Преобразование Лапласа

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию \(\ F(s)\) комплексного переменного (изображение) с функцией \(\ f(x)\) действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем, и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соотвествуют более простые соотношения над их изображениями.


Определение[править]

Прямое преобразование Лапласа[править]

Преобразование Лапласа функции действительного переменного \(\ f(x)\), называется функция \(\ F(s)\) комплексного переменного \(s = \sigma + i \omega \, \), такая что: $$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(x)\right\} =\int_{0^.}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$$

Левая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа[править]

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного \(\ F(s)\), называется функция \(\ f(x)\) действительного переменного, такая что: $$f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty} e^{sx} F(s)\,ds,$$

где \( \sigma_1 \ \) — некоторое вещественное число (см. условия существования).

Двустороннее преобразование Лапласа[править]

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции \(\ f(x)\) участвуют значения \(\ x < 0\)

Двусторонее преобразование Лапласа определяется следующим образом: $$F(s) = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\} =\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-sx} f(x)\,dx.$$

Дискретное преобразование Лапласа[править]

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Таким образом, дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают \(\ D\)-преобразование и \(\ Z\)-преобразование.

  • \(\ D\)-преобразование

Пусть \(x_d \left( {nT} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)}\) — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени \(\ nT\), где \(\ n\) — целое число, а \(\ T\) — период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
\(\mathcal{L}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} } = \mathcal{D}\left\{ {x(nT)} \right\}\)

  • \(\ Z\)-преобразование
Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:
\(\ z = e^{ sT }\),
получим Z-преобразование:
\(\mathcal{Z}\left\{ {x \left( {nT} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }\)

Свойства и теоремы[править]

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при \(\sigma = \sigma_0 \!\), то есть существует предел $$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx = \int_{0}^{\infty} \mid f(x) \mid e^{-\sigma_0 x} dx,$$

то он сходится абсолютно и равномерно для \(\sigma \ge \sigma_0 \!\) и \(F(s) \!\) — аналитичная функция при \(\sigma \ge \sigma_0 \!\) (\(\sigma = Re(s) \!\) — действительная часть комплексной переменной \(s \!\)). Точная нижняя грань \(\sigma_a \!\) множества чисел \(\sigma \!\), при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции \(f(x) \!\).


  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа \(\mathcal{L} \{f(x) \} \! \) существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. Случай \(\sigma \ge 0 \!\): преобразование Лапласа существует, если существует интеграл \(\int_{0}^{\infty}|f(x)| dx \)
  2. Случай \(\sigma > \sigma_a \!\): преобразование Лапласа существует, если интеграл \(\int_{0}^{x_1}|f(x)| dx \) существует для каждого конечного \(x_1 > 0 \!\) и \(|f(t)| \le Ke^{\sigma_ax} \!\) для \( x > x_2 \ge 0 \!\)
  3. Случай \(\sigma > 0 \!\) или \(\sigma > \sigma_a \!\) (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции \( f(x)' \!\) (производная к \(f(x) \!\)) для \(\sigma > \sigma_a \!\).

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение \(F(s) \!\) — аналитичная функция для \(\sigma \ge \sigma_a \!\) и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём \(\mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0 \!\) для \(t \le 0 \!\)

2. Пусть \(F(s) = \phi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)] \!\), так что \(\phi(z_1, z_2, \dots, z_n) \!\) аналитична относительно каждого \(z_k \!\) и равна нулю для \(z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0 \!\), и \(F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma > \sigma_{ak} : k = 1, 2, \dots, n);\), тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Теорема о свёртке
Icons-mini-icon 2main.png Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов. $$\mathcal{L} \{ f(x) * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \} $$


  • Умножение изображений

\(f(x)g(0) + \int_{0}^{x} f(x-\tau)g'(\tau) d\tau = sF(s)G(s)\)

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.


  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа. $$\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)$$

В более общем случае (производная \(n \!\)-го порядка): $$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\} = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^+)$$

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент. $$\mathcal{L} \left\{ \int_{0}^{x} f(t) dt \right\} = \frac{F(s)}{s}$$


  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком. $$\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -x \cdot f(x)$$

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент. $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int_{s}^{+\infty} F(s) ds \right\} = \frac{f(x)}{x}$$


  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения: $$\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\} = F(s - a) \!$$ $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{ax} f(x) \!$$

Запаздывание оригинала: $$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s) \!$$ $$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(x - a) u(x - a) \!$$ Примечание: \(u(x) \!\) — Функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы): $$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} \!,$$ все полюсы в левой полуплоскости Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы. $$\lim_{s\to \infty}{sF(s)} = f(0 + 0)= \!$$

  • Другие свойства

Линейность $$\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\} = a F(s) + b G(s) $$

Умножение на число $$ \mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} = {1 \over a} F \left ( {s \over a} \right )$$

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций[править]

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Функция Временная область
\(x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}\)
Частотная область
\(X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}\)
Область сходимости
для причинных систем
1 идеальное запаздывание \( \delta(t-\tau) \ \) \( e^{-\tau s} \ \)
1a единичный импульс \( \delta(t) \ \) \( 1 \ \) \( \mathrm{all} \ s \,\)
2 запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом \(\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) \) \( \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} \) \( s > 0 \, \)
2a степенная n-го порядка \({ t^n \over n! } \cdot u(t) \) \( { 1 \over s^{n+1} } \) \( s > 0 \, \)
2a.1 степенная q-го порядка \({ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) \) \( { 1 \over s^{q+1} } \) \( s > 0 \, \)
2a.2 единичная функция \( u(t) \ \) \( { 1 \over s } \) \( s > 0 \, \)
2b единичная функция с запаздыванием \( u(t-\tau) \ \) \( { e^{-\tau s} \over s } \) \( s > 0 \, \)
2c «ступенька скорости» \( t \cdot u(t)\ \) \(\frac{1}{s^2}\) \( s > 0 \, \)
2d n-го порядка с частотным сдвигом \(\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \) \(\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}\) \( s > - \alpha \, \)
2d.1 экспоненциальное затухание \( e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ \) \( { 1 \over s+\alpha } \) \( s > - \alpha \ \)
3 экспоненциальное приближение \(( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \) \(\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} \) \( s > 0\ \)
4 синус \( \sin(\omega t) \cdot u(t) \ \) \( { \omega \over s^2 + \omega^2 } \) \( s > 0 \ \)
5 косинус \( \cos(\omega t) \cdot u(t) \ \) \( { s \over s^2 + \omega^2 } \) \( s > 0 \ \)
6 гиперболический синус \( \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ \) \( { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } \) \( s > | \alpha | \ \)
7 гиперболический косинус \( \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ \) \( { s \over s^2 - \alpha^2 } \) \( s > | \alpha | \ \)
8 экспоненциально затухающий
синус
\(e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ \) \( { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } \) \( s > -\alpha \ \)
9 экспоненциально затухающий
косинус
\(e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ \) \( { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } \) \( s > -\alpha \ \)
10 корень n-го порядка \( \sqrt[n]{t} \cdot u(t) \) \( s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)\) \( s > 0 \, \)
11 натуральный логарифм \({ \href {//traditio.wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC}{ \texttip { \ln}{ Натуральный логарифм }}} \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) \) \( - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] \) \( s > 0 \, \)
12 функция Бесселя
первого рода
порядка n
\( J_n( \omega t) \cdot u(t)\) \(\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}\) \( s > 0 \, \)
\( (n > -1) \, \)
13 модифицированная функция Бесселя
первого рода
порядка n
\(I_n(\omega t) \cdot u(t)\) \( \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} \) \( s > | \omega | \, \)
14 функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
\( Y_0(\alpha t) \cdot u(t)\)    
15 модифицированная функция Бесселя
второго рода,
нулевого порядка
\( K_0(\alpha t) \cdot u(t)\)    
16 функция ошибок \( \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) \) \( {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}\) \( s > 0 \, \)
Примечания к таблице:

Применения преобразования Лапласа[править]

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

  • Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

Связь с другими преобразованиями[править]

Фундаментальные связи[править]

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона[править]

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную. $$\mathcal{L_k}\left\{f(x)\right\} = sF(s)$$


Двустороннее преобразование Лапласа[править]

Двустороннее преобразование Лапласа \(= \mathcal{L_B}\) связано с односторонним с помощью следующей формулы: $$\mathcal{L_B}\left\{f(x); s\right\} = \mathcal{L}\left\{f(x); s\right\} + \mathcal{L}\left\{f(-x); -s\right\}$$



Преобразование Фурье[править]

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом \(s = i\omega \!\): $$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(x)\right\} $$ $$= \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega} $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\imath \omega x} f(x)\,\mathrm{d}x.$$

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель \(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\), который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина[править]

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина $$G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int_0^\infty \theta^s g(\theta) \frac{d\theta}{\theta}$$ положим \(\theta = \exp(-x) \!\), то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование[править]

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных: $$ z \equiv e^{s T} \ $$

где \(T = 1/f_s \! \) — период дискретизации, а \( f_s \! \) — частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения: $$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$$

Преобразование Бореля[править]

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография[править]

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.


См. также[править]

Внешние ссылки[править]

eo:Vikipedio:Projekto matematiko/Laplaca konvertoia:Transformation de Laplace