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение в этом случае определяется по формуле: \(\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\), где \(a_i,b_i\) — пространственные координаты векторов \(\mathbf a,\mathbf b\)

Длина вектора \(|\mathbf a|=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 },\) где \(X_i\) — пространственные координаты вектора.

Угол между двумя векторами \(\mathbf a,\mathbf b \) определяется через скалярное произведение \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81}{ \texttip {\cos}{ Косинус }}} \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{|\mathbf a||\mathbf b|} ,\) где \(a_i,b_i\) — пространственные координаты векторов \(\mathbf a,\mathbf b\).

Вектор в линейном пространстве[править]

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис \( \vec{e_1},...,\vec{e_n}\in L\), то \(\forall \vec{x}\in L \exists \alpha_1,..,\alpha_n\in F: \vec{x} = \sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{e_i}\), где \(F\) — это поле, над которым определенно линейное пространство \(L\).

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис \( \vec{e_1},...,\vec{e_n}\) и \( \vec{f_1},...,\vec{f_n}\). Причём: \( \vec{e_i} = \sum_{j=1}^n p_{ij} \vec{f_j} \). Матрица \(P_{ef}\), полученная из коэффициентов \(p_{ij}\) называться матрицей перехода от базиса \(e\) к базису \(f\) и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: \( \vec{x_e}= P_{ef} \vec{x_f} \). Связь между матрицами перехода между двумя базисами: \( P_{ef} = P_{fe}^{-1}\). Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами[править]

Евклидовы и нормированные пространства[править]

Геометрическая интерпретация[править]

Свободные, скользящие и фиксированные векторы[править]

Операции над векторами[править]

Сложение[править]

Вычитание[править]

Векторное произведение[править]

Смешанное произведение[править]

Обозначения[править]

Физическая интерпретация[править]

Вектор как последовательность[править]

См. также[править]

Литература[править]

Ссылки[править]