Комплекс "Хеопс-Хефрен-Микерин"="Атом водорода"10

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Перейти к: навигация, поиск
Periss icon.png Первоначальные исследования
Этот раздел статьи является первичным источником части изложенной в нём информации, содержа первоначальные (или ранее не известные широкому кругу читателей) исследования.

Уточнение первого закона Кеплера и функция разделения[править]

Иоганн Кеплер. Сайт http://www.vestnik.com

Рассмотрим взаимодействие двух тел массами m1 и m2 при условии, что m1 < m2. Как известно из классической механики, при обращении этих тел вокруг центра масс (ЦМ) они совершают движение по окружностям разного радиуса: m1 - r1, m2 - r2 (грубое приближение). Также известно, что отношение центростремительных ускорений (a1 / a2) прямо пропорционально отношению их расстояний до ЦМ (r1 / r2) и обратно пропорционально отношению их масс (m2 / m1):

a1 / a2 = r1 / r2, a1 / a2 = m2 / m1 ===> m2 / m1 = r1 / r2 .

Кеплер при выводе своих трех законов сделал "несимметричный" переход от круговых орбит к эллиптическим: Солнце S "остановил", а планету m "заставил" совершать эллиптическое движение вокруг Солнца, поместив Солнце в одном из фокусов - в точке F.

Ввиду того, что массы планет во много раз меньше массы Солнца ЦМ ≈ F ≈ S - совпадение трех точек.

Логичнее (= симметричнее) было бы "заставить" и Солнце двигаться по эллипсу вокруг центра масс. Тогда первый закон Кеплера несколько видоизменяется:

планета и Солнце двигаются вокруг центра масс по внешнему и внутреннему эллипсам:

  • левый фокус внешнего эллипса - афелий внутреннего эллипса;
  • центр масс - в правом фокусе внутреннего эллипса.

Следует здесь указать, что эллипсы Солнца и планеты находятся в одной плоскости. Точки O1, ЦМ и O2 могут и совпадать. Такое изменение первого закона Кеплера ведет к очередному пересмотру второго и третьего законов Кеплера.

Рассмотрим вывод двух полезных соотношений, вытекающих из уточненного первого закона Кеплера. На рисунке "Элементы орбит двух взаимодействующих тел" следующие обозначения:

  • внешний эллипс с параметрами a1 (большая полуось), e1 (эксцентриситет);
  • внутренний эллипс с параметрами a2 (большая полуось), e2 (эксцентриситет);
  • центр масс с параметрами r1, r2 (расстояния от масс m1 и m2 до центра масс), e3 = m1 / m2 (можно трактовать как эксцентриситет центра масс), m1 < m2.

Для этих параметров можно составить следующие уравнения:

  • r1 + r2 = a1 (1 + e1);
  • m1 / m2 = r2 / r1 = e3;
  • a2(1 + e2) = r2.

Путем несложных преобразований с ними можно получить соотношение:

a2 / a1 = [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2)] .

Если e1, e2 ≈ 0 или e1, e2 << 1, то

a2 / a1 = e3 .
a2 / a1 = e3 / (1 + e3) ,

Такой случай применялся при выводе аномального магнитного момента электрона (a1 → a0, a2 → rp, e3 = me / mp).

К следствиям первого закона Кеплера

Рассмотрим вывод второго соотношения. Пусть орбиты тел m1 и m2 (эллипсы) рассматриваются по отношению к плоскости XOY, проходящей через центр масс (ЦМ). Начало системы координат - точка O - совпадает с центром масс. Тогда i - угол наклона плоскостей орбит m1 и m2 относительно XOY.

Как известно из ОТО, эллиптические орбиты тел вращаются в пространстве вокруг оси Z, т.е. перицентры и апоцентры орбит m1 и m2 совершают вращение. Точки A и E описывают в пространстве окружности разного диаметра или, иными словами, образуются плоскости апоцентра (верхняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом KE) и перицентра (нижняя плоскость - пунктирная овальная линия с радиусом CD). Каждая точка орбиты m1 совершает колебательное движение по боковой поверхности усеченного конуса. Обозначим угол между образующей конуса ED и прямой EB (EB || OZ, EB - нормаль к плоскостям апоцентра и перицентра) через α.

Найдем связь между углами i и α.

tg α = BD / EB .
BD = AB - AD, AB = 2 a1 cos i, AD = 2 AC = 2 (2 a1 - r1) cos i.
BD = 2 a1 cos i - 2 (2 a1 - r1) cos i.
EB = 2 a1 sin i.

Тогда (для удобства записи: i = ι(йота))

tg α = [2 a1 cos ι - 2 (2 a1 - r1) cos ι] / 2 a1 sin ι = [a1 cos ι - (2 a1 - r1 cos ι] / a1 sin ι = (r1 - a1) cos ι / a1 sin ι = (1/ tg ι) (r1 / a1 - 1).

Учитывая уравнения:

  • r1 + r2 = a1 (1 + e1);
  • r2 = a2 (1 + e2);
  • r1 = (m2 / m1) r2;
  • a2 / a1 = [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2)]

и после несложных преобразований находим:

r1 / a1 = (1 + e1) / (1 + e3).

Подставляя это выражение в уравнение для tg α, получаем:

tg α = (1 / tg ι) [(1 + e1) / (1 + e3) - 1].

После преобразования приходим к уравнению:

tg α tg ι = (e1 - e3) / (1 + e3).

Напомним, что углы α и i (ι) меняются от и до 90°.

Найдем условие устойчивости орбиты тела m1 (= планетной орбиты). Введем дополнительные условия: Ω - угловая скорость вращения тела m1 по орбите, ω1 ≈ 0 - начальная угловая скорость всей массы облака - глобулы. Вращение тела m1 вокруг m2 (точнее - вокруг центра масс) происходит под действием силы тяготения F. Так как тело m1 вращается вокруг ядра (≈центр масс), значит, оно обладает кинетической и потенциальной энергиями относительно ядра. Ядро - первый нулевой уровень для вращающихся тел.

Глобула находится в плоскости диска Галактики. Поэтому в качестве второго нулевого уровня необходимо принять эту плоскость диска Галактика. В итоге мы имеем два нулевых уровня: образующееся ядро глобулы и плоскость диска Галактики. В случае Солнечной системы нулевой уровень (плоскость) почти совпадает с плоскостью эклиптики.

Ось Z - ось вращения вещества глобулы. ЦМ (≈ ядро глобулы) - первый нулевой уровень (= нулевая точка). Плоскость XOY (≈ плоскость диска Галактики) - второй нулевой уровень (= нулевая плоскость).

Наглядный пример: ванна с водой и с закрытым отверстием на дне. Когда отверстие закрыто пробкой - нулевой уровень = плоскость дна. После открывания отверстия - нулевой уровень = отверстие. Какое-то время они (нулевые уровни) сосуществуют вместе.

Пусть тело m1 находится в точке E (апоцентр). Вследствие вращения перицентра и апоцентра можно сказать, что на m1 действует сила F(ω) в плоскости апоцентра. ω - угловая скорость вращения апоцентра (относительно точки K). Определим проекции силы тяготения F, действующей на m1. Первую проекцию находим вдоль направления F(ω) - она все время параллельна нулевой плоскости. Обозначим ее F1. Вторую проекцию рассматриваем вдоль образующей ED усеченного конуса - F2.

Тогда условие устойчивости орбиты:

M1 = M2 (вращающие моменты в точке E).
M1 = (F(ω) + F1)(K - ЦМ).
F(ω) = m1 ω12 KE. F1 = F cos i. KE = r1 cos i. (K - ЦМ) = r1 sin i.

Получаем:

M1 = (m1 ω2 KE + F cos ι) r1 sin ι = (m1 ω2 r1 cos ι + F cos ι) r1 sin ι = (m1 ω2 r12 + F r1) sin ι cos ι =
= (m1 ω2 r12 + F r1) (sin 2ι / 2).

Аналогично находим и M2:

M2 = F2 (ЦМ - L).
F2 = F sin (α + i). ЦМ - L = r1 cos (α + i).

Тогда

M2 = F sin (α + ι) r1 cos (α + ι) = F r1 [{sin 2(α + ι)} / 2].

Получаем:

(m1 ω2 r12 + F r1) (sin 2 ι / 2) = F r1 [sin 2(α + ι) / 2].

Упрощение:

(m1 ω2 r1 + F) sin 2 ι = F sin 2 (α + ι).

Окончательно имеем:

(m1 ω2 r1 / F + 1) sin 2 ι = sin 2(α + ι).

Производим замену m1 r1 / F, где F - сила притяжения между телами m1 и m2:

F = γ m1 m2 / R2.

Принимаем R = aср (среднее расстояние) между m1 и m2 . Расстояние между m1 и m2 в апоцентре:

A = r1 + r2 = a1 (1 + e1).

Расстояние между m1 и m2 в перицентре (АМ):

P = a1(1 - e1) + 2 a2.

Отсюда следует среднее расстояние между m1 и m2:

aср = (A + P) / 2 = [a1(1 + e1) + a1(1 - e1) + 2 a2] / 2 = (a1 + a1 e1 + a1 - a1 e1 + 2 a2) / 2 = (2 a1 + 2 a2) / 2 = a1 + a2 .
aср = a1 + a2 = a1 + a1 [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2)] = a1 [1 + {e3 / (1 + e3} {(1 + e1) / (1 + e2)}].

Тогда получаем:

F = γ m1 m2 / aср2 = γ m1 m2 / a12 [1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]2

или

F = γ m1 m2 / a12 [1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]2 .

Продолжаем далее:

m1 r1 / F = m1 r1 / [γ m1 m2 / aср2] = aср2 r1 / γ m2.

Используя ранее выведенное

r1 = a1 [(1 + e1) / (1 + e3)] ,

получим:

aср2 r1 = a13 [1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]2 [(1 + e1) / (1 + e3)] .

Замена:

B = [(1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]2 [(1 + e1) / (1 + e3)] ≠ 0.

Тогда

aср2 r1 = B a13 и r1 aср2 / γ m2 = B a13 / γ m2.

С другой стороны имеем:

F = γ m1 m2 / aср2 и F = m1 v12 / aср.
γ m1 m2 / aср2 = m1 v12 / aср.

Откуда

v1 = (γ m2 / aср)1/2.

Период:

T = 2 π aср / v1 = 2 π aср / (γ m2 / aср)1/2 = 2 π (aср3 / γ m2)1/2

или

T2 = 4 π2 aср3 / γ m2.

Угловая скорость тела m1 по орбите:

Ω = 2 π / T или Ω2 = 4 π2 / T2 = 4 π2 / (4 π2 aср3 / γ m2) = γ m2 / aср3.

Получаем

aср3 / γ m2 = 1 / Ω2.

Подставляем вместо aср и имеем:

aср3 / γ m2 = a13 [1 + {e3 /(1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]3 / γ m2 = 1 / Ω2

или

a13 / γ m2 = [1 / [1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]3] [1 / Ω2].

Тогда находим:

B a13 / γ m2 = [ {1 + [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2)]}2 {(1 + e1} / (1 + e3)} / {1 + [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2]}3] [1 / Ω2] = [(1 + e1) / (1 + e3)[1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}]] [1 / Ω2] = B' (1 / Ω2),

где

B' = (1 + e1) / (1 + e3)[1 + {e3 / (1 + e3)} {(1 + e1) / (1 + e2)}] ≠0.

Окончательно следует

[B'(ω2) / Ω2 + 1] sin 2 ι = sin 2(α + ι).

Рассмотрим полученные уравнения:

  • [B'(ω2 / Ω2) + 1] sin 2 ι = sin 2(α + ι),
  • tg α tg ι = (e1 - e3 / (1 + e3),
  • a2 / a1 = [e3 / (1 + e3)] [(1 + e1) / (1 + e2)] .

Второе и третье уравнения более "бедные", т.е. они более простые и содержат меньше величин, что, в конечном итоге, дает меньше пищи для размышлений.

Проанализируем более подробно первое уравнение и назовем его функцией разделения.

Первый закон Кеплера на:

Страница: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , 18

Примечания[править]

См. также[править]

Ссылки[править]

Литература[править]