Математический вектор

From Традиция
Jump to navigation Jump to search
Вектор A B \overrightarrow{AB}

Математический ве́ктор — понятие, широко используемое в математике, изначально возникшее как геометрическая абстракция объектов, характеризуемых одновременно направлением и величиной (таких как скорость, момент силы) — направленный отрезок в евклидовом пространстве, обобщённое до представления в виде упорядоченной последовательности n n компонент в n n -мерном пространстве (и в развитие этой интерпретации используется в информатике для обозначения последовательности однородных элементов) и до произвольного элемента алгебры, определённой над полем. Во всех случаях вместе с вектором определяется сопутствующее понятие скаляра — объекта, характеризующегося только величиной (число, компонента n n -мерного пространства, элемент поля), определяются операции умножения вектора на скаляр, скалярного произведения двух векторов (комбинации векторов, дающей в результате скаляр).

Является одним из основополагающих понятий линейной алгебры. При использовании наиболее общего определения векторами оказываются практически все изучаемые в линейной алгебре объекты, в том числе матрицы, тензоры, однако, при наличии в окружающем контексте этих объектов, под вектором понимаются соответственно вектор-строка или вектор-столбец, тензор первого ранга. Свойства операций над векторами изучаются в векторном исчислении.

В геометрических интерпретациях векторы обозначаются буквами с чертой или стрелкой сверху ( a ¯ \bar a , a \vec a ) или обозначением точек, объединёнными стрелкой сверху ( A B \overrightarrow{AB} ), в алгебраических интерпретациях — прямым жирным шрифтом ( a \mathbf a ), встречаются и другие обозначения.

Набор всех физических цветов можно интерпретировать как математические векторы в бесконечномерном векторном пространстве, более узко — в гильбертовом пространстве (en:Hilbert_space). Его называют цветовым пространством, Hcolor.

Средняя точка треугольника X

Место физических цветов можно интерпретировать как симплексы (геометрические фигуры, являющаяся n-мерными обобщениями треугольников) в (математическом) конусе, вершины которого — спектральные цвета. Белый цвет (свет) располагается на оси (в точке пересечения оси и основания конуса) (en:Centroid) симплекса, черно-белый — только на оси конуса (внизу — чёрный, вверху — белый, между ними — оттенки серого), и монохроматические цвета, связанные с осью с любой данной вершиной где-нибудь по линии оси от этих вершин в любых плоскостях сечений конусов в зависимости от их яркости. (Максимально яркие цвета спектра располагаются в плоскости наибольшего диаметра сечений конусов, в середине оси).

Общее определение[edit | edit source]

В евклидовом пространстве[edit | edit source]

Вектор в арифметическом n n -мерном пространстве является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре: если

  • в качестве поля F = R = R ; + , \mathfrak F= \mathbb R = \langle \mathbb R;+,* \rangle взять поле вещественных чисел R \mathbb R с их обычными операциями сложения и умножения;
  • n-мерное пространство V = R n = R n ; + \mathfrak V= \mathbb R^n= \langle \mathbb R^n;+ \rangle задать как декартову степень множества вещественных чисел R \mathbb R ;
  • точку — как кортеж ( a 1 , . . . , a n ) (a_1,...,a_n) длины n из вещественных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек;
  • операцию «+» для V \mathfrak V задать следующим образом: ( a 1 , . . . , a n ) + ( b 1 , . . . , b n ) = ( a 1 + b 1 , . . . , a n + b n ) (a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=(a_1+b_1,...,a_n+b_n) ,
  • нейтральный элемент: 0 \mathbf 0 =(0,…,0),
  • обратный элемент: ( a 1 , . . . , a n ) = ( a 1 , . . . , a n ) -(a_1,...,a_n)=(-a_1,...,-a_n) ;
  • операцию умножения на скаляр задать выражением a ( a 1 , . . . , a n ) = ( a a 1 , . . . , a a n ) a(a_1,...,a_n)=(a*a_1,...,a*a_n)

— тогда алгебраический вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из вещественных чисел, является

арифметическим вектором векторного пространства R n \mathbb R^n над полем вещественных чисел R \mathbb R .

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве. Однако, прямую и отрезок можно задать через вектор, определённый алгебраически:

  • Прямая, на которой лежит ненулевой вектор a \mathbf a с началом в точке M 0 = ( m 1 , . . . , m n ) M_0=(m_1,...,m_n) , заданный свободным вектором с пространственными координатами ( a 1 , . . . , a n ) (a_1,...,a_n)  — множество точек ( x 1 , . . . , x n ) (x_1,...,x_n) , удовлетворяющее условию x 1 m 1 a 1 = x 2 m 2 a 2 = . . . = x n m n a n \frac{x_1-m_1}{a_1}=\frac{x_2-m_2}{a_2}=...=\frac{x_n-m_n}{a_n}
  • Отрезок MN — множество всех точек O (удовлетворяющих условию m i n ( x i M , x i N ) x i O m a x ( x i M , x i N ) , 1 i n min(x_{i_M},x_{i_N}) \leqslant x_{i_O} \leqslant max(x_{i_M},x_{i_N}), 1 \leqslant i \leqslant n ), все различные точки которого принадлежат одной прямой. Точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введении операций получения скалярного произведения двух векторов, угла между векторами и длины вектора, как расстояния между начальной и конечной точками вектора (см. ниже), векторное пространство R n \mathbb R^n становится евклидовым нормированным пространством и

  • при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства;
  • при n=2 — плоскости этого пространства;
  • при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю;
  • при n=0 существует только одна точка (задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор;
  • пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение в этом случае определяется по формуле: a b = i = 1 n a i b i \mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i , где a i , b i a_i,b_i  — пространственные координаты векторов a , b \mathbf a,\mathbf b

Длина вектора | a | = i = 1 n X i 2 , |\mathbf a|=\sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {X_i}^2 }, где X i X_i  — пространственные координаты вектора.

Угол между двумя векторами a , b \mathbf a,\mathbf b определяется через скалярное произведение cos  Косинус  θ = i = 1 n a i b i | a | | b | , \cos \theta = \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i b_i}{|\mathbf a||\mathbf b|} , где a i , b i a_i,b_i  — пространственные координаты векторов a , b \mathbf a,\mathbf b .

Вектор в линейном пространстве[edit | edit source]

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис e 1 , . . . , e n L \vec{e_1},...,\vec{e_n}\in L , то x L α 1 , . . , α n F : x = i = 1 n α i e i \forall \vec{x}\in L \exists \alpha_1,..,\alpha_n\in F: \vec{x} = \sum_{i=1}^n\alpha_i \vec{e_i} , где F F — это поле, над которым определенно линейное пространство L L .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис e 1 , . . . , e n \vec{e_1},...,\vec{e_n} и f 1 , . . . , f n \vec{f_1},...,\vec{f_n} . Причём: e i = j = 1 n p i j f j \vec{e_i} = \sum_{j=1}^n p_{ij} \vec{f_j} . Матрица P e f P_{ef} , полученная из коэффициентов p i j p_{ij} называться матрицей перехода от базиса e e к базису f f и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: x e = P e f x f \vec{x_e}= P_{ef} \vec{x_f} . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: P e f = P f e 1 P_{ef} = P_{fe}^{-1} . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами[edit | edit source]

Евклидовы и нормированные пространства[edit | edit source]

Геометрическая интерпретация[edit | edit source]

Свободные, скользящие и фиксированные векторы[edit | edit source]

Операции над векторами[edit | edit source]

Сложение[edit | edit source]

Вычитание[edit | edit source]

Векторное произведение[edit | edit source]

Смешанное произведение[edit | edit source]

Обозначения[edit | edit source]

Физическая интерпретация[edit | edit source]

Вектор как последовательность[edit | edit source]

См. также[edit | edit source]

Литература[edit | edit source]

Ссылки[edit | edit source]